Liceo Scientifico “L. Garofano” Capua (CE)

Indice degli argomenti trattati a scuola negli incontri del laboratorio Aree di figure regolari: Misurazione di aree di figure regolari e di figure “strane”; teorema di Pick misura dell’area di una superficie di cartoncino con contorno irregolare utilizzando anche la bilancia digitale e calcolando l’errore su tale misura; calcolo di aree di superfici a contorno curvilineo; valutazione e errore

Argomenti selezionati per la presentazione di oggi - Un po’ di storia gli Egizi Talete Archimede e il metodo di esaustione Calcolo area segmento parabolico con: Geogebra Metodo Montecarlo

Un po’ di storia della misura

Che cos’è la misura? Per misura intendiamo un confronto, diretto o indiretto, tra due grandezze fisiche omogenee, di cui una è scelta come unità.

Ma … la misura ha origini molto antiche: essa è nata con l’uomo Ma … la misura ha origini molto antiche: essa è nata con l’uomo. Vediamo come si è evoluta nei secoli …

Prime civiltà Presso i primi popoli, la misura non aveva quel valore culturale che le attribuiamo noi oggi, ma aveva come unico impiego quello economico: i commercianti barattavano le merci in base al loro valore e al loro peso; in questo contesto nascono le prime bilance rudimentali.

Ecco alcuni strumenti di misura All'estrema sinistra: bilancia rudimentale. Al centro: cubito reale egiziano pieghevole; è uno dei più antichi strumenti di misurazione, suddiviso in 28 parti (18 mm ciascuno). La borsa di cuoio (in basso) serviva per legarlo alla cintura.  

Gli Egizi I problemi sono generalmente pratici, connessi con l’ingegneria edile, con l’attività agricola e con censimenti e tassazioni. Le formule sono molto semplici, non ci sono spiegazioni ai procedimenti. L’aritmetica, l’algebra e la geometria non sono divise.

Talete Talete nacque a Mileto, intorno al 625 a.C. Le sue più grandi scoperte si sono basate su quanto apprese dalla matematica egizia.

Secondo una leggenda, Talete calcolò l’altezza di una piramide: fissò un bastone nella sabbia e aspettò che l’ombra di questo fosse della stessa lunghezza del bastone, quindi il triangolo individuato era rettangolo isoscele. Di conseguenza anche il triangolo individuato dall’altezza della piramide e dalla sua ombra era dello stesso tipo. Così, misurando la lunghezza dell’ombra e aggiungendo metà della base, Talete risalì alla misura dell’altezza della piramide.

IL METODO DI ESAUSTIONE Il metodo di esaustione è un procedimento logico-matematico, le cui basi furono poste da Eudosso di Cnido, ed è utilizzato per calcolare aree di varie figure geometriche piane. Esso consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

…le sue origini Il termine esaustione non è usato dai greci ma viene introdotto nel XVI secolo. Si riferisce al procedimento di costruzione della figura intermedia descritto sopra alla cui base sta l'assioma seguente: se da una qualsiasi grandezza si sottrae una parte non inferiore alla sua metà e se dal resto si sottrae ancora non meno della sua metà e se questo processo di sottrazione viene continuato alla fine rimarrà una grandezza inferiore a qualsiasi grandezza dello stesso genere precedentemente assegnata. Nasce, dunque, dalla necesità di misurare qualsiasi cosa con strumenti che non siano numeri.

E l’esaustione per Archimede? Un famoso esempio di applicazione del metodo di esaustione è quello della quadratura del cerchio effettuata da Archimede. Egli però utilizzò due metodi, quello di esaustione, inscrivendo poligoni regolari su di un cerchio di raggio unitario, e il metodo di compressione, circoscrivendo cioè i poligoni al cerchio. In realtà Archimede non aveva trovato esattamente l'area del cerchio, ma aveva notato che man mano il numero dei lati aumenta, la loro lunghezza diminuisce proporzionalmente.

Il segmento Parabolico  Nel trattato “La quadratura della parabola” Archimede prova che l'area del segmento parabolico (la parte di piano compresa tra il segmento AB e la parabola) è uguale a 4/3 dell'area del triangolo costruito sulla base AB e avente stessa altezza del segmento parabolico. Egli costruisce sulle corde AC e BC due triangoli aventi per base la corda e per altezza quella del segmento parabolico staccato dalla stessa, e prova che l'area di AEC e CDB è un quarto dell'area di ABC. Costruendo triangoli sempre più piccoli sulle corde dei triangoli precedenti e sommando le aree di tutti i triangoli, ottiene un'approssimazione via via migliore del segmento parabolico. A ogni passo il numero dei triangoli inscritti raddoppia e l'area che si aggiunge è un quarto dell' area dei triangoli inscritti al passo precedente.

Ecco alcune cose che abbiamo sperimentato durante il laboratorio…

Cosa significa effettuare una MISURA Per misura intendiamo un confronto, diretto o indiretto, tra due grandezze fisiche omogenee, di cui una è scelta come unità.

Area del Segmento Parabolico Abbiamo, tra le altre cose, lavorato con GeoGebra e con Excel che ci hanno permesso di consolidare il concetto di area di una qualsiasi superficie piana come elemento di separazione tra insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti e contenenti, In particolare abbiamo affrontato: Area del Segmento Parabolico

L’AREA DEL SEGMENTO PARABOLICO Abbiamo utilizzato GeoGebra per verificare che l’area di Un segmento parabolico corrisponde ai 2/3 dell’area del rettangolo in cui il segmento è inscitto. Abbiamo disegnato una parabola e un rettangolo di 2 e ordinata 4.

In questo modo, approssimando, possiamo notare che per valori molto alti dello slider (cioè il numero dei rettangoli) la somma superiore e la somma inferiore coincidono. Facendo il rapporto tra l’area rilevata e l’area del rettangolo, otteniamo il valore di 2/3. L’esperimento ha confermato l’enunciato iniziale.

Osserviamo graficamente il nostro ragionamento.

In questa diapositiva osserviamo come la somma superiore e quella inferiore coincidono.

Metodo Montecarlo Si tratta di un metodo probabilistico che si usa per risolvere diverse Tipologie di problemi. Noi l’abbiamo utilizzato per verificare il teorema di Archimede.

SIMULAZIONE DI EXCEL

Presentazione Finale del Nostro Laboratorio Alunni: Giada Dimitroff, Erica De Caprio, Antonio, Capolongo, Valeria Sorbo, Marco Maione, Luigi Di Micco. Liceo Scientifico Luigi Garofano – Capua (CE) Coordinatrici del progetto: Prof.sse Chiappini Anna, Grella Filomena.