Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 13 Modelli media varianza con N titoli
Modello con N titoli rischiosi In un modello con N titoli rischiosi la determinazione della frontiera efficiente conduce a una relazione non lineare, un ramo di iperbole (una parabola se il rischio è misurato con la varianza) La determinazione della frontiera efficiente consente di stabilire il principio di separazione dei fondi: Rendimento e rischio di un qualsiasi portafoglio sulla frontiera efficiente possono essere ottenuti costruendo un portafoglio di due portafogli efficienti Perché due portafogli? Perché due sono i vincoli del problema di ottimizzazione. Ricordiamo che cerchiamo i portafogli di minima varianza sotto il vincolo che 1.La ricchezza sia tutta investita 2.Il rendimento atteso del portafoglio sia pari a un target predefinito Se includessimo più vincoli nell’algoritmo di determinazione della frontiera efficiente otterremmo un numero maggiore di fondi
Minimizzazione della varianza Assumiamo di poter investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N titoli rischiosi, con matrice di covarianza V. Esempio: Individuiamo il portafoglio con la varianza minore possibile (e è il vettore unità)
Il Lagrangiano Il problema è scritto come il lagrangiano
La soluzione La soluzione è
Frontiera efficiente Introduciamo Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N titoli rischiosi, con rendimento atteso dato dal vettore matrice di covarianza V. Le migliori allocazioni del portafoglio possibili sono l’insieme dei vettori w che risolvono il problema
Il Lagrangiano Il problema è scritto come il lagrangiano
La soluzione La soluzione è …e dobbiamo ricavare i moltiplicatori di Lagrange dai vincoli
Moltiplicatori di Lagrange I moltiplicatori di Lagrange sono ottenuti da dove abbiamo definito
La soluzione La soluzione è alla fine
La frontiera efficiente La relazione media-varianza è
La frontiera efficiente con N titoli rischiosi
Modello con N titoli rischiosi ed uno privo di rischio Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in un insieme di N attività rischiose, con rendimento atteso dato dal vettore e matrice di covarianza V e un titolo non rischioso che garantisce un rendimento pari a R f Il problema di allocazione del portafoglio
La soluzione La soluzione è ottenuta con la stessa tecnica di prima
Frontiera efficiente Recuperiamo il moltiplicatore di Lagrange sostituendo i vincoli nella relazione della varianza
La frontiera efficiente