MATEMATICA FINANZIARIA Docente: prof. Filippo Petroni fpetroni@gmail.com facebook

Interesse (e sconto) composto Interesse semplice è poco usato Rendere fruttiferi gli interessi da quando si formano Il fattore di capitalizzazione r(1) = 1+i ( per un periodo) Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni t=2 : r(2)=r(1)(1+i)=(1+i)2 t=3 : r(3)=(1+i)3… per t = n periodi r(n)=(1+i)n

Interesse (e sconto) composto Per ottenere tassi d’interesse equivalenti (che producono lo stesso interesse se applicati allo stesso capitale per lo stesso tempo) partiamo dalla relazione Dove i1/m è il tasso d’interesse relativo ad un m-esimo di periodo ed i è relativo ad un periodo

Interesse (e sconto) composto E quindi: se per esempio i è il tasso annuale ed m indica una frazione di anno. Più in generale r(t)=(1+i)t dove i e t sono espressi nella stessa unità di misura

Interesse (e sconto) composto Leggi di formazione dell’Interesse e del Montante: In questo regime le operazioni intermedie sono prive di conseguenze (la capitalizzazione degli interessi è già inclusa nel regime), vediamo come si dimostra:

Interesse (e sconto) composto Andamento funzionale del Montante e dell’Interesse: M=M(t)=C(1+i)t I=I(t)=C((1+i)t-1) C t

Interesse (e sconto) composto Leggi di formazione dello sconto e del valore attuale e quindi

Interesse (e sconto) composto Tasso nominale d’interesse Supponiamo C investito al tasso periodale i, ma l’interesse viene corrisposto ogni m-esimo di periodo => dopo 1/m di periodo Supponiamo ancora che l’interesse non viene capitalizzato (es. obbligazioni) ma viene “staccato” e messo a disposizione dell’investitore All’inizio del secondo m-esimo il capitale è ancora C => alla fine del secondo m-esimo

Interesse (e sconto) composto Tasso nominale d’interesse Alla fine del periodo l’investitore ha riscosso come interesse m “rate” di ammontare M C C+Ci1/m 1/m 2/m 3/m 4/m t

Interesse (e sconto) composto Tasso nominale d’interesse La somma di queste rate (divise per C) non ha un significato finanziario diretto => sono capitali disponibili in epoche diverse => vi si può dare però un valore indicativo e prende il nome di “tasso nominale” convertibile m volte equivalente al tasso effettivo i, lo si indica normalmente con j(m)

Interesse (e sconto) composto Tasso nominale d’interesse Dimostriamo che se si ipotizza che gli interessi vengono reinvestiti al tasso i equivalente al tasso nominale j(m) il montante prodotto è lo stesso: Prendiamo t=1 (periodo), 1 euro investito al tasso j(m) genere, dopo 1/m di periodo, i1/m euro e al tempo 1 il montante di questa somma sarà i1/m (1+i)1-1/m

Interesse (e sconto) composto Vediamolo graficamente t=0 t=1 t=1/m t=2/m i1/m I r(1-1/m)=(1+i)1-1/m r(1-2/m)=(1+i)1-2/m

Interesse (e sconto) composto Tasso nominale d’interesse Quindi il montante complessivamente generato al tempo 1 risulta: E quindi il montante prodotto è lo stesso N.B. c’è una differenza sostanziale tra tassi effettivi e tassi nominali => per il tasso nominale si suppone la possibilità di reinvestire gli interessi al tasso effettivo i

Interesse (e sconto) composto Tasso istantaneo Consideriamo un tasso nominale convertibile infinite volte: Per calcolare il limite ho usato il teorema di de l’Hopital

Interesse (e sconto) composto Definiamo tasso istantaneo d’interesse la quantità Come per il caso di m finito facciamo vedere che questo tasso è equivalente al tasso periodale i, infatti l’interesse prodotto dopo dt capitalizzato fino a 1 è:

Interesse (e sconto) composto Quindi se sommo tutti i contributi di interesse fino al tempo t (equivale a calcolare l’integrale) =>

Interesse (e sconto) composto Anche attraverso i tassi istantanei possiamo definire montante e capitale attuale => Vediamo come è influenzato il tasso istantaneo dall’unità di misura: poiché se cambio l’unità di misura del tempo t  kt il Montante prodotto deve rimanere lo stesso => δ  δ/k N.B. tasso istantaneo di interesse e tasso istantaneo di sconto coincidono

Confronto tra i tre principali regimi finanziari Confrontiamo i tre diversi fattori di capitalizzazione per i tre regimi studiati. Indichiamoli con rs(t), ri(t), rc(t) Consideriamo tutti relativi allo stesso interesse periodale i

Confronto tra i tre principali regimi finanziari Si può dimostrare che: Interesse semplice rs(t)=1+it Interesse composto rc(t)=(1+i)t Interesse iperbolico t r 1 1+i