Soluzioni di problemi elettrostatici ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3d (ultima modifica 01/10/2012) Soluzioni di problemi elettrostatici I problemi elettrostatici riguardano lo studio degli effetti delle cariche elettriche fisse. I principi dei campi elettrostatici possono essere applicati in differenti modi, in base ai dati inizialmente noti. La risoluzione di tali problemi richiede la determinazione: del potenziale elettrico V e quindi del campo: che è legato alla carica dalla relazione: e/o della distribuzione delle cariche elettriche  noto V. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Se è nota la distribuzione delle cariche elettriche possono essere determinati l’intensità del campo elettrico e quindi il potenziale elettrico V, essendo . In diversi problemi pratici non è nota l’esatta distribuzione delle cariche e le formule studiate per determinare queste grandezze non possono essere applicate in maniera diretta. Esistono diversi metodi di risoluzione per risolvere i problemi pratici elettrostatici, come: Il metodo delle immagini; Il metodo della separazione delle variabili; Metodi di trasformazione; Metodi numerici. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Equazione di Laplace e di Poisson Le due equazioni fondamentali della elettrostatica valide per ogni mezzo sono: e per la irrotazionalità del vettore campo elettrico, si può definire un potenziale elettrico V tale che: 3 In un mezzo isotropo e lineare: Da cui sostituendo nella relazione precedente si ha: essa è l’espressione della equazione di Poisson e è l’operatore Laplaciano, che equivale alla:“divergenza del gradiente di” M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d La risoluzione della equazione di Poisson comporta la risoluzione di una equazione di secondo grado alle derivate parziali calcolabile in ogni punto dello spazio, dove esiste la derivata di secondo ordine della funzione V(x,y,z). In coordinate cartesiane: che diventa: M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

In coordinate cilindriche: In coordinate sferiche: M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Nei punti di un mezzo semplice nei quali non è presente alcuna carica ossia:  = 0, l’Equazione di Poisson si riduce alla Equazione di Laplace: Con questa equazione è possibile risolvere problemi inerenti un insieme di conduttori mantenuti a potenziali diversi (condensatori). M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Unicità delle soluzioni elettrostatiche In molti casi semplici si ottiene la soluzione dei problemi elettrostatici attraverso l’integrazione diretta delle equazioni di Laplace o di Poisson. Nei casi più complicati possono essere usati altri metodi di risoluzione. Teorema della unicità La soluzione della equazione di Poisson (o per il caso particolare di Laplace) che soddisfa le condizioni al contorno date, è unica. Su questa asserzione si basano diversi metodi di risoluzione dei problemi elettrostatici. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

il principio di dualità: Inoltre poiché le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle superfici equiflusso, si può applicare ai campi il principio di dualità: Se un campo ha come superfici equipotenzali le superfici che sono equiflusso per un secondo campo, come conseguenza diretta le equipotenziali di questo secondo campo risultano le equiflusso del primo. Ciò consente di applicare direttamente i risultati ricavati per una certa configurazione ( per esempio con il contorno formato da equipotenziali), ad una configuarzione duale (con lo stesso contorno formato da equiflusso). M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d In diversi problemi le condizioni al contorno da soddisfare per risolvere direttamente le equazioni di Poisson e o di Laplace sono difficili da definire. Ma è possibile che le condizioni sulle superfici di contorno possano essere stabilite attraverso delle opportune cariche immagine equivalenti e le distribuzioni del potenziale possa possano essere determinate in maniera semplice. Questo metodo è il metodo delle immagini e può essere usato per ottenere soluzioni di problemi facili, per lo studio di campi in regioni spaziali delimitate da contorni rettilinei o circolari. In particolare il metodo si presta bene nel caso di cariche isolate. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Si consideri il caso di una carica positiva Q, posta alla distanza d al di sopra di un piano conduttore collegato a terra (a potenziale zero): Si voglia determinare il potenziale in ogni punto al di sopra del piano conduttore. Con la procedura formale occorre risolvere l’equazione di Laplace in coordinate cartesiane: x y z Q(0,d,0) Piano conduttore collegato a terra a potenziale zero M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d La soluzione V(x,y,z) deve soddisfare le seguenti condizioni: In tutti i punti del piano collegato a terra il potenziale deve essere uguale a zero: V(x,0,z)=0. Nei punti prossimi a Q il potenziale tende a quello della sola carica puntiforme (R è la distanza da Q ): Nel punto molto lontano da Q (x, y +, z ) il potenziale tende a zero. La funzione potenziale è pari rispetto alle coordinate x e z, cioè: V(x,y,z)=V(-x,y,z) e V(x,y,z)=V(x,y,-z). Una soluzione che soddisfi queste condizioni non è immediata. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Per giungere alla soluzione si può ragionare nel seguente modo: la carica +Q per y = d, indurrebbe cariche negative sulla superficie del conduttore piano, con una distribuzione di carica superficiale S. Il potenziale nei punti che stanno al disopra del piano conduttore applicando il principio di sovrapposizione degli effetti sarà: dove il secondo addendo tiene conto della densità di carica superficiale sul piano conduttore, R1 é la distanza del punto in considerazione dalla superficie elementare ds. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d L’integrale superficiale contenuto nella formula precedente può essere risolto solo se si conosce con esattezza la distribuzione della carica sulla superficie del piano conduttore. La condizione di potenziale nullo sul piano è soddisfatta se invece del piano conduttore si pone in y=-d una carica immagine uguale e opposta: -Q +Q P(x,y,z) R+ R- o d -d y x z M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Il potenziale in un punto P qualsiasi è così dato: Questa relazione soddisfa la condizione di potenziale nullo lungo il piano y=0, e fornisce il potenziale in ogni punto al di sopra del piano. L’espressione non è valida per y<0, poiché all’interno del conduttore il potenziale deve essere ovunque zero. Se il piano è a potenziale diverso da zero, il valore di tale potenziale costante viene aggiunto a quello ottenuto con l’immagine di Q e la relazione fornisce così l’espressione del potenziale in ogni punto per y>0. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Da questo esempio si vede come il metodo delle immagini consente di semplificare notevolmente questo tipo di problemi. Tale metodo facilita lo studio di campi prodotti in un mezzo con costanti dielettriche diverse, riconducendolo allo studio di campi in mezzi omogenei. Per applicarlo si definisce una configurazione di cariche che non è quella reale, ma tale da produrre lo stesso effetto relativo alla configurazione reale. L’entità e la distribuzione delle cariche virtuali devono soddisfare la legge della rifrazione: in corrispondenza delle superfici di separazione dei dielettrici. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Per comprendere la potenzialità di questo metodo si consideri il campo prodotto da una carica elettrica Q, posta nel punto P di un mezzo 1 a costante dielettrica 1, separato da una superficie piana, da un mezzo 2 con permettività 2. Lo studio di questo caso elementare si potrà estendere a un numero di cariche n. Su tale superficie per la legge della rifrazione si ha: 2 1 P a 2 1 Q M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Si possono verificare i seguenti casi: a) se il campo è normale alla superficie dal lato del mezzo 2 e questa è equipotenziale: b) se il campo è tangente (radente) alla superficie dal lato del mezzo 1 e questa è una superficie equiflusso. Il campo nel mezzo 1 risulta univocamente determinato da queste condizioni al contorno e non si altera se si sostituisce nel mezzo 2 una disposizione di cariche, che conservi per la superficie di separazione la condizione di equipotenzialità ( o equiflusso), ponendo in P’, punto immagine del punto P rispetto alla superficie di separazione una carica: – Q se la superficie deve risultare equipotenziale e + Q se deve risultare equiflusso. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d c) Nel caso generico in cui la superficie di separazione non è ne equipotenziale, ne equiflusso e si comporta nei riguardi della carica Q, come una superficie parzialmente riflettente; si può dimostrare che la legge della rifrazione risulta soddisfatta se il campo nel mezzo 1 è rappresentato dal campo, in un mezzo omogeneo comprendente tutto lo spazio, con costante dielettrica 1, dovuto: alla carica Q e alla carica posta nel punto P’, immagine di P e M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d il campo nel mezzo 2 è rappresentato dal campo in un mezzo omogeneo, comprendente tutto lo spazio, con costante dielettrica 2, dovuto ad una carica: posta nel punto P. +Q +Q’ +Q” a a P P’ P 1 2 1 2 M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d Queste cariche sono infatti quelle che danno, per ogni punto della superficie di separazione, indipendentemente dalla sua posizione, i valori di D e di E che soddisfano alle leggi della rifrazione. Dalle seguenti considerazioni si deduce inoltre come: il principio delle immagini consente quindi di ridurre lo studio di alcuni tipi di campi in mezzi con costante dielettrica diversa, allo studio di campi in mezzi omogenei. In tale modo si riconduce la soluzione di un problema a quella relativa a un problema più semplice con risoluzione nota. Questo metodo può essere applicato solo nel caso di cariche isolate. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3d