Capitolo IV Interazione debole di corrente neutra; il “Modello Standard” della Teoria Elettrodebole Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984 cap. 13 e 15 - D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987 cap. 7 W.E. Burcham, M.Jobes “Nuclear and Particle Physics, Longman 1995, cap. 13 - I.J.R.Aitchison, A.J.G.Hey, “Gauge Theories in Particle Physics”, Hilger, 1989, cap. 10

Interazione debole di corrente neutra Nell’ esperimento con camera a bolle GARGAMELLE al PS del CERN (fascio “Wide Band” di , con energia del fascio primario di protoni Ep= 26 GeV) furono osservati, oltre agli eventi di corrente carica alcuni centinaia di eventi senza muone nello stato finale: adroni interpretati come “processi di corrente neutra”: [successivamente confermati dall’ esperimento HPWF (spettrometro a FNAL, 1974)] Z0 nucleone X e 3 eventi di scattering elastico nm-elettrone :

Inter.debole di corrente neutra (come vedremo, la sezione d’ urto  s = 2MEn, dove M e’ la massa della targhetta, in questo caso l’elettrone, e’ 3 ordini di grandezza minore che per lo scattering su nucleone: il processo e’ quindi molto piu’ raro) Z0 e- e- [N.B.: con un fascio di ne il processo avrebbe contributi sia di C.N. che di C.C.: e- e- + Z0 W e- e- e- la sua osservazione non sarebbe di per se’ evidenza dell’ esistenza di una corrente neutra ]

Int.debole di corrente neutra In analogia con la teoria per l’ interazione di corrente carica, descritta dall’ elemento di matrice di eq.(2.15): (2.15) l’ elemento di matrice di transizione di corrente neutra puo’ essere scritto: (4.1) dove le costanti gV,Aq parametrizzano il fatto che l’ interazione possa non essere “pura V-A” (come invece e’ quella di C.C. che si manifesta nel DIS, quando i quark nel nucleone possono essere considerati liberi, o nel decadimento del muone ). Abbiamo visto come le sez. d’urto di C.C. che derivano dalla (2.15) siano date dalle eq. (2.20) e (2.21): (2.20) (2.21)

Int. debole di corrente neutra Calcoli analoghi a partire dalla (4.1) portano alle espressioni per le sez. d’urto di corrente neutra: (4.2) dove: (4.3) Le costanti gL,R misurano direttamente l’ accoppiamento alle componenti left-handed e right-handed dei quarks: [ Infatti, in (4.1): Se fosse gV=gA=g (ossia interazione pura V-A in (4.1) con costante G’=Gg ), si avrebbe gL=g, gR=0, e le (4.2) si ricondurrebbero alla forma (2.20), (2.21) delle CC, con G’ al posto di G ]

Int. debole di corrente neutra Integrando su x le sez. d’ urto differenziali (2.20, 2.21) e (4.2), si ottiene: (4.4) per le correnti cariche (4.5) per le correnti neutre dove si sono definite le quantita’, integrali delle pdf q(x), q(x): (4.6)

Int.debole di corrente neutra Si vede allora che valgono le: “relazioni di Llewelling-Smith” (4.7) che sono indipendenti dalle funzioni di struttura q(x) del nucleone, permettendo di determinare le costanti di accoppiamento gL,R prescindendo dalla loro conoscenza. Come vedremo, tali relazioni sono una delle basi per la determinazione dell’ angolo di Weinberg nell’ ambito del “Modello Standard” della Teoria unificata elettrodebole (QEWD) dalle misure di ‘bassa energia’ (s = 2EnmN << MZ, massa del bosone intermedio) e quindi per la predizione della scala di massa dei bosoni mediatori dell’ interazione debole.

Int. debole di corrente neutra Dati dall’ esperimento CHARM al CERN SPS [Z.Phys. C36 (1987),611]: Correnti Cariche Correnti Neutre Gli andamenti delle NC non sono molto diversi da quelli delle CC piccolo gR2 e’ piccolo [ cfr. eq. (4.7) ] Dal ‘best fit’ ai dati: L’ interazione debole di corrente neutra non e’ ‘pura V-A’.

Esperimento CHARM (Cern-Hamburg-Rome-Moscow collaboration) [Nucl. Instr. Meth. 178 (1980) 27 ] Massa fiduciale della targhetta : 65 tons Calorimetro:78 moduli marmo-scintillatore (ognuno di 8 cm spessore) + tubi a drift proporzionali, circondati da Fe magnetizzato evento di CC evento di CN

Corrente neutra: “settore n-elettrone” A partire dagli anni ’80, con il crescere delle dimensioni e complessita’ degli esperimenti (massa della “targhetta”, fino a varie tonnellate di materiale, capacita’ di rivelazione elettronica degli eventi…) si e’ resa disponibile una notevole quantita’ di dati relativi anche ai processi di scattering neutrino- elettrone: (questi ultimi con esperimenti presso i reattori nucleari). Le sezioni d’urto implicate, proporzionali a s=ECM2 [vedi eq.(7.5)], sono 3 ordini di grandezza inferiori (s=2Enme) rispetto allo scattering n-nucleone (s=2EnmN); di qui la maggior difficolta’, ed incertezza statistica nei risultati, degli esperimenti.

Corrente neutra: settore n-e L’ elemento di matrice del processo e’ lo stesso visto per il caso n-N in (4.1): (4.8) dove ora la corrente “adronica” del quark e’ sostituita dalla corrente leptonica dell’ elettrone, ed in essa gV,A sono a priori diverse dalle corrispondenti costanti gqV,A in (4.1) [vedremo che in effetti lo sono, esattamente secondo quanto previsto dal “Modello Standard”] . Le sezioni d’urto osservabili sono esprimibili in questo caso direttamente come sezioni d’urto ‘point-like’ [ l’ elettrone e’ puntiforme, a differenza del nucleone, nel quale abbiamo l’ integrazione su q(x)]; in stretta analogia con le (4.5) viste per nN, abbiamo: (4.9) dove al solito: [nota: il fattore 2 al denominatore in (4.2) e’ dovuto al considerare una targhetta isoscalare nello scattering nN, e qui non e’ presente]

Corrente neutra: settore n-e Per lo scattering si deve tener conto di un ulteriore contributo nella componente left-handed dovuto al processo di corrente carica: e- W e- con Integrando su y le (7.9), le eq. delle sezioni d’urto totali sono rappresentate da ellissi nel piano (gV,gA):

Corrente neutra: settore n-e gA L’ ellisse per il processo e’ spostata a causa del termine di C.C. Cio’ permette di risolvere la ambiguita’ di segno nel rapporto gV/gA che si avrebbe dai soli dati con neutrini del mu. gV Infine , la soluzione “dominante assiale”: gA-0.5 (che e’ quella prevista, come vedremo, dal Modello Standard) e’ deteminata dagli esperimenti di DIS elettromagnetico eN con fasci di e- polarizzati (eseguiti a SLAC), studiando la (piccola!) asimmetria tra le sez. d’urto con fasci e- di diversa polarizzazione, dovuta alla corrente debole.

Esperimento di DIS e.m. con fasci polarizzati Esperimento a SLAC con fasci polarizzati su targhetta di deuterio: [Prescott e collab., Phys.Lett. B77 (1978),347; Phys.Lett. B84 (1979), 524 ] Targhetta isoscalare (egual numero di protoni e neutroni: non richiede la conoscenza separata di u(x),d(x) rer il calcolo delle asimmetrie) Si misura, con alta statistica:

Esperimento di DIS e.m. con fasci polarizzati 2 Dall’ interferenza tra i processi e.m.(grande) e debole (piccolo): e-L,R e-L,R e-L,R e-L,R sL,R  + g Z0 N N con a(x),b(x) funzioni della variabile x di Bjiorken e di gV,gA [ per maggiori dettagli, vedi P.A.Sauder in ‘Precision tests of Standard Model, Langakher,1995] Risultato:

Esperimento CHARM2 [ Nucl.Instr.Meth. A278 (1989) 670; Misura nN nN ed anche: ne ne  36 m Massa: 600 tons 420 moduli (piani di vetro +tubi a streamer) - Grande massa Basso Z (minimizza il mult.scattering dell’elettrone)

Esperimento CHARM2 gA gv Le misure con neutrini (basso q22MEn) 200 GeV gv Le misure con neutrini (basso q22MEn) di gA,gV sono in ottimo accordo con quelle provenienti dallo scattering e+e-  mm,tt…a LEP (vedi dopo), fatte a momenti trasferiti molto piu’ elevati (q2MZ2 (90 GeV)2) Eq2 (GeV) variabile discriminante tra ne ne e nN  nN

Il “Modello Standard” della teoria elettrodebole La teoria elettrodebole unificata ( QEWD: Quantum Electro-Weak Dynamics) descrive in un’ unica teoria di campo di guage, non abeliana, L’ interazione debole (di CC e di CN) e la QED. Il cosiddetto “Modello Standard” dell’ interazione elettrodebole [proposto da Weinberg,Salam ancora nel 1967, prima della scoperta delle correnti neutre (1973)] si basa sul gruppo di simmetria SUL(2) UY(1): esso suppone l’invarianza dell’ interazione (ossia della lagrangiana che la descrive) rispetto a due trasformazioni locali ( dipendenti dalle 4-coordinate) di gauge indipendenti dei campi fermionici dei leptoni e dei quarks: - del gruppo di simmetria SU(2), che ‘genera’, attraverso la derivata covariante nella lagrangiana, i termini di interazione debole) - e del gruppo U(1) (che genera, essenzialmente come in QED, l’ interazione e.m.)

Il Modello Standard (4.10) (4.11) I campi fermionici spinoriali sono organizzati in doppietti di SU(2) (doppietti di “isospin debole”) per quel che riguarda la loro componente “left-handed”: (4.10) [ sono le tre famiglie leptoniche, e si sono indicate le tre famiglie di quarks di tipo (u,d): up,down/ charm,strange / top,bottom ; con si intende lo spinore del fermione considerato: ; inoltre , ecc…. ] ed in singoletti di SU(2) per quel che riguarda la componente right-handed: (4.11)

Il Modello Standard a=1,…8 Le trasformazioni di gauge dei campi spinoriali sono: (4.13) dove sono i tre generatori del gruppo SU(2) (la loro rappresentazione nello spazio 2 X 2 degli stati di isospin debole sono le matrici di Pauli: ) e b(x) sono 4 funzioni arbitrarie delle 4-coordinate. [ la (4.13) costituisce per la QEWD la relazione di trasformazione che per la QCD , basata sul gruppo di simmetria SU(3) con 8 generatori che agisce su tripletti di colore, abbiamo visto essere data dalla prima delle eq.(3.1): a=1,…8 i =1,2,3 ] (3.1) La derivata covariante, che in QED e’ [eq. (1.2)]: in QEWD diviene:

Il Modello Standard La parte fermionica della lagrangiana del sistema, che in QED e’ data da: [ da questa discende, attraverso le eq. di Eulero-Lagrange, l’ “eq. del moto” (1.3) della QED: ; sono i campi spinoriali dei fermioni elettricamente carichi ] diventa: (4.14) dove e B(x) sono i campi vettoriali associati alla trasf. di gauge (4.12). [ Nota: In (4.14), si sono indicati con d=(d,s,b) gli autostati di quark di tipo down gia’ ruotati dalla matrice CKM: q’=UCKMq rispetto agli autostati di massa ].

Il Modello Standard Sviluppando in (4.14) i termini in , la parte di interazione corrispondente a e’ data, per i leptoni: (4.15) “correnti cariche” n W- + W+ g n g “correnti deboli neutre” Z0 “corrente e.m.” (=> QED) A e un termine analogo si ha per Lint.quark

Il Modello Standard dove: con: “angolo di Weinberg”: (4.16) tutte le costanti di accoppiamento di tutti i fermioni ai bosoni intermedi nello SM sono esprimibili in funzione di quest’ unico parametro [ e quindi: Per identificare l’ ultimo termine in (4.15) con l’interazione e.m. LQEDint , deve essere: (4.17) carica elettrica Dal meccanismo di rottura spontanea della simmetria, sviluppando il termine di massa del campo scalare di Higgs [come verra’ discusso nel Corso di Teoria delle Int.Fondamentali; vedi ad es. Halzen, cap.15 ], si ottiene inoltre: MW = vg/2, MZ= v(g2+g’2)1/2/ 2 (4.18) valore di aspettazione nel vuoto del campo di Higgs e quindi:

Il Modello Standard L’ identificazione del primo in (4.15) con l’elemento di matrice dell’ interazione di C.C. V-A [cfr. eq.(2.15)]: porta alla relazione (a “livello albero” della teoria perturbativa; tale relazione verra’ modificata dalle correzioni radiative, che modificano il propagatore del bosone intermedio W): n n W 1/ MW2 (4.19) n n [ il propagatore di un bosone massivo e’ 1/(q2-M2W), dove q2 e’ il momento trasferito dal bosone; la costante di fermi G e’ misurata in processi, come il decadimento b nucleare o il decadimento del muone, nei quali q2 << MW2  (100 GeV)2 ]

Il Modello Standard Le costanti di accoppiamento vettore e assiale-vettore che entrano nella definizione delle correnti neutre per calcolare le ampiezze di scattering neutrino-leptone [eq.(4.8)]: costante di Fermi (dal decadimento del muone) (4.8) sono date, confrontando (4.8) con il termine di corrente neutra in (4.15) da: gA=-1/2 gV=-1/2 + 2 sin2qW (4.20) n n n n Z0

Il Modello Standard La relazione che generalizza la (4.20) a tutti i fermioni (leptoni carichi, neutrini, quarks) e’ la seguente: (4.21) dove I3f e’ la 3a componente dell’ isospin debole ( I3n, u = +1/2, I3e, d =-1/2 ) e qf e’ la carica elettrica del fermione in unita’ di carica elementare. Le (4.21) sono riassunte nella tabella seguente: (4.21’)

Il Modello Standard Riassumendo, la QEWD prevede l’ esistenza, in aggiunta al fotone Am, dei 3 bosoni massivi Wm e Zm0, le cui masse sono in relazione con le costanti di accoppiamento G, gA, gV misurate nei processi di int. deboli Di CC. e C.N a basse energie. Tali relazioni sono (a livello albero dell’ espansione perturbativa della teoria): (4.22) g=e/sinqW La determinazione piu’ precisa della costante di Fermi G deriva dal decadimento del muone: W [cfr.cap.2] fattore di spazio delle fasi G Vita media osservata:

Il Modello Standard L’ angolo di Weinberg e’ determinato dalle misure di scattering n-N e n-elettrone di CN. Integrando sulla variabile di inelasticita’ y=Eadr/En le relazioni di Llewelling-Smith [eq.(4.7)] si ha: (4.23) Inoltre, integrando le relazioni (4.5) per le sez. d’urto di CC, poiche’: si vede che , se si trascura il contributo di antiquark: [ questa approssimazione va in realta’ corretta; abbiamo visto dalle misure di F2nN e F3nN ]: (4.24)

Misura di sin2qW dai neutrini Inserendo quindi in (4.23) si ha: (4.25) Utilizzando: e le relazioni (4.21) previste dal Modello Standard per gA,gV, si ottiene, per una targhetta isoscalare (egual numero di protoni e neutroni  ) : (4.26) I risultati sperimentali possono essere visualizzati nel piano La curva che mostra la dipendenza da sin2qW e’ detta ‘naso di Weinberg’. [Sakurai,Ann.Rev.Nucl. Part.Sci.31 (1981), 375]

Misura di sin2qW dai neutrini Con gli esperimenti di n scattering di “seconda generazione” (anni ’80-90) la determinazione dell’ angolo di Weinberg si e’ resa molto precisa. Ad esempio, gia’ nel 1986 (tenendo conto delle correzioni dalle PDF degli antiquark), dai dati delle collaborazioni CHARM e CDHS: [da Perkins, Fig. 9.8 ] [CHARM: Phys.Lett.B177(1986),446; CDHS : Phys.Rev.Lett. 57 (1986), 298 ] Una determinazione indipendente viene dal settore n-elettrone; dalle eq. (4.9) si ha, con calcoli analoghi [es. 4.1]: anno 1984 [Part.Data Group, 1992] in pieno accordo con i dati neutrino-nucleone.

Misura di sin2qW dai neutrini Compilazione di risultati dagli esperimenti di “seconda generazione” (CERN e Fermilab): (x=sin2qW) CHARM2 (ne, ne, 1993): sin2qW=0.232  0.006  0.007 errore sperimentale (stat+sist.) incertezza teorica

Il Modello Standard ( sin2qW=0.23 ) La predizione (a livello albero) del Modello Standard, dai dati ottenuti dalle misure a bassa energia, per le masse dei bosoni intermedi e’ quindi: ( sin2qW=0.23 ) Le correzioni radiative determinano uno spostamento verso l’ alto di circa 3 GeV di tali predizioni. Come vedremo , la massa misurata dei bosoni e’: in ottimo accordo con la ‘struttura fine’ delle predizioni dalla teoria.

Esercizio 4.1 Abbiamo visto che per lo scattering v-e le sez.d’urto differenziali sono date da: con: (4.9) e inoltre, nel Modello Standard: gA= -1/2 gV= -1/2 + 2 sin2qW Allora: Integrando le (4.9) su y, essendo , si ha:

Esercizio 4.1(cont.)