Definizione e caratteristiche Un’equazione del tipo 3x − y = 6 ha come soluzioni tutte le coppie (x, y) che la verificano. Per esempio (0,−6) è soluzione: 3  0 −(−6) = 6 ma (1, 5) non è soluzione: 3  1 − 5 ≠ 6 In generale le soluzioni di un’equazione in due o più variabili sono infinite. Se si vogliono trovare le soluzioni comuni a due o più equazioni nelle stesse incognite si scrivono tali equazioni all’interno di una parentesi graffa aperta e si dice che formano un sistema. ESEMPIO

(4, 6) è soluzione del precedente sistema Definizione e caratteristiche L’insieme delle soluzioni di un sistema è rappresentato dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione; soluzione è la coppia (x, y) che verifica entrambe le equazioni. ESEMPIO (4, 6) è soluzione del precedente sistema infatti: Le equazioni del sistema sono verificate per gli stessi valori delle variabili.

Caratteristiche IL GRADO DI UN SISTEMA Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni. ESEMPIO Il sistema è di grado 6 perché la prima equazione ha grado 2 e la seconda ha grado 3.

Caratteristiche SISTEMI INTERI E FRAZIONARI Un sistema può essere: intero se tutte le equazioni sono intere oppure frazionario se almeno una delle equazioni è frazionaria oppure Con x ≠ 0 ∧ x ≠ y (C. d. E.) Con x ≠ 2 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 3 (C. d. E.)

Caratteristiche SISTEMI DETERMINATI, INDETERMINATI, IMPOSSIBILI Analogamente a quanto fatto per le equazioni possiamo affermare che un sistema è: determinato se ha un numero finito di soluzioni impossibile se non ha soluzioni indeterminato se ha infinite soluzioni.

Sistemi equivalenti Due sistemi equivalenti hanno le stesse soluzioni. Per risolvere un sistema si passa ad un altro ad esso equivalente ma di forma più semplice. Il passaggio da una forma ad un’altra ad essa equivalente avviene mediante l’applicazione di due principi di equivalenza.

Principi di equivalenza Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad un’incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. ESEMPIO è equivalente a Il sistema Il secondo sistema è stato ottenuto ricavando la y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda.

Principi di equivalenza Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce ad una di esse l’equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. ESEMPIO Il sistema è equivalente a Il secondo sistema è stato ottenuto sommando membro a membro le equazioni del primo sistema e associando all’equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema (nell’esempio, la prima).

Risoluzione Un sistema di primo grado è detto lineare. Forma normale: Un sistema lineare determinato ammette una sola soluzione: La coppia soluzione è (k, h) I metodi per la risoluzione di un sistema si basano sui principi di equivalenza e sono i seguenti: il metodo di sostituzione, che consiste nel ricavare l’espressione di una variabile da una delle equazioni e sostituire tale espressione nelle altre il metodo di riduzione, che consiste nel sostituire ad una delle equazioni quella che si ottiene sommando membro a membro l’equazione stessa con un’altra (dopo averle eventualmente moltiplicate per un opportuno fattore non nullo), in modo da eliminare una delle variabili il metodo del confronto, che consiste nel ricavare l’espressione della stessa variabile da due equazioni e nel confrontare le espressioni ottenute.

Metodo di sostituzione. Risoluzione Metodo di sostituzione. ESEMPIO Ricava x dalla seconda equazione Principio di sostituzione Calcola continua

Risoluzione Calcola Principio di sostituzione

Risoluzione Metodo di riduzione. ESEMPIO continua Moltiplica per −3 la prima equazione Principio di riduzione Calcola continua

Risoluzione Calcola Calcola Sostituisci Calcola

Risoluzione Metodo del confronto. ESEMPIO continua Ricava x nelle due equazioni Confronta le espressioni ottenute Calcola continua

Risoluzione Calcola e sostituisci Calcola

a b c d a b c d = ad − bc 3 6 1 4 3 6 1 4 = 3  4 − 1  6 = 12 − 6 = 6 Matrici e determinanti Una tabella di numeri della forma si chiama matrice e poiché ha due righe e due colonne si dice che è una matrice quadrata di ordine due. a b c d Ad ogni matrice di questo tipo si può associare un numero, chiamato determinante, che si calcola in questo modo: a b c d = ad − bc ESEMPIO Data la matrice 3 6 1 4 Il suo determinante è 3 6 1 4 = 3  4 − 1  6 = 12 − 6 = 6 Δ =

a b d e = ae − bd Δ = c b f e = ce − bf Δx = a c d f = af − cd Δy = Risoluzione Metodo di Cramer. Dato il sistema si devono calcolare i determinanti: a b d e = ae − bd Δ = c b f e = ce − bf Δx = a c d f = af − cd Δy = Se Δ ≠ 0 il sistema è determinato con soluzione Se Δ = 0 e Δx = Δy = 0 il sistema è indeterminato. Se Δ = 0 e Δx ≠ 0 oppure Δy ≠ 0 il sistema è impossibile.

Risoluzione ESEMPIO Dato il sistema calcoliamo i tre determinanti: 3 6 1 4 = 3  4 − 1  6 = 12 − 6 = 6 Δ = Poché Δ ≠ 0 il sistema è determinato. −4 6 −3 4 = −4  4 − (−3)  6 = −16 + 18 = 2 Δx = Il sistema ha soluzione 3 −4 1 −3 = 3  (−3) −1  (−4) = −9 + 4 = −5 Δy =

Sistemi frazionari Sistema frazionario: sistema in cui almeno una delle equazioni è frazionaria Procedimento risolutivo: si pongono le condizioni di esistenza delle equazioni imponendo ai denominatori di essere diversi da zero; si riduce ciascuna equazione in forma intera e il sistema in forma normale; si procede alla risoluzione del sistema intero equivalente con il metodo che si ritiene più opportuno; si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e si scartano quelle incompatibili.

Sistemi frazionari ESEMPIO Affinché il sistema abbia significato deve essere x ≠ 1 ∧ y ≠ −1 Riduciamo il sistema in forma intera: continua

Sistemi frazionari Scegliamo come metodo risolutivo quello di Cramer 5 −2 2 3 = 19 Δ = 1 −2 −1 3 = 1 Δx = 5 1 2 −1 = −7 Δy = La soluzione trovata non contrasta con le condizioni iniziali, quindi: Dunque:

= 1(a + 2) − a  a = a + 2 − a2 = −(a − 2)(a + 1) Δ = Sistemi letterali Sistema letterale: sistema in cui almeno una delle equazioni è letterale; per risolverlo è spesso conveniente applicare il metodo di Cramer. Consideriamo per esempio il sistema: Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti e scomponiamo il polinomio ottenuto: a + 2 a 1 = 1(a + 2) − a  a = a + 2 − a2 = −(a − 2)(a + 1) Δ =

= 1(3a + 2) − a2  a = 3a + 2 − a3 = −(a + 1)2(a − 2) Δx = Sistemi letterali Calcoliamo ora Δx e Δy scomponendo poi i polinomi ottenuti: 3a + 2 a a2 1 = 1(3a + 2) − a2  a = 3a + 2 − a3 = −(a + 1)2(a − 2) Δx = a + 2 3a + 2 a a2 = a2(a + 2) − a(3a + 2) = a3 + 2a2 −3a2 − 2a = a3 − a2 −2a = = a(a2 − a − 2) = a(a − 2)(a + 1) Δy = Se Δ ≠ 0, cioè se a ≠ 2 ∧ a ≠ −1, il sistema ha per soluzione: Se a = 2, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è dunque indeterminato. Se a = −1, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è anche in questo caso indeterminato.

Sistemi con più di due equazioni I sistemi possono contenere più di due equazioni. Ci occuperemo, in particolare, di sistemi di tre equazioni in tre incognite. Consideriamo il sistema: Per risolvere questo tipo di sistemi si usa di solito un metodo misto fra quello di sostituzione e riduzione a seconda della convenienza.

Sistemi con più di due equazioni 1) Sommiamo la seconda e la terza equazione: 2) Sostituiamo il valore di x nelle altre equazioni:

Sistemi con più di due equazioni 3) Sottraiamo la terza equazione dalla seconda: 4) Completiamo la risoluzione:

x : 1° numero y : 2° numero x + y = 35 Problemi che si risolvono con i sistemi I problemi con due o più incognite possono essere risolti con i sistemi. L’importante è trovare un numero di equazioni pari al numero di incognite. ESEMPIO La somma di due numeri interi è 35 e si sa che la differenza tra il doppio del primo e il triplo del secondo è 20. Trova i due numeri. x : 1° numero y : 2° numero La somma dei due numeri è 35 x + y = 35 La differenza tra il doppio del 1° e il triplo del 2° è 20 2x − 3y = 20 Il modello del problema è: La soluzione è I due numeri sono quindi 25 e 10.