Presentazione superiori Progetto argomentare, Congetturare, Dimostrare - Scuole Superiori: I.P.I.A. I.T.I. Liceo Socio Psico-Pedagogico Liceo Scientifico Insegnanti coivolti: Buscemi Carmela, Campagna Maria, Dimarco Paola, Indovino Giuseppa, Lina Carini, Fabio Lo Iacona.

Elaborazione della consegna Elaborazione dell’analisi a priori Fasi della prova Elaborazione della consegna Elaborazione dell’analisi a priori Prova Raccolta dei dati Analisi quantitativa Analisi qualitativa

Prerequisiti La prova riguarda un argomento curricolare del programma di seconda. Prerequisiti richiesti: Equazioni di I° grado Legge di annullamento del prodotto NB: Dato che siamo in una situazione a-didattica, la prova verrà svolta prima della trattazione delle equazioni di II° grado

Consegna L’età a sorpresa! Oggi è il compleanno di Andrea che fra 1 anno avrà come età la quarta parte del quadrato dell’età che aveva due anni fa. Quante candeline deve mettere sulla torta?

L’analisi a priori L’analisi a priori è l’insieme delle possibili strategie risolutive di un dato problema ipotizzate dal docente prima della somministrazione della consegna.

L’analisi a priori: Struttura Descrizione del tipo di procedimento: aritmetico, parzialmente algebrico, algebrico. Linguaggio utilizzato: naturale, parzialmente simbolico, simbolico. Soluzione del problema: perviene alla soluzione, non perviene alla soluzione. Descrizione del tipo di procedimento Linguaggio utilizzato Soluzione del problema

La nostra analisi a priori A1 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con la lingua naturale e non perviene alla soluzione del problema.   A2 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con la lingua naturale e perviene alla soluzione del problema. A3 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con un linguaggio parzialmente simbolico e non perviene alla soluzione del problema. A4 Utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con un linguaggio parzialmente simbolico e perviene alla soluzione del problema. ………………………………………………….. A20 Utilizza un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico, rappresenta il problema, ma segue una procedura scorretta e trova un’ espressione algebrica che non è un’equazione di secondo grado spuria e che non gli permette di trovare alcuna soluzione esatta.

La nostra analisi a priori A21 Non utilizza alcun procedimento.   A22 Segue diversi tentativi, utilizzando sia il procedimento aritmetico che quello algebrico, e non perviene alla soluzione. A23 Segue diversi tentativi, utilizzando sia il procedimento aritmetico che quello algebrico, e perviene alla soluzione. A24 Segue un procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta e perviene alla soluzione.   A25 Segue un procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta e non perviene alla soluzione

Somministrazione della prova La prova è stata suddivisa in tre parti: I Fase – Fase dell’ azione: Gli alunni si sono misurati individualmente con il problema e hanno congetturato le possibili soluzioni II Fase – Fase della formulazione o della Comunicazione: Gli alunni sono stati divisi in due gruppi, all’interno dei quali ogni alunno ha tentato di comunicare ai propri compagni le strategie congetturate. III Fase – Fase della validazione: I due gruppi, attraverso i propri rappresentanti, socializzano le proprie congetture negoziandole dialetticamente.

Parte della tabella di Excel utilizzata per l’analisi quantitativa La raccolta dati Parte della tabella di Excel utilizzata per l’analisi quantitativa

Analisi quantitativa Per l’analisi quantitativa sono stati utilizzati Excel e lo Chic Albero della similarità

Analisi quantitativa L’albero della similarità mette in evidenza l’esistenza di sei gruppi di strategie risolutive: Il primo indica che non perviene alla soluzione del problema chi argomenta con la lingua naturale e utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico (A1 ) e chi utilizza un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico, rappresenta correttamente il problema ma non perviene correttamente ad alcuna soluzione dell’ equazione spuria. Il secondo gruppo perviene alla soluzione, utilizza un procedimento esclusivamente aritmetico, argomenta con la lingua naturale( A2) oppure non perviene alla soluzione perché utilizza un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico, rappresenta il problema, segue una procedura corretta, ma per errore di calcolo trova un’ espressione al-gebrica che non è un’ equazione spuria (A19) , segue diversi tentativi utilizzando sia procedimenti aritmetici che algebrici (A22) ,oppure utilizza un procedimento algebrico e argomenta con la lingua naturale( A9).  

Analisi quantitativa Nel terzo gruppo troviamo le strategie che pervengono alla soluzione del problema utilizzando un procedimento esclusivamente aritmetico, argomentando con un linguaggio parzialmente simbolico (A3) oppure non utilizzano alcun procedimento (A21)   Al quarto gruppo appartengono le strategie che pervengono alla soluzione perché utilizzano un procedimento esclusivamente aritmetico, argomentano con un linguaggio parzialmente simbolico (A4), utilizzano un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico, rappresenta correttamente il problema, perviene correttamente alla soluzione dell’ equazione spuria, trovando entrambe le soluzioni e motivando correttamente la soluzione che viene scartata (A13),oppure segue un procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta e non perviene alla soluzione. (A25)

Analisi quantitativa Il quinto gruppo è costituito dalle strategie che utilizzano un procedimento parzialmente (A7) o completamente algebrico(A11), argomentano con un linguaggio parzialmente simbolico ma non pervengono alla soluzione del problema. Il sesto gruppo è costituito dalle strategie di chi segue un procedimento aritmetico (o algebrico), non argomenta e perviene alla soluzione. (A24) Questa strategia è simile a quella di chi segue diversi tentativi utilizzando sia procedimenti aritmetici che algebrici e non perviene alla soluzione (A20) oppure utilizza un procedimento algebrico, argomenta con un linguaggio simbolico, rappresenta il problema, ma segue una procedura scorretta e trova un’ espressione algebrica che non è un’equazione di secondo grado spuria e che non gli permette di trovare alcuna soluzione esatta (A23).

Analisi Qualitativa L’analisi qualitativa rileva, nelle argomentazioni fornite dagli alunni, la presenza di alcuni indicatori linguistici come: se io…,se prendiamo…,se noi…., e così…., quindi…, allora…, ( indicatori di condizionalità) basta…,non è…,sempre…,come… (indicatori tautologici) come si vede..,sono come.. (indicatori evidenzianti principi ostensivi)

Analisi Qualitativa Esempi: Procedimenti per tentativi (Forse se facciamo così….) “Forse se svolgiamo il quadrato del binomio potremo ottenere qualche cosa..” Falsi ragionamenti (Ragionamenti errati) “Secondo me l’ espressione algebrica corrispondente più adeguata al testo è: “ “Invece, secondo me, la soluzione esatta viene dall’ espressione: “ 3) Tentativi di ragionamento (Penso che…) “Come dati abbiamo trovato x+1, x sta a dire l’ età, 1 è l’anno successivo…” “Dobbiamo trovare l’ età e sappiamo che fra un anno avrà….”

Analisi Qualitativa 4) Ragionamenti con tentativi di giustificazione (Secondo me no, perché…) “secondo me , invece, i dati erano ¼ del quadrato dell’ età di due anni fa…” 5) Argomentazioni di tipo tautologico ( E’ così perché è così…) “Io penso che Ettore ha ragione!” 6) Ragionamenti che giustificano la risposta con riferimenti di tipo pragmatico “Tra le due soluzioni secondo me quella giusta è x=8 perché (indicatore linguistico estensivo) se fosse x=0, il quadrato dell’ età di due anni fa non si poteva trovare”

Analisi Qualitativa 7) Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo teorico “Quello che penso è che se (indicatore linguistico di condizionalità) fra un anno avrà la quarta parte del quadrato dell’età che aveva due anni fa, allora l’ espressione risolvente è…(la esprime correttamente)” “Secondo me le soluzioni sono x=0 oppure x-8=0, perché (indicatore linguistico estensivo) sono questi i due fattori” 8) Ragionamenti che giustificano la risposta con argomentazioni di tipo teorico e generale “Si deve passare dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico. Quindi(indicatore linguistico di sequenzialità) occorre trasformare i dati in incognite e l’incognita per noi è costituita dal numero di candeline da mettere sulla torta, cioè dall’età di Andrea”

Analisi Qualitativa “ Poiché (indicatore linguistico di condizionalità) fra un anno Andrea raggiungerà la quarta parte del quadrato dell’ età che aveva due anni fa, allora l’ espressione risolvente è …..(la scrive correttamente) “secondo me la soluzione si può indicare con l’ incognita x, che sta ad indicare il numero delle candeline, quindi l’espressione algebrica risolvente è …. che essendo un’ equazione si risolve sempre (indicatore linguistico di generalità) riducendola in forma normale, ………., infine troviamo l’equazione … che essendo un’ equazione di secondo grado potrebbe avere due soluzioni, infatti (indicatore linguistico esplicativo) se mettiamo in evidenza…..”