Misura della costante di Planck Alessandro Cianchi INFN – Roma Tor Vergata Enrica Chiadroni, Giuseppe Papalino INFN-LNF

Sommario La meccanica quantistica e l’importanza della costante di Planck Semiconduttori e giunzioni Il nostro esperimento

Excusatio non petita “In un corso introduttivo non è possibile raccontare la storia della radiazione di corpo nero in un modo intellettualmente onesto e significativo e un discorso approssimativo sull’argomento lascia solo disorientati gli studenti” A. Arons “Guida all’insegnamento della fisica”, Zanichelli

Emissione Ogni oggetto emette energia elettromagnetica in forma di calore Un corpo emette radiazione di tutte le lunghezze d’onda, ma la distribuzione dell’energia emessa in funzione della lunghezza d’onda dipende dalla temperatura

Emissione di oggetti noti Corpo umano Lampadina

Legge di Stefan (1874) R = potenza emessa per unità di area T = Temperatura assoluta (K) e = Emissività (opposto di assorbività a) s = Costante di Stefan-Boltzmann R = esT4

Corpo nero Se un corpo è in equilibrio termico con ciò che lo circonda (temperatura costante) emette e assorbe la stessa quantità di radiazione In questo caso e=a indipendentemente dalla temperatura e dalla lunghezza d’onda Corpo nero e=1

Radiazione del corpo nero: Kirchhoff Nel 1882 kirchhoff dimostro’ che si puo’ ottenere un dispositivo che si comporta come un corpo nero mantenendo a temperatua costante le pareti di un corpo cavo nel quale sia stato praticato un forellino Gustav kirchhoff (1824-1887)

Spettro di corpo nero lmaxT=b Legge di Wien Tutti i corpi neri, alla stessa temperatura, emettono radiazione termica con lo stesso spettro lmaxT=b Legge di Wien

Come si fa? Come facciamo a calcolare lo spettro di corpo nero? Vogliamo calcolarlo e confrontarlo con l’esperimento

Onde stazionarie Solo le onde che hanno un nodo sulle pareti possono propagarsi all’interno di una scatola chiusa

Onde stazionarie animazione

Calcolo del numero dei modi Numero di modi in una sfera Densità per unità di lunghezza

Teorema di equipartizione dell’energia Il teorema di equipartizione consente di calcolare l’energia media di ogni componente dell’energia, come l’energia cinetica di una particella e quella potenziale di una molla L’energia media associata ad ogni variabile che contribuisce quadraticamente all’energia vale KT in equilibrio termico

Un esempio legge di Dulong Petit Nel caso di un solido tridimensionale schematizzato come tanti oscillatori armonici abbiamo per ogni atomo Per N atomi il teorema di equipartizione da’ come contributo totale 3NKT

Legge di Rayleigh-Jeans Descrive la densità di energia in funzione della lunghezza d’onda energia Densità dei modi

La “catastrofe ultravioletta”

Il calore specifico a bassa temperatura Non solo per il corpo nero ma anche per i solidi a bassa temperatura il teorema di equipartizione dell’energia fallisce. Il calore specifico non è costante ma decresce come AT3+BT (B=0 per i non metalli)

Cosa non funziona? Il numero di modi di oscillazione è stato calcolato correttamente Il teorema di equipartizione di energia associa ad ogni modo una energia KT. Questo è un teorema fondamentale ! Ma la fisica classica prevede che TUTTE le energie siano possibili Questo NON è vero

Solo livelli discreti N2 E=2 w P= A I livelli sono discreti N1 E=0 P= A E= w P= A E=2 w P= A I livelli sono discreti

La formula giusta

Ripetiamo cosa abbiamo capito Non tutti i livelli di energia sono possibili I livelli che possono essere occupati sono solo alcuni e sono discreti NON c’è modo per la fisica classica di spiegare lo spettro di corpo nero

Effetto fotoelettrico All’inizio del 1900 era noto per via sperimentale che, quando la luce incide sulla superficie di un metallo, dalla superficie vengono espulsi elettroni. In particolare l’energia cinetica degli elettroni espulsi e’ indipendente dalla intensita’ della luce ma dipende solo dalla frequenza in modo lineare. Se si aumenta l’intensita’ della luce, aumenta il numero degli elettroni emessi per unita’ di tempo ma non la loro energia.

Effetto fotoelettrico: Einstein Nel 1905 Einstein pubblica un articolo in cui fornisce un’interpretazione dell’effetto fotoelettrico usando il concetto di energia quantizzata introdotto da Planck solo 5 anni prima! Nel 1905 Einstein pubblica un articolo in cui da un’interpretazione dell’effetto fotoelettrico usando il concetto di energia quantizzata introdotto da Planck solo 5 anni prima! All’inizio del secolo era noto per via sperimentale che quando la luce incide sulla superficie di un metallo, dalla superficie vengono espulsi elettroni. In particolare l’energia cinetica degli elettroni espulsi e’ indipendente dalla intensita’ della luce ma dipendo solo dalla frequenza in modo molto semplice: cresce linearmente con la frequenza. Se si aumenta l’intensita’ della luce, aumenta il numero degli elettroni emessi per unita’ di tempo ma non la loro energia Secondo l’interpretazione di Einstein, l’energia di un fascio di luce monocromatica si propaga in pacchetti di valore hn ; questo quanto di energia puo’ essere trasferito completamente ad un elettrone. Cioe’ l’elettrone acquista energia E= hn mentre si trova ancora nel metallo. Supponendo che di debba eseguire un certo lavoro W per rimuovere l’elettrone dal metallo, allora l’elettrone emergera’ dal metallo con energia cinetica E cin= E –W = hn –W (dove W e’ il potenziale di estrazione ed e’ una costante caratteristica del metallo, indipendente dalla frequenza 1928 Nernst, Albert Einstein, Max Planck, Robert Andrew Millikan, Max Laue

Effetto fotoelettrico

Effetto fotoelettrico: Einstein Secondo l’interpretazione di Einstein, l’energia di un fascio di luce monocromatica si propaga in pacchetti di valore hn ; questo quanto di energia puo’ essere trasferito completamente ad un elettrone. Cioe’ l’elettrone acquista un’energia (mentre si trova ancora nel metallo) pari a E= hn Supponendo che si debba eseguire un certo lavoro W per rimuovere l’elettrone dal metallo, allora l’elettrone emergera’ dal metallo con energia cinetica E cin= E –W = hn –W (dove W e’ il potenziale di estrazione ed e’ una costante caratteristica del metallo, indipendente dalla frequenza)

La costante h=6.62618 10-34 Js Dunque la costante h gioca un ruolo fondamentale Definisce il “quanto” fondamentale di radiazione E’ fondamentale poichè le altre costanti possono essere espresse in funzione di h E’ fondamentale perchè da’ la scala di grandezza dove i fenomeni quantistici giocano un ruolo fondamentale

Esempio esT4 Integrale su tutte le frequenze-> Legge di Stefan lmaxT=b Deriviamo per trovare il massimo della distribuzione -> legge di Wien

Riassunto La meccanica classica non può spiegare lo spettro di corpo nero Lo spettro di corpo nero viene spiegato con la formula di Planck Viene introdotta una costante fondamentale h che è il riferimento di scala dei fenomeni quantistici L’interpretazione dell’effetto fotoelettrico fornì la prova dell’assunzione che l’energia della radiazione è quantizzata

Problema La funzione lavoro per l’atomo di Litio vale 2.3 eV Calcolare la lunghezza d’onda di soglia per avere l’effetto fotoelettrico Si ricorda che 1 eV=1.602 10-19 J

Soluzione hn=W hc=lW l=hc/W=5.391 X 10-7 m

I modelli di atomo

Esperimento di Millikan (1909)

Spiegazione dell’esperimento di Millikan In assenza di potenziale vale h viscosità r raggio della gocciolina v1 velocità ro densità dell’olio ra densità dell’aria Con il potenziale abbiamo invece V potenziale D distanza tra i piatti E infine

Modello a panettone Modello di J.J. Thompson

Esperimento di Rutherford (1911)

Esperimento di Rutherford animato

Modello di atomo di Rutherford (1911)

Limiti dell’atomo di Rutherford Gli elettroni sono come pianeti in moto intorno ad un sole centrale Ma cariche in moto irraggiano In 10-10 s dovrebbero cadere sul nucleo ! Come si spiegano gli spettri di emissione dei materiali?

Spettri

Modello di Bohr (1913)

Come funziona Gli elettroni occupano orbite circolari discrete Questi sono stati stazionari e dunque non emettono Non tutti i livelli energetici sono disponibili Anche il momento angolare è quantizzato e vale L=l

Spiegazione degli spettri

Problema n.1 L’energia di ionizzazione dell’atomo di idrogeno nel suo stato fondamentale vale E=13.60 eV Calcolare la frequenza e la lunghezza d’onda della radiazione necessaria per ionizzarlo Si ricorda che 1 eV=1.602 10-19 J

Soluzione E=13.60 eV=2.18 X 10-18 J n=E/h=3.29 X 1015 Hz l=c/n=9.12 X 10-8 m

Problema n.2 Un tipico laser da laboratorio He-Ne ha una potenza di 1 mW ed emette una radiazione coerente a l=633 nm Quanti fotoni sono emessi in un secondo?

Soluzione problema 2 E=hn=hc/l l=6.33 X 10-7 P=1 mW N=P/E=3.19 X 1015

Esperimento di Frank e Hertz (1914)

Momento magnetico

Magnetone di Bohr Il momento magnetico è dato in modulo da M=IA con I=corrente e A=area I=ev/2pr A=pr2 L=mvr M=eL/2m

Interazione con un campo magnetico Vi è una forza solo se il campo magnetico è NON uniforme Altrimenti vi è solo una processione a velocità angolare costante

Esperimento di Stern-Gerlach Anche il momento angolare è quantizzato

Ipotesi di De Broglie Sappiamo che per un fotone valgono le seguenti relazioni De Broglie suppose che anche per una particella materiale valessero le stesse equazioni. E’ a causa del piccolo valore di h che a livello macroscopico non vediamo gli effetti della meccanica quantistica Se l’orbita dell’elettrone è uno stato stazionario, l’onda associata a questo deve essere una onda stazionaria ed avere un numero di lunghezze d’onda intere in una circonferenza

Esperimento di Davisson & Germer 1925

Dualismo onda particella

Humor

E’ un’onda o una particella?

Effetto Compton E’ un altro esempio in cui si evidenzia la natura corpuscolare della radiazione

Esperimento di Compton

Principio di indeterminazione La meccanica quantistica rappresenta un arretramento rispetto alla pretesa della meccanica classica di conoscere e prevedere il moto in modo deterministico Non si può misurare con precisione infinita allo stesso momento la posizione e il momento di una particella E’ il principio di indeterminazione che rende stabile l’atomo !

Pacchetti d’onda

La diffrazione è indeterminazione Dq=l/s=l/Dz Dpz=poDq DzDpz=h

Funzione d’onda di Scroedinger La probabilita’ di trovare una particella in una piccola porzione di volume e’ proporzionale al quadrato del modulo della funzione d’onda Y

Orbitali Rappresentazione tridimensionale delle distribuzioni di probabilità per gli orbitali s p d

Riempimento degli orbitali Come si dispongono gli elettroni negli orbitali Vanno tutti ad occuparne uno solo? Perchè è importante questo riempimento ai fini delle proprietà chimiche e fisiche degli elementi?

Fermioni e Bosoni Alla famiglia dei Fermioni appartengono le particelle più comuni, quali elettroni, protroni, neutroni

Principio di esclusione di Pauli Due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantistico allo stesso tempo Il principio di esclusione è alla base della struttura della nuvola elettronica degli atomi, dalla quale dipendono le loro caratteristiche fisice e chimiche

Riempimento degli orbitali H    1s     He  1s2       Li    1s2       2s Be   1s2       2s2 B     1s2       2s2      2px C     1s2       2s2      2px2

Tavola periodica degli elementi

Dagli atomi ai solidi

Dai livelli discreti alle bande

Metalli

isolanti

Semiconduttori

semiconduttori

Il Silicio Il silicio è un semiconduttore. Le sue proprietà vengono dalle caratteristiche strutturali

Un metallo e l’energia di Fermi

Un semiconduttore e l’energia di Fermi

Conduzione instrinseca

Drogaggio N

Drogaggio P

Giunzione senza tensione

Regione di svuotamento

Polarizzazione inversa

Polarizzazione diretta

Giunzione p-n

Caratteristica di una giunzione

LED (light emitting diode) Si tratta di una giunzione polarizzata in modo diretto. La ricombinazione tra elettroni e lacuna è radiativa, ovvero avviene con emissione di luce

Dal wafer al dispositivo ossido n p P+ Diodo P Metallizazione n+

LED: light emitting diode

Il nostro esperimento L’obiettivo della nostra misura è dare una stima della costante di Planck Con i mezzi che utilizziamo ovviamente quello che possiamo aspettarci è di trovare almeno l’ordine di grandezza Vedremo che riusciamo a misurarla con una precisione del 10-20% !

Misura di h con l’uso di un LED Variare la corrente di alimentazione fino all’accensione del LED Misurare la tensione Calcolare il valore di h dalla relazione hn=qV q = 1.602 10-19 C carica dell’elettrone h = 6.626 10-34 Js n = c/l c = 2.9979 108 ms-1 Vs

Cosa fare Variare la corrente di alimentazione Misurare la corrispondente tensione Graficare la curva caratteristica del diodo e linearizzarla (diodo interruttore) Estrapolare il valore di V dall’intersezione della retta con l’asse delle tensioni Utilizzare tale valore per ricavare h Discutere brevemente il perchè secondo voi il risultato non è esatto al meglio del 10-20%

Il nostro esperimento Parte sperimentale

oculare

Interruttori di accensione dei tre LED

Regolatore della tensione di alimentazione del LED Selettore del LED da leggere

lettura tensione fotoconvertitore alimentazione (12V) lettura tensione LED lettura corrente LED

lettura tensione fotconvertitore lettura corrente LED alimentazione (12V) lettura tensione LED Regolatore della tensione di alimentazione del LED Interruttori di accensione dei tre LED Selettore del LED da leggere

Bibliografia Eisberg, Resnick “Quantum physics” Wiley Gamow “Biografia della fisica” Mondadori Millman, Halkias “Dispositivi e circuiti elettronici’’ Boringhieri Planck “La conoscenza del mondo fisico” Einaudi Rispoli “Elettronica’’ Veschi Segre’ “Personaggi e scoperte della fisica contemporanea” Mondadori Wychmann “La fisica di Berkekey – Fisica quantistica’’ Zanichelli