Economia Applicata all’Ingegneria CORSO DI Economia Applicata all’Ingegneria Dott.ing. Massimo Di Francesco (mdifrance@unica.it) http://sorsa.unica.it/ Dott.ssa Michela Lai (mlai@unica.it) ESERCITAZIONE N°1

Programmazione lineare In queste esercitazioni vedremo come la programmazione lineare possa supportare il processo decisionale al fine di risolvere alcuni problemi di economia. Usiamo i modelli di programmazione lineare, perché: sono molto diffusi consentono di rappresentare bene molti problemi decisionali presentano un’unica soluzione ottima in termini di funzione obiettivo permettono di trattare problemi molto più grandi rispetto alla programmazione non lineare

Pianificazione della produzione Definizione del problema La vostra società si occupa del trattamento di lamine di silicio – i wafer – per la produzione di 2 linee di microprocessori: Processori A, più potenti e destinati ad un mercato “server” Processori B, meno potenti e destinato ad un mercato “home” La vostra società è in grado di trattare 3000 wafer a settimana. Da ogni wafer si possono ricavare solo processori di tipo A o di tipo B Da ogni wafer si possono ottenere: 300 processori di tipo A con una resa media del 50% 500 processori di tipo B con una resa media del 60% (i processori B sono meno grandi e meno soggetti a difetti)

Pianificazione della produzione Definizione del problema Prezzi di vendita: 500$ per ogni processore di tipo A 200$ per ogni processore di tipo B La divisione commerciale della vostra società ha stabilito che la massima quantità di processori che possono essere immessi settimanalmente sul mercato senza causare riduzione di prezzi è: 400.000 processori di tipo A 700.000 processori di tipo B

Pianificazione della produzione Definizione del problema Determinare con un modello di programmazione lineare quanti processori di tipo A e B occorre produrre settimanalmente, in modo da massimizzare l’utile atteso per la vostra società Processori A Ricavo: 500 $/processore Massima quantità di processori A immettibili sul mercato in una settimana: 400.000 processori Capacità produttiva: 300 processori A ottenibili da 1 wafer con resa del 50% Processori B Ricavo: 200 $/processore Massima quantità di processori B immettibili sul mercato in una settimana: 700.000 processori Capacità produttiva: 500 processori B ottenibili da 1 wafer con resa del 60% L’impianto è in grado di trattare 3000 wafer alla settimana

Pianificazione della produzione Costruzione del modello di ottimizzazione : numero di processori di tipo A da produrre in una settimana : numero di processori di tipo B da produrre in una settimana Variabili: Poiché non è possibile produrre quantità negative di processori ed esistono delle limitazioni superiori imposte dalla divisione commerciale, si ha che:

Pianificazione della produzione Costruzione del modello di programmazione lineare Vincoli dovuti al processo produttivo: Wafer 1 Wafer 2 ……………………………………….. Wafer 3000 : numero di wafer impiegati per produrre processori di tipo A : numero di wafer impiegati per produrre processori di tipo B Da ogni wafer si possono ricavare in una settimana: processori di tipo A processori di tipo B

Pianificazione della produzione Costruzione del modello di programmazione lineare Ipotizzando che i costi di produzione, pubblicità e distribuzione siano indipendenti dalla tipologia di processore, massimizzare tale ricavo è equivalente a massimizzare l’utile atteso dalla vostra società Il ricavo è dato dalla seguente funzione lineare:

Pianificazione della produzione Determinazione delle soluzioni del modello di programmazione lineare Modello di ottimizzazione: s.t. Esercizio Rappresentare lo spazio ammissibile. Indicare 3 soluzioni ammissibili e i relativi ricavi

Pianificazione della produzione Determinazione delle soluzioni del modello di programmazione lineare Modello di ottimizzazione: Spazio ammissibile: s.t.

Pianificazione della produzione Analisi dei risultati Quanti wafer occorre utilizzare all’ottimo per i due tipi di processori? Questi valori di e non sono accettabili, in quanto un wafer può essere impiegato solo per una tipologia di processori. Tuttavia, spesso le stime commerciali hanno un rilevante margine di incertezza. Una buone soluzione ammissibile intera è:

Pianificazione della produzione Determinazione delle soluzioni col software Lindo Modello di ottimizzazione: Esercizio Scrivere l’istanza su Lindo: s.t.

Pianificazione della produzione Determinazione delle soluzioni col software Lindo Modello di ottimizzazione: Istanza su Lindo s.t.

Pianificazione della produzione Determinazione delle soluzioni col software Lindo Soluzione su Lindo

Pianificazione della produzione Analisi dei risultati col software Lindo Variable value è il vettore delle variabili in condizioni di ottimo Slack or Surplus indica lo scarto tra primo e secondo membro all’ottimo Tralasciamo al momento il significato di Reduced cost Dual prices

Conclusione Abbiamo visto come un problema di produzione possa essere affrontato con l’ausilio della programmazione lineare. Ciò è stato possibile attraverso le seguenti fasi: Definizione del problema Costruzione di un modello di programmazione lineare per quel problema Scrittura delle istanze sul software scelto Determinazione di una o più soluzioni Analisi dei risultati ottenuti