Esempio : 2x+5=11-x è un’uguaglianza vera se x è uguale a 2. EQUAZIONI Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni algebriche, in una o più variabili, verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che figurano in essa. Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado. La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione stessa. Se l’equazione di 1° grado possiede una sola soluzione si dirà determinata. Esempio : 2x+5=11-x è un’uguaglianza vera se x è uguale a 2. Il valore 2 è detto soluzione dell’equazione. Se l’equazione possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette soluzioni.
A(x) = B(x) a coefficienti reali Data una generica equazione: A(x) = B(x) a coefficienti reali Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra. 3x+4 = 5-x+3 1° membro 2° membro
Le incognite non compaiono sotto un segno di radice Classificazione Irrazionali Le incognite compaiono sotto un segno di radice Equazioni Numeriche Oltre alle incognite non compaiono altre lettere Razionali Le incognite non compaiono sotto un segno di radice letterali Oltre alle incognite compaiono altre lettere
Le equazioni numeriche e letterali possono essere: Intere Se le incognite non compaiono al denominatore Fratte Se le incognite compaiono anche nei denominatori
Pensa un numero …x …2x raddoppialo 2x+3 Aggiungi 3
Il numero che hai pensato è 2! Quanto hai ottenuto? 7 Il numero che hai pensato è 2! Come ha fatto??? Questo semplice giochino si traduce in nell’equazione 2x+3=7
Per trovare l’eventuale soluzione dell’equazione è opportuno semplificarne la forma senza modificarne il significato… Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice. A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza. Il primo ed il secondo principio d’equivalenza delle equazioni consentono di passare da un’equazione data ad una ad essa equivalente di forma più semplice
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA I principi di equivalenza sono basati su alcune proprietà riguardanti le uguaglianze numeriche: Siano A e B due numeri tali che: A = B (esempio 20 = 20) Definiamo 1°membro dell’uguaglianza l’espressione a sinistra dell’uguale,2° membro l’espressione a destra dell’uguale. 1) Se si aggiunge ad ambo i membri di questa uguaglianza uno stesso numero k allora si ottiene ancora un’uguaglianza: A + k = B + k (esempio 20 + 7 = 20 + 7 27 = 27) 2) Se si moltiplicano ambo i membri di un’uguaglianza per uno stesso numero p, diverso da zero, allora si ottiene ancora un’uguaglianza. A p = B p (esempio 20 3 = 20 3 60 = 60)
Conseguenza del primo principio d’equivalenza: È possibile spostare un termine da un membro all’altro dell’equazione a patto di cambiarlo di segno 5x+4 = 6+2x Addizioniamo ad ambo i membri -4 5x+4-4=6+2x-4 5x=6+2x-4 È come aver spostato 4 al secondo membro ed avergli cambiato di segno 5x-2x=6+2x-4-2x Addizioniamo ad ambo i membri -2x 5x-2x=6-4 È come aver spostato 2x al primo membro ed avergli cambiato di segno
3x=2 x=2/3 Conseguenza del secondo principio d’equivalenza È possibile eliminare il coefficiente dell’incognita 3x=2 Dividendo ambo i membri dell’equazione per 3 x=2/3 È possibile ridurre equazioni a coefficienti razionali a equazioni a coefficienti interi 20x+5-24x=15
Concludendo: EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0. Soluzione: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 x = 3 / 2
Equazione ax = b con a,b,x Equazioni determinate (una soluzione) ax = b Equazioni indeterminate (infinite soluzioni) 0x = 0 Equazioni impossibili (nessuna soluzione) 0x = b