= 2x – 3 x + 1 1 Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili. L’espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si trova a destra si chiama secondo membro. Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite. ESEMPIO 2x – 3 = x + 1 I membro II membro Incognita: è la lettera x Dominio : è l’insieme dei valori che si possono attribuire a x Soluzione: è il valore di x che rende vera l’uguaglianza 1

Definizione e caratteristiche EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI Un equazione di dominio D si dice: determinata se ha un numero finito di soluzioni in D; indeterminata se ne ha un numero infinito; impossibile se non ha soluzioni in D. ESEMPI x – 2 = 3 L’equazione è determinata perché ha come sola soluzione 5. 1 – 2x = (x – 1)2 – x2 L’equazione è indeterminata perché il primo membro è sempre uguale al secondo. x + 4 = x L’equazione è impossibile perché non esiste un valore di x che sommato a 4 dia ancora x. 2

ax – 2 = 3x + a 3 Diversi tipi di equazioni L’equazione può contenere altre lettere oltre all’incognita; queste lettere si chiamano parametri. Parametro: è una lettera che compare nell’equazione, ma che si suppone abbia un valore fisso anche se non noto a priori. Parametro ax – 2 = 3x + a Incognita Incognita: è la lettera di cui si vuole trovare il valore che soddisfa l’equazione. Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto internazionale, quindi x, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via. 3

1 + x = 2x – 1 3 ax + 2 = (a – 1) x + a – = 2x – 1 3 x + 1 1 2 x – = Diversi tipi di equazioni Classifichiamo le equazioni 1 + x = 2x – 1 3 Equazioni numeriche: oltre alla x, non contengono altre lettere Equazioni letterali : oltre alla x contengono anche dei parametri ax + 2 = (a – 1) x + a Equazioni intere: l’incognita non compare al denominatore – = 2x – 1 3 x + 1 1 2 x Equazioni frazionarie: l’incognita si trova in almeno uno dei denominatori – = 2x + 3 4 x – 1 x + 1 1 4

Principi di equivalenza Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. ESEMPIO 3x = 6 e x + 3 = 5 Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione x = 2: 3x = 6 x + 3 = 5 2 3  2 = 6 2 + 3 = 5 5

A B A P B P = + + = 6 Principi di equivalenza PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Teorema. Se si aggiunge ai due membri di un’equazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo stesso dominio dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. A B = A P + B P + = 6

2x – 5 = x – 2 2x – 5 + 5 = x – 2 + 5 2x = x + 3 2x – x = x + 3 – x x Principi di equivalenza L’applicazione di questo principio ci permette di passare da un’equazione ad un’altra equivalente via via più semplice, che permette di determinare il valore di x. 2x – 5 = x – 2 Applichiamo il primo principio di equivalenza Aggiungiamo +5 ad entrambi i membri 2x – 5 + 5 = x – 2 + 5 2x = x + 3 Riduciamo i termini simili Sottraiamo x ad entrambi i membri 2x – x = x + 3 – x x = + 3 Riduciamo i termini simili e otteniamo che è la soluzione cercata 7

Principi di equivalenza CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro all’altro di un’equazione purché gli si cambi segno. Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E(x) = 0, dove E(x) è l’espressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro. ESEMPIO 2x = 4 + 1 – x 2x = 4 + 1 + x 2x + 1 + x – 4 = 0 8

2x + 3 = 5x + 3 2x = 5x 9 Principi di equivalenza Regola di cancellazione. Se nei due membri di un’equazione compaiono due addendi uguali, uno per ogni membro, questi possono essere soppressi. ESEMPIO 2x + 3 = 5x + 3 Sono uguali 2x = 5x 9

A B A P B P = = 10 Principi di equivalenza SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio dell’equazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. A B = A P = B P 10

3x = 9 3 6 – x – 2 = 3 3x – 6 = 9 11 Principi di equivalenza CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di un’equazione per uno stesso fattore comune, purché diverso da zero. ESEMPIO 3x – 6 = 9 Tutti i termini sono divisibili per 3. 3x = 9 3 6 – x – 2 = 3 11

– 2x – 3 = x – 1 2x + 3 = – x + 1 12 Principi di equivalenza Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di un’equazione, in entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. ESEMPIO – 2x – 3 = x – 1 2x + 3 = – x + 1 12

Principi di equivalenza Regola della riduzione a coefficienti interi. Da un’equazione a coefficienti frazionari si può passare ad un’equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte le frazioni. ESEMPIO = 1 3 x + 1 2 – 6 m.c.m. (3, 2, 6) = 6 ( ) = 2x + 6 6 3x – 1 2x + 6 = 3x – 1 13

Equazioni numeriche intere IL GRADO DI UN’EQUAZIONE Un’equazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio. Quando un’equazione è scritta in questa forma, si dice grado dell’equazione il grado complessivo del polinomio E(x). Ad esempio: 2x – 3 = 0 È un’equazione di primo grado. 4x2 – 6x + 3 = 0 È un’equazione di secondo grado. 6x3 – 7x + 1 = 0 È un’equazione di terzo grado. 14

ax + b = 0 x = k 15 Equazioni numeriche intere LE EQUAZIONI LINEARI Un’equazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma: ax + b = 0 Termine noto a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dell’equazione. Il dominio di un’equazione lineare è sempre R. Possiamo dire di avere risolto un’equazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma x = k In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S={k} è l’insieme delle soluzioni. 15

{ } ax + b = 0 ax = – b a ≠ 0 a = 0 x = b a – b = 0 b ≠ 0 S = b a – Equazioni numeriche intere Procedura di risoluzione ax + b = 0 Data l’equazione Si porta il termine noto al secondo membro ax = – b a ≠ 0 a = 0 Si analizza il coefficiente a x = b a – b = 0 b ≠ 0 S = b a – { } Indeterminata S = R Impossibile S = 16

17 Equazioni numeriche frazionarie Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che, annullando qualche denominatore, fanno perdere significato all’equazione. Regola per determinare il dominio 1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori; 2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero; 3) si risolvono le condizioni di esistenza con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere. Il dominio è l’insieme R – {valori trovati al punto 3} Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dell’equazione applicando i principi di equivalenza. Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio. 17

1 x2 – 4 – 3 x – 2 = 5 x + 2 1 (x – 2) (x + 2) – 3 x – 2 = 5 x + 2 Equazioni numeriche frazionarie ESEMPIO 1 x2 – 4 – 3 x – 2 = 5 x + 2 1 (x – 2) (x + 2) – 3 x – 2 = 5 x + 2 Poiché deve essere x + 2 ≠ 0 ∧ x – 2 ≠ 0 ossia x ≠ – 2 ∧ x ≠ 2 Il dominio è l’insieme D = R – {– 2; 2} 1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) continua 18

1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2) Equazioni numeriche frazionarie 1 – 3 (x + 2) (x – 2) (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2) 1 – 3x – 6 = 5x – 10 – 3x – 5x = – 10 + 6 – 1 = + x 5 8 – 8x = – 5 5 8 Poiché non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S = { } 19

+ = 1 a 2a x – 1 2 x ≠ 1 D = R – {1} a ≠ 0 20 Equazioni letterali In un’equazione letterale si può sempre: trasportare i termini da un membro all’altro dell’equazione cambiando loro di segno; cambiare tutti i segni dei termini ai due membri; moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero. Non è invece possibile: moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di diversità da zero di tale coefficiente. In un’equazione letterale bisogna distinguere: + = 1 a 2a x – 1 2 il dominio, determinato rispetto all’incognita x le condizioni sul parametro x ≠ 1 D = R – {1} a ≠ 0 20

{ } = x (3a – 1) = a 1 3 a ≠ 3a – 1 S 1 3 a = x  0 = 1 3 S = 21 Equazioni letterali Discutere un’equazione significa analizzare come cambia l’insieme delle soluzioni al variare dei parametri. ESEMPIO x (3a – 1) = a Per trovare la soluzione dividiamo entrambi i membri per 3a – 1; si presentano quindi i seguenti casi: 1 3 a ≠ Se 3a – 1 S = { } 1 3 a = Se x  0 = 1 3 S = l’equazione diventa che è impossibile 21