Le proprietà delle potenze 52 : 32 = (15 : 3)2 = 52 152 x 22 = (15 x 2)2 = 302 42 × 43 × 4 = 46 513 : 510 = 513 105 : 104 = 105-4 = 101 = 10 24 × 23 × 2 = 34+3+1 = 28 185 : 183 = 185-3 = 182

Moltiplichiamo le potenze Osserviamo che scrivere 52 × 56 equivale a scrivere: 52 × 56 5 × 5 2 volte 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 6 volte × ossia: 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 58 2 + 6 = 8 volte Chiara, non usare la x, metti il simbolo di “per” come ho fatto nelle formule colorate

Prodotto di potenze con uguale base Il prodotto di due o più potenze di uguale base è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. am × an = am+n ( a, m, n N non nulli) Prodotto delle potenze Stessa base Somma degli esponenti

Alcuni esempi Prova tu • 34 × 32 = 34+2 = 36 • 35 × 32 × 3 = 35+2+1 = 38 • 20 × 23 = 20+3 = 23 • 24 × 23 × 2 = 34+3+1 = 28 Prova tu Completa le seguenti uguaglianze: • 35 × 34 = 3 ....+.... = 3 .... • 3 × 35 = 3 ....+.... = 3 .... • 33 × 33 = 3 ....+.... = 3 .... = 35+4 = 39 = 31+5 = 36 = 33+3 = 36

Esercitati • Completa la proprietà sotto riportata scegliendo tra i termini: base, esponente, potenze, il prodotto, la somma, la differenza. Il prodotto di due o più ...................... di ugual base è una potenza avente per base la stessa ...................... e per esponente ...................... degli esponenti. La stessa regola si può anche scrivere nel seguente modo: a .... × a .... = a ........... ( a, ......, ........ N non nulli) m, n la somma potenze am × an = a m+n base • Completa ora le seguenti uguaglianze. 32 × 35 = 3.....+..... = ...... 53 × 52 53 = 5.....+.....+...... = 5...... ........4 × 25 = 2...... + ...... = ...... ....... × 43 × 4 = 46 32 × 35 = 32+5 = 37 53 × 52 × 53 = 53+2+3 = 58 24 × 25 = 24+5= 29 42 × 43 × 4 = 46

Dividiamo le potenze Consideriamo la seguente moltiplicazione: 22 × 23= 25 Utilizzando i grafi: 22 25 23: ×23 Ricaviamo la seguente divisione: 25 : 23 = 22 Possiamo allora scrivere: 25 : 23 = 25-3 = 22

Quoziente di potenze con uguale base Il quoziente di due potenze di uguale base è una potenza avente per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. am : an = am−n ( a, m, n N; a 0 e m ≥ n) Quoziente delle potenze Stessa base Differenza degli esponenti

Alcuni esempi Prova tu • 105 : 104 = 105-4 = 101 = 10 • 102 : 105 = 102-5 (impossibile in N) • 74 × 73 : 72 = 74+3 : 72 = 77 : 72 = 77-2 = 75 • 75 : 7 × 74 = 75-1 × 74 = 74 × 74 = 74+4 = 78 Prova tu Completa le seguenti uguaglianze. • 75 : 72 = 7... • 94 : 9 = ...... • 32 × 34 : 33 = ..... • 47: 44 × 4 = ....... = 73 = 94-1 = 93 = 32+4 : 33 = 36 : 33 = 36-3 = 33 = 47-4 × 4 = 43 × 4 = 43+1 = 44

Esercitati • Completa la proprietà individuando la formulazione corretta. Il quoziente di due potenze di ugual base è una potenza avente per base la stessa base e per esponente:  il quoziente degli esponenti  la differenza degli esponenti  la somma degli esponenti x • Applica la proprietà alle seguenti uguaglianze. 185 : 183 = 185 ... 3 = 182 215 : 21...... = 21 65 : 63 = 6..... … ...... = ........ 17...... : 173 = 172 513 : 510 = ........ 456 : 4...... = 42 185 : 183 = 185-3 = 182 215 : 214 = 21 65 : 63 = 65-3= 62 175 : 173 = 172 513 : 510 = 513 456 : 454 = 42

Che potenza il 2! Le unità di misura della memoria degli apparecchi elettronici si esprimono con le potenze di 2. Il byte (B) è l’unità di base e le altre si chiamano kilobyte (kB), megabyte (MB) e gigabyte (GB). Questa è la relazione che le lega: 1 kB = 210 B = 1024 B 1 MB = 220 B = 210+10 B = 210 × 210 B = 210 kB = 1024 kB 1 GB = 230B = 2110+20B = 210 × 220 B = 210 MB = 1024 MB

Lavoriamo con potenze aventi base diversa Consideriamo il prodotto e il quoziente di potenze con lo stesso esponente ma con base diversa. Osserviamo i seguenti due esempi: • Prodotto 52 × 22 = 25 x 4 = 100 (5 × 2)2 = 102 = 100 • Quoziente 62 : 22 = 36 : 4 = 9 (6 : 2)2 = 32 = 9 quindi: 52 × 22 = (5 x 2)2 quindi: 62 : 22 = (6 : 2)2

Prodotto di potenze con uguale esponente Il prodotto di due potenze aventi uguale esponente è una potenza avente per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. an × bn = (a × b)n ( a, m, n N; a 0 e m ≥ n) Prodotto delle potenze Stesso esponente Prodotto delle basi

Quoziente di potenze con uguale esponente Il quoziente di due potenze aventi uguale esponente è una potenza avente per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. an : bn = (a : b)n ( a, m, n N; a 0 e m ≥ n) Quoziente delle potenze Stesso esponente Quoziente delle basi

Alcuni esempi Prova tu • 72 × 52 = (7 × 5)2 = 352 = 1225 • 23 × 33 × 43 = (2 × 3 × 4)3 = 243 = 13824 • Osserviamo che applicando le proprietà delle potenze possiamo facilitare il calcolo rapido. Infatti risulta più facile calcolare, per esempio: 153 : 53 = (15 : 5)3 = 33 = 27 anziché 3375 : 125 Prova tu Risolvi le seguenti operazioni utilizzando le proprietà delle potenze. • 203 : 43 = .......... • 53 × 33 = .......... • 124 : 64 = .......... • 53 × 83 : 103 = .......... (20 : 4)3 = 53 = 125 (5 × 3)3 = 153 = 3375 (12 : 6)4 = 24 = 16 (5 × 8)3 : 103 = 403 : 103 = (40 : 10)3 = 43 = 64

Esercitati • Completa la seguente scrittura. (an × bn) = (........ × ........)n (an : bn) = (........ : ........)n Quali proprietà esprime? ……. (a × b)n (a : b)n Prodotto e quoziente di potenze con uguale esponente • Applicando le corrispondenti proprietà delle potenze, completa le scritture. 222 × .......2 = 442 152 : 32 = (....... : ........)2 = ........... 452 : 152 = .............. 52 : 52 = (...... : ........)2 = .......... ............2 : 52 = 62 152 × 22 = (........ × ........)2 = .......... 452 × 22 = .......... 33 × 43 = (......... ×..........)3 = ........ 222 x 22 = 442 (15 : 3)2 = 52 (45 : 15)2 = 32 (5 : 5)2 = 1 302 : 52 = 62 (15 x 2)2 = 302 (45 x 2)2 = 902 (3 x 4)3 = 123