prototipo di crescita esponenziale crescita aritmetica

e ? uguale a ? ?

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cifre

da notare ricorsione ??

+ = dimostrazioni alternative n+1 squadre, quanti incontri nel campionato ? la prima squadra incontra n squadre, la seconda n-1 ecc. oppure ogni squadra incontra n squadre quindi in totale n (n+1) incontri, che abbiamo contato 2 volte

dimostrazione meno elegante se n pari 1 2 ….. n/2 n/2+1 ….. n-1 n n+1 n/2 volte se n disparidue modi n-1 pari oppure 1 2 ….. (n+1)/2-1 (n+1)/2 (n+1)/2+1 ….. n-1 n

? come dimostrarlo ? Somma dei primi n numeri dispari

induzione vero per n=0 se vero per (n-1) allora vero per n

Teorema: Tutti i gatti hanno lo stesso colore: Dimostrazione: base dellinduzione: un gatto ha lo stesso colore (ovvio) passo induttivo: ogni insieme di n-1 gatti ha lo stesso colore. Dato un insieme di n gatti, si prendano i gatti da 1 a n-1. Devono avere lo stesso colore. Si prendano i gatti da 2 a n. Devono avere lo stesso colore. Ma i gatti da 2 a n-1 hanno anche lo stesso colore. Quindi tutti gli n gatti hanno lo stesso colore. Dove sta lerrore ?

Chi cresce di più ? Ma per n=997 avviene il sorpasso (299 cifre decimali) come calcolare efficientemente 2^n ?

Racconto del poeta arabo al-Sabhadi (Bagdad 1000 d.C) sullorigine degli scacchi Motivazione: facilità del calcolo di 2 alla 64 con il metodo indiano

Metodo indiano: sviluppato fra il I e il V secolo d.C. Adottato in Persia, Al Kuwarizmi, 825 Adottato dagli arabi, Al Kindi, 830 Primo uso dello zero, 876, iscrizione in un tempio di Gwailor Codex Vigilanus, 976, (senza lo zero) Leonardo Fibonacci, Liber Abaci, 1202

Quante stringhe di 0 e 1 di lunghezza n ? Insieme Quanti sottoinsiemi ? Quanti sottoinsiemi di m elementi ?

Scelta di non prendere lelemento n volte Scelta di prendere lelemento Il coefficiente di e` il numero di insiemi di m elementi

quanti sottoinsiemi ordinati di un insieme di n elementi ? ABCA BB AA C B CB CC B A B C A C BB A CB C AC A BC B A =16 (insieme vuoto)