INTEGRALE DEFINITO Curva γ di equazione y = f(x) continua nell’interv. a-b. C D

C D A B a h b Ci proponiamo di calcolare l’area del trapezoide mistilineo ABCD. A tale scopo dividiamo l’intervallo (a,b) in un certo numero n di parti eguali e, detta h = b-a l’ampiezza comune di ciascuna di queste parti, ……… n

C m2 m3 mn D m1 A B 1° 2° 3° a h b …consideriamo la seguente somma: sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh, dove mi indica il minimo della f(x) nell’iesimo intervallo.

C m2 m3 mn D m1 A B 1° 2° 3° a h b …la somma: sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh, rappresenta la superficie approssimata per difetto del trapezoide ABCD

C M2 M3 M1 D A B 1° 2° 3° a h b …mentre la somma:Sn = M1h + M2h + M3h…+ Mnh, dove Mi rap = = presenta il massimo della funzione f(x) nell’iesimo intervallo…

C M2 M3 M1 D A B 1° 2° 3° a h b …rappresenta un approssimazione per eccesso dell’area dello stesso trapezoide.

C D A B a h b Se aumentiamo il numero n di parti eguali in cui dividiamo l’intervallo (a,b) l’ampiezza h = b-a di ciascun intervallino diminuisce n

C D A B a h b Se adesso rifacciamo la somma sn = m1h + m2h + m3h + …..mnh otteniamo la superficie del trapezzoide per difetto ma con una appros = =simazione migliore della precedente

C D A B a h b .. Analogamente se calcoliamo la Sn = M1h + M2h + M3h…+ Mnh, otteniamo la superficie del trapezzoide per eccesso ma con una appros = =simazione migliore della precedente. Se esiste un numero S da definirsi come area del trapezzoide dovrà essere: sn < S < Sn

Al crescere di n, sn aumenta e Sn diminuisce, ma per n + ∞ possiamo scrivere: cioè il valore limite che assume= lim sn = lim Sn = S ranno le due superfici per n n ∞ n ∞ tendente all’infinito è la superf. del trapezzoide Un modo equivalente per rappresentare l’ultima relazione è: S = ∫ f(x) dx dove il simbolo ∫ (integrale) rappresenta la sommatoria nell’intervallo (a,b) della funzione per incrementi infinitesimi (dx) della variabile indipendente (dx prende il posto di h quando n ∞). b a

Equazione: y = x2 y x Significato geometrico di integrale definito 1 2 4 3 9 16 5 25 Equazione: y = x2 Unità di superficie y Equazione integrata: y = 0∫ x2 dx = = 1.x3 5 = 3 = [1. 53 – 1 .03] = 3 3 = 125 = 41,6 5 x

Equazione: y = x2 y x Significato geometrico di integrale definito x y 1 2 4 3 9 Equazione: y = x2 Unità di superficie y Equazione integrata: y = 0∫ x2 dx = = [1.x3]30 = 3 = [1. 33 – 1 .03] = 3 3 = 27 = 9 3 x

Equazione : y = 20 = 20 1 x x y equazione integrata: y = 20 1∫1 dx = x 10 3 6,6 4 5 6 3,3 7 2,8 8 2,5 9 2,2 …… Equazione : y = 20 = 20 1 x x y equazione integrata: y = 20 1∫1 dx = x = 20 [lnx]101 = 20 [ln10 –ln1] = 46 10 x

L’impiego del calcolo integrale, ove possibile, comporta un notevole risparmio di tempo e un ottimo grado di precisione.