Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 3 Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Esistenza della funzione u Una simile funzione u( ) esiste? Assiomi della razionalità riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Esistenza della funzione u X è linsieme dei risultati certi x 1, x 2, …, x i,…, x r L rappresenta linsieme di tutte le lotterie che si possono definire su X

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Ordinamento debole Dati due elementi a, b A è sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste: a b b a a ~ b Inoltre a b, b c implica a c

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Osservazioni Lassioma di ordinamento debole stabilisce che vale la transitività delle preferenze, cosa questa che non dovrebbe suscitare particolari obiezioni. Se considero il risultato a migliore di b, e b migliore di c, a maggior ragione direi che a è meglio di c.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Non banalità Si consideri linsieme X dei possibili risultati certi x 1 x 2 … x r allora x 1 x r >>> non tutti i risultati sono ugualmente appetibili

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Riduzione di lotterie composite (I) Consideriamo una lotteria composita (cioè una lotteria i cui premi sono altre lotterie) L = che dà diritto alla partecipazione a s lotterie semplici, t.c. L j =, j = 1,…,s. Sia L = t.c. p i = q 1 p 1i +q 2 p 2i +…+q s p si, i = 1,…,r. Allora L L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Consideriamo la lotteria L = che assegna il premio x i con probabilità 1. Allora x i L 3. Riduzione di lotterie composite (II)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Q uesto corollario dellassioma 3 permette di stabilire che il decisore non prova gusto semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Lotterie composite (esempio) Una lotteria i cui premi sono altre lotterie L L1L1 L2L2 L3L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Osservazioni Si consideri qui una lotteria i cui premi sono biglietti di ingresso in altre lotterie. Questa è una lotteria composita. Se ci chiediamo, ad esempio, con quale probabilità si verificherà il risultato +20, essa è data da 0.3*0.4=0.12, in quanto lunica possibilità è che lesito della lotteria L sia L 2 e che questa dia come risultato appunto +20.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Lotterie composite Probabilità di avere +10: L1L1 L2L2 L3L3 L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Osservazioni In questo caso invece, osservando che il risultato +10 può essere ottenuto in due modi diversi, concludiamo che la probabilità di tale risultato è 0.2* *0.3=0.25.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa * * 0.3 = 0.25 L1L1 L2L2 L3L3 L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa La lotteria L è equivalente a L L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Osservazioni Ripetendo il procedimento per tutti i risultati possibili, otteniamo una lotteria L avente come probabilità i numeri ottenuti. E evidente che le probabilità di conseguire i vari risultati sono esattamente le stesse nella lotteria composita L, come nella lotteria L. Per questo motivo, lassioma delle lotterie composite dice che un decisore razionale dovrebbe provare indifferenza tra L e L.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Sostituibilità Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti: L = L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Osservazioni Il concetto espresso da questo assioma è che due risultati ritenuti equivalenti, fanno sì che due lotterie che differiscano solo per questi due risultati devono essere altresì percepite come equivalenti.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Lotterie di riferimento Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento: L p 1-p x1x1 xrxr

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa LOTTERIE DI RIFERIMENTO DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo x 1 px r =. DEF. Si definisce esperimento di riferimento linsieme delle lotterie di riferimento x 1 px r A, 0 p 1.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Monotonicità L p 1-p x1x1 xrxr L p x1x1 xrxr L L p p

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Continuità xixi L uiui 1-u i x1x1 xrxr ~ Esiste un valore di probabilità u i tale che:

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Osservazioni Il sesto e ultimo assioma è forse il più importante, anche se per certi versi lunico un po controverso. Consideriamo un qualunque risultato intermedio x i. Questo assioma dice che per ogni x i esisterà un valore di probabilità, indicato con u i, tale da rendere il risultato certo x i indifferente rispetto a una lotteria di riferimento in cui u i è la probabilità di vincere x 1. Ossia, per quanto catastrofico possa essere x r, ci sarà sempre un valore u i che rende il rischio di giocare la lotteria L equivalente alla certezza del risultato x i.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Continuità Obiezione circa lesistenza del valore u i (facilmente confutabile) Difficoltà nella determinazione precisa del valore u i >>> Necessità di una analisi della sensibilità

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Teorema di von Neumann- Morgenstern Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M: –se L è preferita a M U[L] > U[M] –se M è preferita a L U[M] > U[L] –se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità elementari Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 allutilità dei due risultati estremi, ossia u(x 1 ) = 1 u(x r ) = 0

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità di una lotteria di riferimento xixi L uiui 1-u i x1x1 xrxr ~ u(x i ) = u i u(x 1 ) + (1- u i )u(x r )

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa u(x i ) = u i u(x 1 ) + (1- u i )u(x r ) = 1= 0

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Funzione di utilità Lutilità del risultato x i è data dal valore di probabilità u i che rende indifferente x i rispetto alla lotteria di riferimento, ossia u(x i ) = u i

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa A questo punto è chiaro che il valore di u i definito prima può essere preso proprio a misura dellutilità del risultato x i. In altre parole, se riusciamo a stabilire i valori di utilità per i singoli risultati certi, e se il decisore accetta gli assiomi della razionalità, allora è possibile esprimere il valore di utilità attesa per qualsiasi lotteria, e impiegare tali valori per confrontare quantitativamente due lotterie qualsiasi.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Funzione di utilità Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Da quanto detto finora, emerge che è possibile associare un valore di utilità a ciascun risultato certo x i. Occorre sottolineare che questa funzione esprime le preferenze del singolo decisore, e dunque decisori diversi, pur accentando gli stessi assiomi, possono avere funzioni di utilità molto diverse. Lunica proprietà che deve avere una u(x) perché sia una funzione di utilità (rappresentando x una quantità di denaro) è il fatto che sia una funzione monotona crescente.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Determinazione di u( ) Applicazione accurata dellassioma di continuità Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie): a 1, a 2, a 3

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa a1a1 Variazione indice Dow-Jones (%) 110 < -3 [-3,+2] > +2 a2a2 a3a Decisioni

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare linvestimento più razionale per il decisore in questione

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Linsieme X dei risultati In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire 120, 115, 110, 105, 100, 90 x 1 x r Le lotterie di riferimento hanno come premi 90 e 120

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment 110 L Lanalista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due?

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) Supponiamo che la risposta sia:110 sicuri Possiamo già escludere che lutilità di 110 sia inferiore 0.5

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) 110 L Lanalista pone allora la seguente alternativa

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) Supponiamo che stavolta la risposta sia: la lotteria Possiamo escludere che lutilità di 110 sia superiore a Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) 110 L ~ Supponiamo che si abbia per: Da cui, u(110)=0.8

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) Procedendo allo stesso modo si può determinare lutilità degli altri valori, ad esempio u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(115)=0.95

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Verifica della consistenza 115 L U[L] = 0.75 * u(120) *u(110) = 0.75 * *0.8 = 0.95

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Verifica della consistenza Poiché era stato misurato che lutilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente Se ciò non accade: –vanno rivisti i valori di utilità –il decisore rifiuta gli assiomi di von Neumann…

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio? Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa a1a1 Stati di natura x 11 1 a2a2 a3a3 Decisioni Probabilità 2 3 P( 1 )P( 2 )P( 3 ) x 12 x 13 x 21 x 22 x 21 x 31 x 32 x 33

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Consideriamo la seguente lotteria semplice: L k = Allora a k l k

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa NOTE Nella precedente equivalenza abbiamo leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare: 1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non assumiamo che x 1 x 2 … x r. Inoltre, le m lotterie che possono essere costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = x ij | i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta a k non appartiene allinsieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla). 3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. Lassioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza Sia data la tavola di decisione precedente e siano l i le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare, a i a k l i l k, i,k=1,2,…,m.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Corollario Dagli assiomi 1-6, dallAssioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern discende che

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Riassumendo DallAssioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata. La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u + ( >0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e t.c. w = u +.