Sistema di numerazione binario Unità di apprendimento di matematica

Gli obiettivi del nostro lavoro Capire cosa si intende per “sistema di numerazione” Comprendere le differenze tra “sistema additivo” e “sistema posizionale” Acquisire la consapevolezza della dimensione storica di questo argomento

Antichi sistemi di numerazione Per numerazione si intende un insieme di regole per enunciare e scrivere i numeri Ogni popolo del passato escogitò un proprio sistema di numerazione parlato e scritto Nel corso della storia molti sistemi si affermarono e poi scomparvero

Antichi sistemi di numerazione I Greci indicarono alcuni numeri con le lettere dell’alfabeto:  (alfa) per il numero 1  (beta) per il numero 2  (gamma) per il numero 3 … e così via fino al numero 9 Con altre lettere erano indicati i numeri 10, 20… 90 e poi 100, 200… fino a 900

Antichi sistemi di numerazione Questo sistema viene chiamato “additivo” perché il numero è scritto come somma di simboli    342 = (tao) 300 (mi) 40 (beta) 2 + +

Antichi sistemi di numerazione Vaso greco del 500 a.C. (Museo archeologico di Napoli)

Origine dei simboli 0 e 1 Lo 0 è indispensabile per costruire un sistema di numerazione posizionale A questo numero sono state attribuite origini diverse: L’ipotesi più attendibile è che sia stato introdotto dagli Indiani che lo indicavano con un punto, chiamandolo sunya (vuoto) In seguito gli Arabi lo accolsero indicandolo con il nome sifr (da cui deriverà la parola italiana cifra) I Romani tradussero sifr con la parola cephirum Nella lingua italiana fu pronunciato zevero, e quindi zero Anche in inglese e in francese, pur con una diversa pronuncia, si scrive ugualmente zero

Origine dei simboli 0 e 1 Tra le varie ipotesi sull’origine della sua forma, la più accreditata è che rappresentasse il simbolo di vuoto in una posizione dell’abaco Altri studiosi ritengono invece che la sua forma derivi dalla prima lettera della parola greca outis, che significa “niente” Il simbolo 1 sembra invece derivare dal segno tracciato sulla sabbia o su tavole di argilla per contare animali, oggetti, ecc. Anche nelle lingue cinese e giapponese il numero uno viene rappresentato da un trattino che però è disposto orizzontalmente

Forma polinomiale di un numero binario Sia nel sistema binario che in quello decimale un numero è rappresentato da una sequenza di cifre Tra i due sistemi esiste però una differenza: Il sistema decimale utilizza 10 cifre (dallo zero al nove) Il sistema binario ne usa solo due (lo zero e l’uno) Oltre che in cifre, un numero può essere rappresentato in forma polinomiale Questa rappresentazione ci permette di trasformare i numeri binari in numeri scritti in base 10 o viceversa

Forma polinomiale di un numero binario La forma polinomiale di un numero binario è la somma delle potenze di 2, ciascuna moltiplicata per la cifra corrispondente 1 . 24 16 + 0 . 23 1 . 22 4 1 . 21 2 0 . 20 1 Cifra in base 10 Cifra in base 2 = 22 Risultati delle potenze di 2 moltiplicate per la cifra binaria corrispondente

Forma polinomiale di un numero binario Numero binario formato da 8 cifre Fare doppio CLIC all’interno del riquadro per modificare la sequenza delle cifre binarie. Per chiudere la finestra di inserimento fare CLIC fuori del riquadro. Questa operazione deve essere svolta al di fuori della modalità di presentazione Numero corrispondente in base 10

Numeri binari e interruttori All’interno di un computer l’unica forma di rappresentazione dei numeri è quella binaria Il computer elabora le informazioni mediante un insieme di stati caratterizzati da presenza o assenza di tensione elettrica Questo concetto può essere illustrato con un esempio, dove sono rappresentate quattro lampadine collegate ad una batteria elettrica mediante un interruttore: Quando l’interruttore è chiuso, la corrente elettrica fluisce attraverso la lampadina che, di conseguenza, si illumina Invece, quando l’interruttore è aperto, il flusso di corrente elettrica si interrompe e la lampadina corrispondente resta spenta Associando il valore 1 alle lampadine accese e il valore 0 a quelle spente otteniamo una rappresentazione binaria dei numeri

Numeri binari e interruttori Azionando i quattro interruttori del disegno possiamo rappresentare tutti i numeri naturali compresi tra lo zero (tutti gli interruttori aperti) e il quindici (tutti gli interruttori chiusi) ( 0 1 1 )2 510 = Lo stato attuale della struttura rappresentata in questo schema corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 5

Bit e byte All’interno dei computer i dati vengono rappresentati attraverso cifre binarie Questo avviene perché la corrente elettrica nei circuiti del computer può solo assumere due valori: 0 non c’è corrente 1 c’è corrente Ogni cifra binaria è indicata con il termine di bit (contrazione del termine inglese BInary digiT, “cifra binaria”) Una rappresentazione con 8 bit viene indicata con il termine di byte. Nel computer il byte ha assunto il ruolo di unità di misura dell’informazione Tutte le rappresentazioni numeriche adottate nei moderni calcolatori usano un numero di bit multiplo di 8

Bit e byte La rappresentazione binaria non viene solo utilizzata per esprimere numeri ma anche per i caratteri alfabetici e i codici che il computer può eseguire Ad esempio vengono rappresentati con un byte: I caratteri alfabetici I caratteri numerici I simboli delle quattro operazioni aritmetiche I segni di punteggiatura A differenza dei valori numerici, in questi casi la corrispondenza tra un dato carattere o simbolo e la combinazione di 1 e 0 presenti nel byte che li rappresenta è puramente arbitraria Per evitare problemi nel trasferimento dei dati tra un computer e l’altro occorre però che la codifica dei caratteri alfanumerici sia la stessa per tutti

Il codice ASCII Il codice ASCII è stato elaborato per assegnare in modo univoco una cifra binaria per ognuno dei caratteri alfanumerici utilizzati nella comunicazione scritta Ogni simbolo viene memorizzato in un byte: per questo motivo il codice ASCII può rappresentare 256 simboli diversi Un messaggio scritto sarà quindi formato da tanti byte quanti sono i caratteri utilizzati

Il codice ASCII In questa tabella sono rappresentati otto simboli e il numero binario che li rappresenta nel codice ASCII RAPPRESENTAZIONE BINARIA NUMERO DECIMALE CODICE ASCII 00101011 43 + 01100001 97 a 00101101 45 - 01000001 65 A 00101010 42 * 01100010 98 b 00101111 47 / 01000010 66 B Con un byte possiamo rappresentare 256 valori (da 0 a 255) Il codice ASCII assegna ad ognuno di questi valori un diverso simbolo