Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini Con contributi di Maurizio Rossi

L’ambiente per le trasformazioni Spazio affine Coordinate omogenee Matrici

Richiami di geometria affine - Spazio vettoriale lineare: operazioni di somma tra vettori Campo scalare; operazione prodotto vettore x scalare - Spazio affine: è costituito da un insieme di punti, uno spazio vettoriale associato e due operazioni: addizione vettore + punto; sottrazione punto-punto

Richiami di geometria affine

Orientamento nello spazio affine lo spazio può essere orientato in due modi: mano sinistra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice verso x a sinistra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso l’alto mano destra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice verso x a destra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso l’alto questo definisce il world coordinate system in cui sono definiti la scena

Coordinate omogenee Spazio delle classi di equivalenza: ogni punto in coordinate cartesiane 3D corrisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 4D che differiscono solo per un fattore moltiplicativo w: Il passaggio dallo spazio omogeneo allo spazio 3D: solitamente si sceglie w=1

Coordinate omogenee Lo spazio 3D può anche essere considerato come lo spazio omogeneo del piano 2D:ogni punto nel piano 2D corrisponde a infiniti punti nello spazio omogeneo 3D che differiscono solo per un fattore moltiplicativo w:

Matrici

Trasformazione affine una trasformazione affine preserva una combinazione baricentrica la combinazione baricentrica è una somma pesata di punti dello spazio affine

Trasformazioni affini rappresentate con matrici più trasformazioni possono essere combinate moltiplicando le matrici tra loro, creando una sola trasformazione una trasformazione si ottiene in generale combinando trasformazioni lineari (rotazioni, scala e shear) seguite da una traslazione

Definizione degli oggetti gli oggetti possono essere definiti in un proprio sistema di riferimento locale: i vertici dell’oggetto sono definiti rispetto a un orientamento proprio e naturale un oggetto complesso può essere decomposto in elementi più semplici col proprio riferimento locale e in seguito assemblato aggregando oggetti elementari un oggetto può essere istanziato più volte per assemblare e istanziare un oggetto si applicano le trasformazioni affini, che cambiano il riferimento locale

La trasformazione affine conserva le rette Possiamo descrivere un poliedro con i suoi vertici, facce e spigoli, questa proprietà ci garantisce che è necessario trasformare soltanto i vertici per trasformare tutto il poliedro

Trasformare gli oggetti le trasformazioni agiscono sui vertici dell’oggetto denotiamo i vertici (punti) come vettore colonna v R, T e S sono operatori di rotazione, traslazione e scala il punto trasformato è quindi: v’ = v + T traslazione, v’ = S v scala, v’ = R v rotazione

traslazione scala

Due parametri per la rotazione: angolo, centro di rotazione rotazione attorno all’origine rotazione attorno al centro dell’oggetto: prima traslare poi ruotare poi contro-traslare

La rotazione nel piano x=r cosa b y= r sin a a (x’,y’) x=r cosa (x,y) b y= r sin a a x’=r cos(a+b) = r cos a cos b - r sin a sin b = x cos b - y sin b y’=r sin(a+b) = r cos a sin b + r sin a cos b = x sin b + y cos b

Traslazione, Rotazione e Scala sul piano sono espresse come trasformazioni nello spazio di coordinate omogenee 3D. Il vettore trasformato si ottiene pre-moltiplicando il vettore originale per la matrice di trasformazione: v’=T v

Traslazione

Scala

Rotazione la matrice di rotazione ha determinante pari a 1

Trasformazioni conformi Preservano relazioni angolari Considerare punti P come numeri complessi z=x+iy Anamorfosi conica: z’=r/z* (in cui z*=x-iy è il complesso coniugato di z) I punti P interni al cerchio sono proiettati all’esterno in P’ a distanza r/d e riflessi rispetto all’asse x e viceversa.

Trasformazioni di Mœbius (Omografiche) z’ = (az+b)/(cz+d) con: ad-bc ≠ 0 al variare dei coefficienti complessi a,b,c,d si hanno: scala, rotazione, traslazione, inversione, ...

3D Ambiente: spazio affine, coordinate omogenee 4D Matrici, prodotto vettore per matrice

Traslazione, Rotazione e Scala espresse come trasformazioni nello spazio di coordinate omogenee 4D come prodotto tra matrici coord. cartesiane coord. omogenee

Scala coord. cartesiane coord. omogenee

Scala

Matrici di rotazione occorre specificare un asse di rotazione: attorno a x, y o z:

ritroviamo la rotazione sul piano z=0 ! coord. cartesiane coord. omogenee

Trasformazioni inverse Denotiamo le inverse come: T-1, S-1, R-1. La traslazione inversa si ottiene negando i coefficienti di traslazione La scala inversa si ottiene prendendo il reciproco dei coefficienti La rotazione inversa si ottiene negando l’angolo di rotazione.

Composizione di trasformazioni Si possono applicare trasformazioni in successione, moltiplicando in ordine opportuno le matrici (associatività) v”=M2M1v = M2(M1v) =M2v’ la trasf. M1 viene applicata per prima! ricordiamo che il prodotto di rotazioni non è commutativo: R2R1 ≠ R1R2

Possiamo applicare a ogni punto separatamente le matrici: Oppure calcolare prima la matrice M: A B C q p M=C(B(A)) M q p

Esempio: rotazione Ө attorno a un punto p e parallela a un asse Traslare l’oggetto nell’origine, i coefficienti della traslazione T sono riferiti al punto p Ruotare attorno all’origine di un angolo  Traslare inversamente nel punto p M=T-1RT

Combiniamo le tre trasformazioni in un’unica matrice:

Rotazione attorno a un punto e un asse generico

Struttura di una generica matrice di trasformazione In generale una trasformazione composta è organizzata: rotazione traslazione

Cambiamento di riferimento Le trasformazioni si possono considerare applicate agli oggetti (punti in un s.d.r.) o come cambiamento di riferimento In questo caso si esprimono i punti p in un nuovo s.d.r. p’; es. traslazione:

Le trasformazioni per modellare Da oggetti prototipo (modelli) a loro “istanze” Tre trasformazioni nell’ordine: Scala Rotazione Traslazione Minst=T(R(S))

Accumulare trasformazioni Per modellare una scena complessa si possono accumulare trasformazioni La scena è organizzata in una scene graph Durante la modellazione si creano matrici di istanza, applicate a ogni singolo oggetto Oggetti organizzati in gerarchia vengono raccolti e trasformati con nuove matrici che si accumulano sullo stack

Stack di matrici Attraversando la struttura della scena si cambiano le matrici di trasformazione gestendo lo stack Nei moderni sistemi real-time le operazioni sulle matrici di trasformazione sono gestite dall’hardware apposito nella pipeline di rendering

Classi di trasformazioni