3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI (ultima modifica 01/10/2012) CAMPI ELETTRICI STATICI o ELETTROSTATICA M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI CAMPO ELETTROSTATICO L’elettrostatica studia i campi dovuti a cariche elettriche (sorgenti) a riposo (fisse nello spazio). In tali condizioni i campi generati non cambiano con il tempo e non si generano campi magnetici. L’elettrostatica studia il campo più semplice, ma ha una importanza fondamentale per comprendere i modelli elettromagnetici più complessi e generali. La spiegazione di molti fenomeni naturali come: fulmini (lightining), effetto corona, St. Elmo fire, grain explosion e i principi di diverse applicazioni industriali come l’oscilloscopio, ink-jet printer, xerografy e electret microphone, sono basati sulla elettrostatica. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI La teoria dei campi elettrostatici è finalizzata a definire le relazioni che legano: la configurazione geometrica e la natura dei conduttori e dielettrici, la distribuzione delle cariche sui conduttori e dielettrico interposto, le differenze di potenziale fra i conduttori e la distribuzione del campo nel dielettrico. Si tratta essenzialmente della risoluzione di un problema all’equilibrio. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Per esempio la determinazione delle grandezze di campo è utilizzata per determinare: la capacità fra conduttori, il gradiente massimo di isolamento o rigidità dielettrica, il valore del campo fra le placche di deflessione in un oscilloscopio, la schermatura della griglia di un tubo a vuoto, il campo agente su elettroni e lacune di un transistore, la forza di accelerazione che agisce su un elettrone in un cannone elettronico. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Lo sviluppo dell’elettrostatica nella fisica elementare inizia con la : Legge fondamentale dell’elettrostatica di Coulomb (1785), espressa dalla relazione, matematica: La forza che si stabilisce tra due cariche Q1 e Q2 di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza di separazione R12, ha: il modulo proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale alla distanza R12, la direzione lungo la linea di connessione delle cariche e il verso tale che le cariche di natura diversa si attraggono e le cariche uguali si respingono. R12 +Q1 +Q2 -Q2 M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Il caso più semplice dell’elettrostatica si ha per un La legge di Coulomb è basata su prove empiriche evidenti e quindi è anche un postulato. Il caso più semplice dell’elettrostatica si ha per un Campo elettrostatico dovuto a cariche elettrostatiche nel vuoto per definirlo è necessaria solo una delle quattro grandezze fondamentali vettoriali, che sono utilizzate per descrivere il modello elettromagnetico più generale: l’intensità del campo elettrico . M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI In generale l’esistenza di un campo in un punto P di esso, è rilevabile attraverso le forze che agiscono su una carica di sondaggio (test) puntiforme q posta in quel punto P. La carica q deve essere tale da non alterare la distribuzione del campo. Il campo elettrico in un punto P generico del campo è definito come la forza per unità di carica, che agisce su una carica puntiforme di sondaggio o test fissa q, quando questa sia posta in P: ha la stessa direzione della forza che agisce sulla carica test. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Se Infatti: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI I due postulati fondamentali dell’elettrostatica nel vuoto sono definiti attraverso la divergenza e il rotore di : Queste equazioni affermano che il campo elettrico statico: non è solenoidale a meno che  = 0, ma esso é irrotazionale. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI I due postulati fondamentali dell’elettrostatica descrivono due aspetti fondamentali dei fenomeni fisici legati alla presenza di un campo elettrostatico. Il I° postulato esprime analiticamente che il flusso elettrico che passa attraverso una superficie chiusa é esattamente uguale alle cariche contenute in quella superficie. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Infatti integrando il primo e secondo membro relazione analitica del I° postulato, espressa mediante l’operatore divergenza si ha: che rappresenta la legge di Gauss : il flusso totale di un campo elettrico nel vuoto, uscente da una superficie chiusa, è uguale alla carica totale racchiusa nella superficie diviso 0. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Il II° postulato esprime, come si può verificare empiricamente che: L’energia di un campo elettrostatico in un dato istante dipende solo dal valore e dalla posizione delle cariche in quell’istante e non dipende da come esse si sono evolute. Facendo percorrere ad una carica un percorso chiuso, non si compie nessun lavoro (proprietà conservativa del campo elettrostatico) Analiticamente questi concetti possono essere espressi da: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Infatti integrando la relazione che esprime il II° postulato, espressa mediante il rotore del campo e applicando il teorema di Stokes si ha: L’integrale lineare del campo elettrico lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero. Il prodotto scalare integrato lungo un qualsiasi percorso dl, , è pari alla tensione lungo tale percorso. Tale relazione nella teoria circuitale esprime la legge delle tensioni di Kirchhoff : la somma algebrica delle tensioni lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale a zero. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Un altro modo per dire che il campo è irrotazionale è che l’integrale lineare del campo lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero, ossia è indipendente dal percorso e dipende solo dai punti estremi del percorso: P1 C1 P2 C2 M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Postulati dell’Elettrostatica nello spazio vuoto Forma differenziale Forma integrale M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Campo elettrostatico dovuto ad una carica q fissa in una regione dello spazio vuota e illimitata. Si tratta del problema elettrostatico più semplice possibile. Se q è posta nell’origine degli assi, il campo elettrico è radiale e ha la stessa intensità in tutti i punti appartenenti ad una sfera di raggio R generica. Si ha: da cui risulta: R q z x y M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI In generale se la carica q non è localizzata nell’origine del sistema di coordinate scelto, occorre considerare un versore diverso: essendo: q o x y z P M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI In particolare la forza che agisce su una carica q2 posta all’interno di un campo generato dalla carica q1 è data dalla relazione: che rappresenta la forma matematica della legge di Coulomb. è il valore del campo nel punto P dove è posta la carica q2. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Se il campo elettrostatico è generato da un insieme discreto di cariche q1, q2,,…,qn , poiché l’intensità del campo elettrico è una funzione lineare di q con fattore di proporzionalità , è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Il campo totale in un punto P dovuto ad un insieme di cariche, è la somma vettoriale dei campi generati da ciascuna carica: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Campo elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche Il campo dovuto a una distribuzione volumica continua di carica si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna carica elementare relativa al volume differenziale dv’, per la distribuzione di carica. La densità di carica volumica  (C/m3) é una funzione delle coordinate. Poiché un elemento differenziale di cariche equivale ad una carica puntiforme, il contributo di carica  dv’ in un elemento di volume elementare dv’ all’intensità del campo elettrico nel punto P é: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Quindi l’intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione volumica di carica continua è: Il campo elettrico totale sarà: V’ dv’ P M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI L’intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione superficiale di carica continua è: L’intensità del campo elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione di carica lineare continua è: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Potenziale Elettrico Si può definire il potenziale elettrico facendo riferimento alla I° identità nulla, per la quale il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero: Infatti per il teorema di Stokes , l’integrale superficiale su una superficie è uguale all’integrale lineare del lungo un precorso chiuso che delimita la superficie : ed essendo: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Ossia se il campo è irrotazionale, esso può essere espresso come il gradiente di un campo scalare: Poiché le grandezze scalari sono più facili da trattare rispetto a quelle vettoriali, si è indotti a definire il potenziale V tale che: e a calcolare il campo attraverso l’operatore gradiente. Il potenziale elettrico ha un significato fisico: esso equivale al lavoro fatto per trasportare una carica da un punto P1 ad un altro P2 del campo, in senso contrario a quello del campo: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Esso non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni dei punti, si definisce differenza di potenziale elettrico tra i punti P1 e P2: P1 P2 C1 C2 M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Occorre fare due puntualizzazioni : L’inclusione del segno negativo nella relazione è necessaria per essere conformi con la convenzione per la quale il potenziale elettrico aumenta spostandosi in direzione opposta a quella del campo, ossia il campo è diretto dalle cariche positive verso quelle negative e il potenziale aumenta in senso inverso; In base alla definizione del gradiente di un campo scalare, la direzione di è parallela alle superfici delle linee di flusso o di campo, che indicano in ogni punto la direzione del campo , sono ovunque perpendicolari alle linee equipotenziali o alle superfici equipotenziali. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Potenziale elettrico dovuto a una distribuzione di cariche Il potenziale elettrico in un punto a distanza R da una carica q, riferito all’infinito, si può determinare dalla equazione: da cui: La differenza di potenziale tra due punti P2 e P1 alla distanza R2 e R1 rispettivamente dalla carica q è: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Lungo le linee equipotenziali la differenza di potenziale è nulla, in quanto la forza di campo non compie nessun lavoro essendo la forza perpendicolare al trattino dl in ciascun punto. Esempio: lungo il percorso P1- P3, il lavoro è uguale a zero. Il potenziale elettrico di un punto a distanza R da un sistema di cariche q1, q2,,…,qn , è ottenuto attraverso la sovrapposizione degli effetti dalla somma dei potenziali dovuti alle singole cariche: q P1 P2 P3 R1 R2 M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Come esempio, si consideri il dipolo elettrico costituito dalle cariche +q e –q separate da una piccola distanza d dipolo elettrico Le distanze dalle cariche del punto del campo P siano R+ e R- rispettivamente e il potenziale in P sarà: z +q -q  R R- R+ P d + - Punto R θ M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Se d << R e Per cui sostituendo nella espressione del potenziale: dove, è il momento del bipolo e il campo elettrico può essere ottenuto dalla relazione: + - Punto R θ M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

In coordinate sferiche si ha: essendo: si ha: M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in un volume finito, si ottiene integrando il contributo di un elemento di carica per l’intero volume : Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una superficie finita: Il potenziale elettrico dovuto a una distribuzione continua di cariche in una linea di lunghezza finita : M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Conduttori nei campi elettrostatici La classificazione dei materiali in base alle loro proprietà elettriche è la seguente: conduttori, semiconduttori e isolanti o dielettrici. Tutti questi materiali sono composti da atomi. La rappresentazione schematica del modello atomico è di un nucleo di cariche positive con le cariche negative degli elettroni che orbitano intorno. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Nei conduttori gli elettroni delle orbite più esterne sono debolmente vincolati alle loro orbite e migrano facilmente da un atomo all’altro. Negli isolatori o dielettrici in condizioni normali sono vincolati fortemente alle loro orbite ed è necessario applicare un campo esterno perché gli elettroni migrino. Le proprietà elettriche dei semiconduttori stanno tra quelle di conduttori e quelle degli isolatori, essi possiedono un numero limitato di cariche mobili libere. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Conduttori nei campi elettrostatici La proprietà elettrica macroscopica dei materiali è caratterizzata da un parametro costitutivo chiamato conduttività, che sarà definita in seguito, quando si studieranno i campi dovuti a cariche in movimento. Se viene generato un campo elettrico nel conduttore, il campo esercita una forza sulle cariche e fa si che si muovano una rispetto all’altra. Questo movimento continuerà sino a quando tutte le cariche raggiungeranno la superficie del conduttore e si ridistribuiranno in modo tale che la carica e il campo interni si annullino. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI All’interno di un conduttore in condizioni statiche la densità di carica ρ e il campo si annullano: Infatti: la prima condizione è dovuta al fatto che all’interno del conduttore non è presente alcuna carica e la seconda condizione è dovuta alla legge di Gauss: il flusso totale uscente attraverso la superficie chiusa che delimita il conduttore è uguale a zero. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Quindi se si considera un campo elettrostatico, generato da due corpi conduttori carichi A (con carica +Q) e B (con carica -Q) e nel campo elettrostatico così generato si introducono dei corpi conduttori, non precedentemente caricati, essi assumono, all’atto della introduzione del campo, un determinato valore del potenziale uguale per tutti i punti della regione occupata dal conduttore. La superficie esterna del conduttore C risulta essere una superficie equipotenziale del campo, dalla quale partono e arrivano linee di forza (o di flusso) in numero uguale, essendo nulle le somme delle cariche indotte positive +q e negative -q. B A C +Q -Q - + -q +q M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI La distribuzione sulla superficie del conduttore sottoposto a un campo elettrostatico, dipende dalla forma della superficie e tali cariche devono risultare fisse in uno stato di equilibrio: ciò equivale a dire che le componenti tangenziali del campo elettrico, che producono forze e movimenti tangenziali devono essere nulle. Sulla base di tali considerazioni si ha che per un conduttore immerso in un campo elettrostatico: Il campo in tutti i punti della superficie del conduttore risulta ovunque normale alla superficie. In condizioni statiche la superficie di un conduttore è una superficie equipotenziale. Poiché dappertutto all’interno del conduttore, in tutti i punti all’intero del conduttore si ha lo stesso potenziale elettrico V. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Quando un conduttore è inserito all’interno di un campo elettrostatico, alle cariche interne adesso è richiesto un tempo finito per ridistribuirsi sulla superficie del conduttore e raggiungere lo stato di equilibrio. Tale tempo dipende dalla conduttività del materiale e per i buoni conduttori è molto piccolo, (per il rame è dell’ordine di 10-19 s) . M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Schermo elettrostatico L’uso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si consideri un corpo conduttore 1 all’interno di uno schermo conduttore 2 collegato a terra e un terzo corpo conduttore 3. Se un conduttore, come il conduttore 2, è cavo il campo elettrico all’interno di esso è nullo, ossia l’involucro metallico può essere adoperato per sottrarre la parte di spazio da esso delimitata, all’influenza di campi elettrici esterni. 2 1 3 M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Campo elettrostatico in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto Per definire la componente tangenziale del campo, si calcoli la circuitazione del campo elettrostatico, ossia l’integrale lineare lungo il contorno abcda avente : larghezza: ab=cd=w e altezza: bc=da= h con h0 infatti il campo è nullo nel conduttore ( tratto della circuitazione cd) e i contributi al calcolo dell’integrale nei tratti bc e da sono trascurabili poiché h0 a b c d w h conduttore spazio vuoto s S M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Per definire la componente normale del campo, si applica il teorema di Gauss, considerando una superficie Gaussiana, come riportato in figura con la superficie superiore nello spazio vuoto e quella inferiore nel conduttore. Calcolando l’integrale superficiale del campo sulla superficie Gaussiana si ha: Quindi nella superficie di separazione tra il conduttore e lo spazio vuoto, per le condizioni statiche descritte: la componente tangenziale del campo è nulla e la componente normale del campo è uguale alla densità di carica superficiale diviso per la permettività dello spazio vuoto. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Condizioni al contorno in corrispondenza della superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto Quando un conduttore è posto in un campo elettrostatico, questo fa si che gli elettroni all’interno del conduttore si muovano in direzione opposta a quella del campo e le cariche positive in direzione concorde con quella del campo. Così le cariche libere si distribuiranno sulla superficie del conduttore creando un campo indotto tale da annullare il campo esterno sia all’interno del conduttore che in direzione tangenziale alla sua superficie. Quando le cariche raggiungono una condizione di equilibrio, il conduttore è di nuovo un corpo equipotenziale M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

Dielettrici nel campo elettrostatico I dielettrici ideali non contengono cariche libere. Quando un corpo dielettrico è posto all’interno di un campo elettrostatico, non ci sono cariche libere indotte che si muovono da un atomo all’altro come nei conduttori. Poiché i dielettrici contengono cariche vincolate queste agiscono sul campo elettrico. Un campo elettrico agisce sul dielettrico in due modi diversi: polarizzazione elettronica e polarizzazione per orientamento. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI La polarizzazione elettronica che consiste in uno spostamento relativo delle orbite degli elettroni periferici degli atomi rispetto al nucleo, per cui ogni atomo si comporta come un dipolo orientato secondo il campo. La polarizzazione per orientamento si presenta insieme a quella elettronica, in quei dielettrici in cui, già in assenza di campo esterno, le molecole costituiscono dei bipoli, che in assenza di campo sono orientati disordinatamente per l’agitazione termica. Tali molecole sono macroscopicamente neutre. In presenza di un campo si polarizzano i dipoli elettrici, ossia si orientano nella direzione del campo, modificando il campo elettrico sia all’interno che all’esterno del materiale dielettrico. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI

3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI Alcuni materiali dielettrici: electrets conservano una polarizzazione permanente anche quando il campo si annulla, ossia cessa la causa che ha generato la polarizzazione. Questi materiali si ottengono ponendo certe cere o materiali plastici in un campo elettrico, dopo averli precedentemente scaldati. Gli electrets sono materiali che presentano un comportamento analogo ai magneti permanenti e hanno trovato una importante applicazione nei microfoni ad alta fedeltà. M. Usai 3a_EAIEE_ CAMPI ELETTROSTATICI