CIRCONFERENZA E CERCHIO

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO La CIRCONFERENZA è una linea chiusa costituita da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza detta RAGGIO da un punto fisso il CENTRO. Il CERCHIO è la porzione di piano racchiusa da una circonferenza

ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA L’ARCO è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti, detti estremi dell’arco. La CORDA è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza. Il DIAMETRO è la corda massima e passa per il centro. Gli estremi di uno stesso diametro dividono la circonferenza in due parti congruenti, ciascuna delle quali si chiama SEMICIRCONFERENZA. Una semicirconferenza e il relativo diametro costituiscono il contorno di un SEMICERCHIO

PROPRIETÀ DELLACIRCONFERENZA

1° PROPRIETA’ DELLA CIRCONFERENZA Si ha la seguente costruzione: OBA è un triangolo isoscele perché : OB = OA = r B = A BH = HA OH è detta DISTANZA dalla corda AB dal centro O

2° PROPRIETA DELLA CIRCONFERENZA Si ha la seguente costruzione: PH = PK OHP e OKP sono rettangoli e congruenti

3° PROPRIETÀ DELLA CIRCONFERENZA b = c = d = 90° perché a = 180°

POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA

RETTA ESTERNA Una retta si dice ESTERNA a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio.

RETTA TANGENTE Una retta si dice TANGENTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è uguale al raggio.

RETTA SECANTE Una retta si dice SECANTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro dalla circonferenza è minore del raggio.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE

CIRCONFERENZE ESTERNE C e C’ non hanno punti in comune OO’ › r + r’

CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE OO’= r + r’

CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE OO’= r - r’

CIRCONFERENZE SECANTI OO’‹ r + r’

CIRCONFERENZE INTERNE C e C’non hanno punti in comune OO’ < r - r’

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE C e C’non hanno punti in comune O ≡ O’

ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

ANGOLI AL CENTRO V: angolo al centro che insiste sull’arco AB

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA K e J: angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB

RELAZIONI TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA Y e T si dicono corrispondenti e risulta che : Y = 2T T = K

SETTORI, SEGMENTI E CORONA CIRCOLARE

SETTORE CIRCOLARE Si dice SETTORE CIRCOLARE ciascuna delle due parti di cerchio racchiusa da due raggi e un arco di circonferenza.

Segmento circolare Consideriamo un cerchio ed una sua corda a La corda divide il cerchio in due parti Si definisce segmento circolare una porzione di cerchio delimitata da una corda

SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE ciascuna delle due parti in cui il cerchio è diviso da una corda.

SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

CORONA CIRCOLARE Si dice CORONA CIRCOLARE la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche.

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza

CRITERIO DI INSCRITTIBILITÀ Un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto, detto circocentro, coincidente con il centro della circonferenza

POLIGONI CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza

CRITERIO DI CIRCOSCRITTIBILITÀ Un poligono è circoscrittibile ad una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto, detto incentro, coincidente con il centro della circonferenza

MISURA DELLA CIRCONFERENZA, DEL CERCHIO E DI LORO PARTI

LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA Rapporto fra circonferenza e diametro Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri che più ricorrono e non solo in matematica Si tratta di un numero che non può essere espresso come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla categoria dei numeri irrazionali C d p p 3,14…

p 2 p Formule d r C = p x 2r C = p x d C C Ma d = 2 x r allora Formule inverse Circonferenza uguale a p greco per due volte il raggio Circonferenza uguale a p greco per il diametro C C d p r 2 p

LUNGHEZZA DI UN ARCO L : α = C : 360° L = α = C= Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente valore dell’arco sarà l’intera circonferenza Questo valore sarà uguale a rapporto di un arco e del corrispondente angolo al centro L : α = C : 360° L = α = C= α

AREA DEL CERCHIO Ac = π · r² r = L’area del cerchio è data dal prodotto di p greco per il raggio al quadrato Il raggio di un cerchio è uguale alla radice quadrata dell’area fratto p greco

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE L’area del settore circolare è proporzionale al valore dell’angolo al centro Se il valore il valore dell’angolo al centro arriva a 360° il corrispondente settore circolare coinciderà con l’area del cerchio As : α = Ac : 360° As = α= Ac = α As x As x 360° 360° a = r = p x a x r2 p

AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE Caso 1 il segmento non contiene il centro L’area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo Caso 2 il segmento contiene il centro L’area del segmento circolare sarà data dalla somma fra l’area del settore circolare a l’area del triangolo

Area della corona circolare L’area della corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio maggiore quella del cerchio minore Acc = pr22 – pr12 Acc = p(r22 – r12)