Calcolo combinatorio

Probabilità classica E = evento P(E)=probabilità dell’evento E Nf = numero casi favorevoli Np= numero casi possibili

Calcoliamo la probabilità… Un po’ di esempi…. Un’urna contiene 4 palline azzurre, 5 rosse e 3 nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina azzurra? E una pallina rossa? E una nera?

Qual è la probabilità di fare 13 nel giocare la schedina del totocalcio? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Possibilità per ogni casella : 1 X 2 Tre possibilità per casella… Quindi quanti casi possibili? Quanti casi favorevoli?

Quanti sono i casi favorevoli? Quanti sono i casi possibili? Valutare la probabilità che nel gioco del lotto risulti vincente la terna che abbiamo giocato. Quanti sono i casi favorevoli? Quanti sono i casi possibili? 23 45 12 ? L’estrazione del lotto avviene estraendo 5 numeri, senza reinserimento, da un’urna che contiene gli interi da 1 a 90. Vincere: nei 5 numeri estratti ci siano i 3 che io ho giocato. I casi favorevoli sono gli allineamenti di 5 numeri che contengono 23,45 e 12, e hanno gli altri due liberi. Per contare i casi favorevoli devo contare il numero di modi in cui posso riempire le due caselle libere Il problema è, dunque, CONTARE!

Una macchina da scrivere stampa solo le lettere a, b, c Vediamo come si conta! Esempio 1 Una macchina da scrivere stampa solo le lettere a, b, c Quante parole di due lettere puoi scrivere avendo a disposizione le tre lettere? aa ab bb ba cc ac ca cb bc Si capisce perché si fa il prodotto? 3 possibilità 3 possibilità

Generalizziamo il problema In quanti modi puoi scegliere k elementi da un insieme di n elementi (ammettendo di poterli ripetere)? n n n n n n 1 2 3 4 5 .. k Per ogni elemento abbiamo n possibilità, quindi un totale di possibilità! In questo caso si parla di DISPOSIZIONI semplici (con ripetizione)

Un sacchetto contiene le lettere a, b, c. Esempio 2 Un sacchetto contiene le lettere a, b, c. Quante parole di due lettere è possibile creare estraendo una lettera per volta (senza reinserirla nel sacchetto)? ab ac ba bc ca cb 3 possibilità 2 possibilità

Generalizziamo il problema In quanti modi puoi scegliere k elementi da un insieme di n elementi senza ripetizione? n n-1 n-2 n-3 n-k+1= n-(k-1) 1 2 3 4 .. k Per ogni elemento abbiamo una possibilità in meno rispetto all’elemento precedente quindi un totale di possibilità! In questo caso si parla di DISPOSIZIONI senza ripetizione

Questo calcolo si chiama fattoriale Esempio 3 Quante parole lunghe n si possono scrivere con un sacchetto che contiene n lettere distinte ? n n-1 n-2 n-3 3 2 1 1 2 3 4 .. n Questo calcolo si chiama fattoriale In questo caso si parla di PERMUTAZIONI

Esempi In un club che ha 100 soci, in quanti modi diversi si possono scegliere 3 membri per le nomine di presidente, segretario e tesoriere? 2. In quanti modi, alla seconda prova scritta di maturità, si possono disporre gli studenti di 5 BS sui banchi presenti in aula? 3. Quanti numeri di telefono di 7 cifre si possono scrivere avendo a disposizione i numeri dallo 0 al 9 ?

Esempio 4 Cinque persone (A-B-C-D-E) salgono su un autobus. I posti a sedere sono tutti occupati tranne tre. In quanti modi si possono scegliere, tra le cinque persone, le tre che occuperanno i tre posti a sedere? Si tratta di disposizioni? Se sì la risposta sarebbe: 5*4*3=60 Cominciamo a contare: ABC ABD ABE ACD ACE BCD BCE BCA BDA …

Considero una disposizione B C E Se le contiamo come disposizioni ogni tripletta è contata troppe volte! Ma quante? Considero una disposizione B C E Possono ottenere altre disposizioni da questa permutando tra loro B,C ed E E B C B E C C E B C B E E C B In quanti modi posso creare i gruppi che contengono le tre persone B,C ed E scelte? In 3! modi Ma in questo caso l’ordine non è rilevante perciò i tutti i gruppi contenenti le persone B,C,E vanno contati una volta sola. B C E E B C C B E B C E B E C Sono come le disposizioni ma non ci interessa l’ordine! Le sei disposizioni valgono come 1!!!! E C B C E B Allora per contare i gruppi di 3 che si possono sedere dividiamo per 3! il numero delle disposizioni.

Generalizziamo il problema In quanti modi si possono scegliere k elementi da un insieme di n elementi senza ripetizione e senza tener conto dell’ordine? Contiamo le disposizioni Poi dividiamo per k! In questo caso si parla di COMBINAZIONI

Problemi Uno studente deve rispondere a 8 domande su 10 di un test. In quanti modi può scegliere le domande? Valutare la probabilità che nel gioco del lotto risulti vincente la terna che abbiamo giocato.

? 23 45 12 ? Numero casi possibili: Numero casi favorevoli: I casi possibili sono le combinazioni di 5 elementi su 90 I casi favorevoli sono le combinazioni di 2 elementi su 87 Quindi la probabilità è data da

DISPOSIZIONI e COMBINAZIONI (allineamenti di n elementi presi k a k) Quanti raggruppamenti (o allineamenti) diversi di k elementi si possono fare scegliendo i k elementi da un insieme di n elementi. (In quanti modi diversi si possono scegliere k elementi da un insieme di n elementi) Il problema è il significato che diamo alla parola diversi attribuito ai raggruppamenti.

sacchetto contenente lettere Bisogna considerare: Se è significativo o meno l’ordine Se i raggruppamenti si possono fare con o senza ripetizione di uno stesso elemento Se l’ordine è significativo  Disposizioni Con ripetizione Senza ripetizione macchina da scrivere sacchetto contenente lettere Se l’ordine non è significativo Combinazioni

Disposizioni semplici (con ripetizione) Le disposizioni di k elementi su n elementi sono i possibili allineamenti di k elementi scelti tra gli n oggetti ammettendo che questi possano essere ripetuti, allineamenti che si differenziano o per gli elementi che raccolgono o per l’ordine col quale sono indicati. Il numero delle disposizioni con ripetizione è:

Disposizioni senza ripetizione Le disposizioni semplici di k elementi su n elementi sono i possibili allineamenti di k elementi scelti tra gli n oggetti senza essere ripetuti, allineamenti che si differenziano o per gli elementi che raccolgono o per l’ordine col quale sono indicati. Il numero delle disposizioni senza ripetizione viene indicato con e corrisponde al prodotto di k numeri naturali in ordine decrescente cominciando da n. Esempio: in quanti modi si possono formare parole di tre lettere avendone a disposizione cinque, senza ripetizione? A, B,C,D,E  n=5, k=3

Esempio: in quanti modi si possono formare parole di cinque lettere Permutazioni Le permutazioni di n elementi sono allineamenti di n elementi, non ripetuti, che si distinguono esclusivamente per l’ordine col quale sono registrati. Il numero delle permutazioni si indica con e corrisponde al prodotto dei primi n numeri naturali, ovvero al fattoriale di n. Esempio: in quanti modi si possono formare parole di cinque lettere avendone a disposizione cinque, senza ripetizione? A, B,C,D,E  n=5

Combinazioni senza ripetizione Le combinazioni semplici di k elementi su n sono gli allineamenti possibili di k elementi distinti presi da n oggetti senza essere ripetuti, allineamenti che si distinguono esclusivamente per gli elementi che raccolgono e non per l’ordine. Il numero delle combinazioni semplici si indica con e corrisponde al numero

Vediamo come si può riscrivere tale rapporto: Moltiplicando e dividendo per (n-k)! Coefficiente binomiale