LE TRASFORMAZIONI GALILEIANE

TRASFORMAZIONI GALILEIANE Per descrivere il moto di un oggetto abbiamo bisogno di un corpo rigido o un ambiente ( la terra, una stanza, una cabina etc..) rispetto al quale misurare gli spostamenti, di un regolo per misurare le distanze e di un orologio per misurare gli intervalli di tempo. Tutti questi oggetti costituiscono un riferimento fisico che indicheremo con S Se vogliamo effettuare uno studio analitico del moto abbiamo bisogno anche di un riferimento matematico, ad esempio un riferimento cartesiano, costituito di solito da una terna di assi cartesiani, Oxyz, come in figura

Scegliendo un altro riferimento S’ (O’x’y’z’) in generale la descrizione del moto sarà diversa , quindi è lecito chiedersi Come si possono calcolare gli elementi che descrivono il moto in S’ , quando sono noti in S Quali sono le equazioni della trasformazione? Quali sono gli invarianti?

Se S’ è in quiete rispetto ad S , il problema è puramente geometrico e si rimanda alla teoria delle trasformazioni nel piano o nello spazio. Se S ‘ si ottiene da S mediante una traslazione, una rotazione, una simmetria centrale o assiale, le trasformazioni sono di tipo isometrico e lasciano invariate le distanze tra due punti. Fisicamente ciò significa che le misure di lunghezze effettuate in S’ coincidono con quelle effettuate in S (supposto che i regoli con cui vengono effettuate le misure siano e restino uguali ) A questa proprietà aggiungiamo che restano invariate anche le misure degli intervalli di tempo ( supposto che gli orologi usati dagli osservatori di S e da quelli di S’ siano stati sincronizzati all’istante t =0 e restino sincronizzati)

Supponiamo che S’ si muova rispetto ad S di moto rettilineo uniforme con velocità e che all’istante t=0 , O e O’ coincidano. La figura seguente illustra la situazione in un generico istante t.

Chiamiamo: OP spostamento assoluto O’P spostamento relativo OO’ spostamento di trascinamento Applicando la regola della somma vettoriale, possiamo affermare che OP = OO’+O’P ovvero O’P=OP-OO’

Spostamento assoluto = spostamento relativo + spostamento di trascinamento e, passando alle rispettive componenti,: x= x’+ ux t x’= x - ux t y=y’+ uy t y’=y -uy t z=z’+ uz z’=z - uz t t = t’ t ’= t avendo aggiunto anche la relazione di uguaglianza delle coordinate temporali

Le equazioni precedenti definiscono le Trasformazioni classiche o Galileiane (TG) Relazioni analoghe possono essere scritte anche per i rispettivi incrementi Δx,Δy,Δz corrispondenti ad un certo intervallo di tempo Δt = Δt’

Δx = Δx’ + uxΔt Δy = Δy’ + uyΔt Δz = Δz’ + uzΔt Δt = Δt’ Da queste si deduce una relazione anche tra velocità assoluta ( rispetto ad S) e velocità relativa ( rispetto ad S’) Dividendo membro a membro per Δt=Δt’ e ritornando alla forma vettoriale si ottiene

velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento Ripetendo un procedimento analogo per le accelerazioni , troviamo innanzitutto Δvx = Δv’x Δvy = Δv’ y Δvz = Δv’ z In quanto le componenti della velocità di trascinamento non variano nel tempo e quindi, dividendo membro a membro per Δt = Δt’, e tornando alla forma vettoriale, si deduce che a’=a cioè l’accelerazione è la stessa in entrambi i riferimenti

Ciò posto, è facile verificare che la distanza tra due punti P1 e P2 è un invariante per le TG, nel senso che , in ogni istante, risulta P1P2 = P’1 P’2. l’invarianza della distanza temporale va intesa come un postulato, anche se questo fatto non à stato messo in evidenza in tutta la Fisica classica, fino alla critica che ne fa Einstein. Anche la legge di composizione delle velocità , dimostrata matematicamente, è valida comunque solo in conseguenza dell’invarianza del tempo.

LE TRASFORMAZIONI GALILEIANE CONSERVANO Parametri geometrici Grandezze fisiche proiezione verticale di un segmento gli intervalli temporali le rette orizzontali le aree “distanza” orizzontale tra rette l’istante in cui avviene un evento le accelerazioni le lunghezze