esponente del radicando Definizione e caratteristiche Dato un numero reale non negativo a ed un numero intero positivo n, esiste uno ed un solo numero reale non negativo b tale che bn = a. Il numero b si dice radice n-esima assoluta di a ed in simboli si scrive Il simbolo (con n ≥ 2) prende il nome di radicale, a è l’argomento del radicale o radicando, il numero n è l’indice del radicale, il numero è la radice n-esima di a. √64 3 radicando esponente del radicando indice Se a si può esprimere come potenza, cioè se il radicale si può esprimere nella forma , il numero pm è il radicando e m si dice esponente del radicando.

Definizione e caratteristiche Dalla definizione si ha che ESEMPIO Un radicale di indice 2 è un radicale quadratico. : radice quadrata di a L’indice 2 può essere omesso: Un radicale di indice 3 è un radicale cubico. : radice cubica di a ESEMPI è un radicale quadratico è un radicale cubico

Proprietà invariantiva Il radicale che si ottiene moltiplicando l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo ha lo stesso valore del radicale dato; in simboli: ESEMPIO Grazie a questa proprietà si possono definire le seguenti operazioni: semplificazione di radicali moltiplicazione e divisione tra radicali portar dentro o portar fuori dal simbolo di radice i possibili fattori

La semplificazione di un radicale Se in un radicale l’indice della radice e l’esponente del radicando hanno un fattore comune, il radicale che si ottiene dividendoli per tale fattore ha lo stesso valore di quello dato; in simboli: ESEMPI 3 2 Radicale irriducibile: radicale in cui l’indice della radice e l’esponente del radicando non hanno fattori comuni. Per ottenere con la semplificazione un radicale irriducibile basta dividere l’indice e l’esponente del radicando per il loro M.C.D. ESEMPIO

La semplificazione e il valore assoluto Nella definizione di radicale abbiamo richiesto che il radicando sia positivo o nullo. Se il radicando contiene una o più lettere dobbiamo porre le condizioni di non negatività. ESEMPIO Ha significato solo se x – 1 ≥ 0, cioè per x ≥ 1 Nella semplificazione di radicali con radicando letterale a volte si ottiene come risultato un radicale che ha significato per valori delle variabili diverso da quello di partenza. ESEMPIO definito in R definito per 2x + 1 ≥ 0 x ≥ − 1 2 Per mantenere l’uguaglianza occorre rendere positiva l’espressione 2x + 1 utilizzando l’operatore valore assoluto.

Proprietà Ricordiamo la definizione di valore assoluto di un numero: a se a > 0 | a | = −a se a < 0 Quindi: ESEMPIO

Semplificazione Regola pratica per stabilire quali sono i fattori di cui dobbiamo considerare il modulo: in generale, si deve considerare il modulo di quei fattori che, elevati a potenza pari prima della semplificazione (che garantisce sempre la non negatività) diventano elevati a potenza dispari dopo la semplificazione (che non garantisce la non negatività). non va mai messo il valore assoluto ai radicandi che, prima della semplificazione, hanno potenza dispari perché la condizione di esistenza impone già che essi siano positivi.

Operazioni con i radicali quadratici Forma del radicale quadratico: con a > 0 Prodotto e quoziente di radicali quadratici Teorema. Il prodotto o il quoziente di due radicali quadratici è un radicale quadratico che ha come radicando rispettivamente il prodotto e il quoziente dei radicandi: con a, b ≥ 0 con a ≥ 0, b > 0 ESEMPIO

Operazioni con i radicali quadratici Elevamento a potenza di radicali quadratici Per elevare a potenza n-esima un radicale quadratico, si eleva a quella potenza il radicando: ESEMPIO

Operazioni con i radicali quadratici Il trasporto dentro e fuori il simbolo di radice Per trasportare un fattore esterno a sotto il simbolo di radice quadrata ci si comporta così: se a ≥ 0 si eleva a al quadrato e si lascia il segno positivo all’esterno: se a < 0 si trasforma a in −(−a), si eleva −a al quadrato e si lascia il segno negativo all’esterno: ESEMPI se x ≥ 0 se x < 0

con a ≥ 0 e m > 2, se indichiamo con: Operazioni con i radicali quadratici q il quoziente intero della divisione di m per l’indice della radice (nel caso di radicali quadratici m : 2) r il resto di tale divisione vale la seguente relazione Per trasportare un fattore fuori dal simbolo di radice quadrata ci si comporta così: con a ≥ 0 e m > 2, se indichiamo con: dato il radicale ESEMPIO quoziente 3 7 : 2 quindi resto 1 esponente indice

Operazioni con i radicali quadratici ESEMPIO Il fattore 7 non si può portare fuori dal simbolo di radice perché il suo esponente 1 è minore dell’indice 2 della radice; agli altri fattori invece si può applicare la regola precedente: 24 esponente 4 4 : 2 = 2 con resto 0 fattore esterno 22 fattore interno 20 cioè 1 35 esponente 5 5 : 2 = 2 con resto 1 fattore esterno 32 fattore interno 31 cioè 3 In definitiva:

Operazioni con i radicali quadratici Addizione e sottrazione Infatti: mentre Infatti: mentre L’addizione e la sottrazione tra più radicali dà come risultato un unico radicale solo nel caso di radicali simili. ESEMPI Sono simili i radicali perché hanno la stessa parte radicale.

Radicali cubici e operazioni con i radicali cubici Forma del radicale cubico: vale l’uguaglianza con a > 0 Un segno negativo all’interno di un radicale cubico può essere trasportato all’esterno. Operazioni con i radicali cubici Prodotto e quoziente: ESEMPIO

Operazioni con i radicali cubici Potenza: ESEMPIO Trasporto sotto al simbolo di radice Si eleva al cubo il valore assoluto del fattore esterno lasciando fuori il segno. ESEMPIO

Operazioni con i radicali cubici Trasporto fuori al simbolo di radice Si possono trasportare all’esterno solo i fattori il cui esponente m è maggiore o uguale a 3; se q è il quoziente intero della divisione di m per 3 e r è il resto della divisione: ESEMPIO nella divisione 5 : 3, il quoziente è 1 e il resto è 2 Addizione e sottrazione Si possono eseguire solo tra radicali simili. ESEMPIO

Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi Le operazioni che abbiamo imparato ad eseguire tra radicali quadratici e cubici si possono eseguire tra radicali di indice n qualsiasi con le stesse regole già enunciate tenendo presente che: prodotti e quozienti di radicali si possono eseguire solo tra radicali aventi lo stesso indice; in questo caso: per elevare a potenza un radicale si eleva a quella potenza il radicando: un fattore positivo si può trasportare sotto il simbolo di radice elevandolo a potenza n: un fattore si può trasportare fuori dal simbolo di radice solo se il suo esponente è maggiore o uguale all’indice della radice, ed è: con q quoziente intero della divisione m:n e r resto della divisione. somme e differenze di radicali si possono eseguire solo tra radicali simili.

Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi ESEMPI

Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi Nel caso di radicali di indici diversi la procedura per eseguire il prodotto o il quoziente è la seguente: si riducono i radicali allo stesso indice, che è il m.c.m. tra gli indici delle radici si esegue il prodotto o il quoziente si semplifica, se possibile, il radicale ottenuto. Per ridurre i radicali allo stesso indice si applica la proprietà invariantiva. ESEMPIO Scomponiamo innanzi tutto i radicali e vediamo se è possibile semplificarli: Le tre radici hanno rispettivamente indice 2, 6, 3, quindi l’indice comune è 6:

Operazioni con i radicali di indice n qualsiasi ESEMPIO Quindi per eseguire la moltiplicazione bisognerà eseguire la stessa operazione sulle radici di indice 6 e semplificare eventualmente il radicale ottenuto: Semplifichiamo il radicale:

Radice di radicale con a ≥ 0 ESEMPI e semplificando il radicale

Radicali quadratici doppi Forma del radicale quadratico doppio: Alcuni radicali doppi possono essere facilmente trasformati nella somma algebrica di radicali semplici, riconoscendo nel radicando il quadrato di un binomio. ESEMPIO

Radicali quadratici doppi In alternativa, se a2 – b è un quadrato perfetto, si può usare la formula: ESEMPIO Calcoliamo a2 – b = 144 – 63 = 81 = 92

Razionalizzazione Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in un’altra equivalente che abbia denominatore razionale. La trasformazione viene effettuata applicando la proprietà invariantiva della divisione, moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore razionale, detto fattore razionalizzante. Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è ESEMPIO Frazioni del tipo ; con k < 3 il fattore razionalizzante è ESEMPIO

Razionalizzazione Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è ESEMPIO Frazioni del tipo ; il fattore razionalizzante è ESEMPIO

Potenze ad esponente razionale Se a ≥ 0 e m, n sono interi positivi, allora: Il denominatore n della frazione dell’esponente diventa l’indice della radice. Il numeratore m diventa l’esponente del radicando. ESEMPI Se l’esponente è un numero negativo, occorre prima invertire la base:

am/n : ap/q = am/n − p/q am/n  ap/q = am/n + p/q Potenze ad esponente razionale Per le potenze ad esponente razionale valgono le seguenti proprietà che derivano dalle consuete proprietà delle potenze: . am/n  ap/q = am/n + p/q am/n : ap/q = am/n − p/q . (a  b)m/n = am/n  bm/n (a : b)m/n = am/n : bm/n . (am/n)p/q = amp/nq ESEMPIO