Interpretazione Astratta

Astrazione: selezionare una proprieta’ Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Astrazione: selezionare una (delle) proprieta’ Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Astrazione e correttezza Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Astrarre un insiemi di punti nel piano… Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Interpretazione Astratta Una tecnica utilizzata da quasi 30 anni (Patrick e Radhia Cousot, 1977) per trattare in modo sistematico astrazioni e approssimazioni Nata per descrivere analisi statiche di programmi imperativi e provarne la correttezza. Sviluppata soprattutto su linguaggi dichiarativi (logici e funzionali) Vista oggi come tecnica generale per ragionare su semantiche a diversi livelli di astrazione Applicata con successo a sistemi distribuiti per verifica di programmi (correttezza – sicurezza) Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi L’idea generale il punto di partenza è la semantica concreta, ovvero una funzione che assegna significati ai comandi di un programma in un dominio fissato di computazione. un dominio astratto, che modella alcune proprietà delle computazione concrete, tralasciando la rimanente informazione (dominio di computazione astratto) derivare una semantica astratta, che permetta di eseguire il programma sul dominio astratto per calcolare la proprietà che il dominio astratto modella. applicando un algoritmo di punto fisso sarà quindi possibile calcolare staticamente una approssimazione corretta della semantica astratta Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Semantica concreta Consideriamo un linguaggio molto limitato, che permette unicamente di operare su moltiplicazioni di interi. La semantica di questo linguaggio si può descrivere mediante una funzione m definita da: Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Semantica astratta Possiamo considerare un’astrazione della semantica concreta (semantica astratta) che calcola solo il segno delle espressioni Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Correttezza Possiamo dimostrare che questa astrazione è corretta, ovvero che predice correttamente il segno delle espressioni. La dimostrazione è per induzione strutturale sull’espressione e, ed utilizza le proprietà della moltiplicazione tra interi (il prodotto di due positivi è positivo, ecc.). Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Una prospettiva diversa Possiamo associare ad ogni valore astratto l’insieme di valori concreti che esso rappresenta: Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Concretizzazione La funzione di concretizzazione g mappa un valore astratto in un insieme di valori concreti Indichiamo con D il dominio concreto e con A il dominio astratto Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Interpretazione Astratta Questa è una Interpretazione Astratta. Una computazione in un dominio astratto In questo caso, il dominio è {+,0,-}. La semantica astratta è corretta è un’approssimazione della semantica concreta La funzione di concretizzazione stabilisce la connessione tra i due domini Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Aggiungiamo - Aggiungiamo al nostro tiny language l’operatore unario di cambiamento di segno Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Aggiungiamo + Aggiungere l’addizione è più complesso, in quanto il dominio astratto non è chiuso rispetto a questa operazione A quale valore astratto corrisponde il risultato della somma di due numeri interi con segno opposto? Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Soluzione Aggiungiamo un nuovo elemento astratto che rappresenta un qualsiasi numero intero Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Estendere le altre operazioni Avendo aggiunto un elemento al dominio astratto, è necessario estendere le operazioni astratte già definite Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Esempi In alcuni casi c’è perdita di informazione dovuta alle operazioni In altri casi non c’è perdita di informazione Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Aggiungiamo / Aggiungere la divisione intera (con resto) / non da problemi, eccetto il caso della divisione per 0. Se dividiamo gli intero di un insieme di interi per 0 che risultato otteniamo? L’insieme vuoto. Questo è rappresentato da un nuovo elemento, ^, rispetto al quale si devono estendere le altre operazioni Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Il dominio astratto Il dominio astratto è un reticolo completo L’ordine parziale è coerente con la funzione di concretizzazione: Ogni sottoinsieme ha un least upper bound (lub) ed un greatest lower bound (glb): è un reticolo completo Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

La funzione di astrazione Alla funzione di concretizzazione g corrisponde una funzione di astrazione a. La funzione a mappa insiemi di valori concreti in un valore astratto (il più piccolo che li rappresenta tutti). Nel nostro esempio, Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Definizione Generale Una Interpretazione Astratta consiste in: Un dominio astratto A ed un dominio concreto D A e D reticoli completi. L’ordine riflette la precisione (più piccolo = più preciso) Funzioni di concretizzazione e di astrazione monotone, che formino una inserzione di Galois. Una funzione che astrae correttamente la semantica (operazioni astratte). Inserzione di Galois: Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Un altro esempio sign (x) , if x= bot {y|y>0}, if x= + {y|y0}, if x= 0+ {0}, if x= 0 {y|y0}, if x= 0- {y|y<0}, if x= - Z, if x= top sign (y) = glb di bot , if y=  - , if y  {z| z < 0} 0- , if y  {z | z  0} 0 , if y = {0} 0+ , if y  {z | z  0} + , if y  {z | z > 0} top , if y  Z sign({0,1,3})= 0+ sign(0+) Ê {0,1,3}, {3,34,2}, ... sign(sign({0,1,3})) Ê {0,1,3} sign(sign(0+)) = 0+ Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Inserzioni di Galois (C, ), (A, ) : A  C (concretizzazione) : C  A (astrazione)  ,  monotone xC. x  ((x)) yA. ((y)) = y  ,  si determinano a vicenda Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Analisi e Verifica di Programmi Operazioni astratte Astrarre una funzione in modo ottimale: f# =   f   f# Abstract domain   f Concrete domain Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi

Astrazioni come chiusure Il dominio astratto può essere ottenuto dividendo il dominio concreto in sottoinsiemi (non disgiunti) ai. La funzione di astrazione mappa un sottoinsieme del dominio nel più piccolo di questi ai che lo contiene. Tino Cortesi Analisi e Verifica di Programmi