LE FUNZIONI Definizione Campo di esistenza e codominio Cenni relativi alle funzioni, propedeutici allo studio delle coniche LE FUNZIONI Definizione Campo di esistenza e codominio Il grafico di una funzione Funzioni iniettive e suriettive

DEFINIZIONE DI FUNZIONE Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una funzione da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale di A uno ed un solo numero reale di B. Linsieme di partenza A è detto DOMINIO quello delle immagini (cioè l’insieme che si ottiene costruendo tutte le immagini degli elementi di A attraverso la funzione f) è sottoinsieme di B ed è chiamato CODOMINIO.

FUNZIONE: RELAZIONE UNIVOCA Si tratta di un concetto molto importante: la funzione deve associare ad un elemento dell’insieme di partenza A un solo elemento nell’insieme di arrivo B. Come è possibile stabilire se una relazione è univoca? Supponiamo di avere l’equazione della nostra funzione: la variabile y non dovrà assumere valori differenti per uno stesso valore di x. Esempio: Sostituendo il valore x=5, ottengo che la y potrà essere o uguale a +3 oppure a -3 . L’equazione assegnata non è quella di una funzione. Volendo stabilire se un grafico è quello di una funzione, basta tagliarlo con rette verticali: tali rette devono intersecare il grafico una sola volta.

Calcola il dominio delle seguenti funzioni

Il codominio Il codominio è l’insieme dei valori immagine: basta verificare quali valori può assumere la y (variabile dipendente) al variare della x (variabile indipendente) nel CE. Se si ha a disposizione il grafico della funzione, basta “tagliarlo” con delle rette orizzontali. Tutte le intersezioni di tali rette con l’asse delle y forniscono i valori immagine (ovviamente le rette devono essere tutte e solo quelle che intersecano anche il grafico della funzione in esame!). Considera l’esempio della diapositiva seguente:

Esempio di codominio Y x Non è intersecato da alcuna retta orizzontale che intersechi anche il grafico: non fa parte del cod. Y x La parte sottolineata in rosso è il condominio (unione di due intervalli illimitati)

Classificazione delle funzioni

Il grafico DEFINIZIONE: si definisce grafico di una funzione il sottoinsieme del prodotto cartesiano RXR, formato dalle coppie ordinate di valori (x;y) tali che x appartiene al dominio della funzione e y al codominio. Da un punto di vista operativo, il grafico altro non è che un “disegno” che visualizza l’andamento della funzione (cioè: quali valori assume la y in relazione alla x; che segno ha la y quando la x varia in un determinato intervallo di valori; quando la funzione si annulla, cioè interseca l’asse delle x, etc…). Sarà compito dell’analisi infinitesimale (che studieremo in 5°) fornirti gli strumenti per realizzare grafici approssimativi delle funzioni reali a variabile reale. Per il momento ti serve osservare che il grafico di una funzione non può essere tagliato in più di un punto da rette verticali (concetto di univocità).

Funzioni iniettive e suriettive INIETTIVITA’: una funzione da A a B si dice iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte in B . SURIETTIVITA’: una funzione da A in B è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. BIIETTIVITA’ : una funzione è biiettiva ( o biunivoca) se è sia iniettiva che suriettiva. OSSERVAZIONE 1: una funzione è sempre suriettiva nel suo codominio.

QUESTO VALE PER OGNI X SCELTA NEL C.E. Si tratta di una funzione iniettiva: a x differenti corrispondono y differenti. QUESTO VALE PER OGNI X SCELTA NEL C.E. Si tratta di una funzione iniettiva: a x differenti corrispondono y differenti. QUESTO VALE PER OGNI X SCELTA NEL C.E. Questa funzione non è iniettiva su tutto il suo CE ( e quindi non è iniettiva).Infatti osserva le linee rosse: a due x differenti corrisponde la stessa y) Questa funzione non è iniettiva su tutto il suo CE ( e quindi non è iniettiva).Infatti osserva le linee rosse: a due x differenti corrisponde la stessa y)