Argomentare e congetturare nella scuola elementare Per docenti di quinta elementare Domingo Paola Liceo scientifico Issel di Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova Modena 8 Novembre 2005

Dai documenti della commissione UMI Il nucleo di processo “argomentare e congetturare” caratterizza le attività che preparano alla dimostrazione, ossia a una delle attività che caratterizzano il pensiero matematico maturo, quale sarà acquisito nella scuola secondaria di secondo grado. Dimostrazione

Dai documenti della commissione UMI Si considerano perciò quei processi eminentemente discorsivi che concernono il pensiero matematico; essi risultano da un intreccio tra rappresentazioni simboliche (i segni dell’aritmetica, le figure della geometria) e le attività discorsive su questi con cui il soggetto dà significato agli enunciati matematici che sono generalmente di tipo misto (segni specifici del linguaggio simbolico proprio della matematica e parole del linguaggio naturale). Significato

Dai documenti della commissione UMI Il significato dei segni matematici è analizzabile a due livelli: il primo significato riguarda principalmente gli oggetti matematici (per esempio un numero naturale); il secondo le relazioni tra questi (per esempio la relazione “essere maggiore di”)

Dai documenti della commissione UMI Perché è così? Le attività argomentative in cui si producono ipotesi o si generano condizionalità sono riconducibili a due modalità principali […] caratterizzate dal diverso modo con cui il soggetto si rapporta al mondo esterno rispetto al suo mondo interno. La prima modalità è caratterizzata dalla produzione di congetture interpretative di ciò che si percepisce, per esempio al fine di organizzarlo. La seconda è caratterizzata dalla produzione di congetture previsionali Come sarebbe se ...?

Un esempio di attività “in verticale” Seconda - Terza elementare Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Seconda - Terza elementare “Il Signor O deve andare dal punto A al punto C che si trovano a una stessa distanza da una strada rettilinea. Un’auto sta passando sulla strada e deve consegnare un pacco al Signor O. Quest’auto può viaggiare solo sulla strada, e può fermarsi nel punto indicato dal Signor O per incontrarlo e consegnargli il pacco. Siccome il Signor O è molto pigro, vuole compiere il cammino più breve possibile dal punto A al punto C passando per il punto in cui gli sarà consegnato il pacco sulla strada. Qual è il punto in cui deve farsi consegnare il pacco il Signor O per compiere il cammino più breve possibile?

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale”

Un esempio di attività “in verticale” Quarta – Quinta elementare Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Quarta – Quinta elementare Che cosa cambia se i punti A e C si trovano a diversa distanza dalla strada? Dove dobbiamo far posare il pacco? Quale sarà il percorso più breve per il Signor O?”

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola primaria Perché è così? Che cosa possiamo aspettarci come risposte a domande di questo tipo? Come sarebbe se ...?

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola primaria Sotto osservazione: gli alunni capiscono la consegna? Sanno costruire un modellino della situazione con materiale povero (cartoncino, spilli…)? Producono congetture, ipotesi, come le validano? Come cambiano i ragionamenti dalla prima alla seconda situazione?

Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Lo stesso problema con Cabri, suggerendo anche possibili interpretazioni sul piano cartesiano della variazione della distanza AF+FC al variare di F.

Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Perché è così? Che cosa possiamo aspettarci come risposte a domande di questo tipo? Come sarebbe se ...?

Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Scuola secondaria di primo grado Sotto osservazione: che cosa cambia nelle modalità di esplorazione con Cabri? Che cosa cambia nella comunicazione delle osservazioni e delle scoperte (gesti, metafore, segni …) Come cambiano le modalità di validazione? Quali difficoltà nella “lettura” del grafico?

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Biennio scuola secondaria di secondo grado Il punto F si determina costruendo il punto A’ simmetrico di A rispetto alla retta su cui giace F e congiungendo C con A’: perché? Richiesta di una dimostrazione

Perché è così? Come sarebbe se ...? Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Biennio scuola secondaria di secondo grado Perché è così? Che cosa possiamo aspettarci come risposte a domande di questo tipo? Come sarebbe se ...?

Un esempio di attività “in verticale” Presentazione di un esempio di attività didattica in continuità verticale Un esempio di attività “in verticale” Biennio scuola secondaria di secondo grado Sotto osservazione: Come cambiano le modalità di validazione? Apprezzano la potenza della dimostrazione e della generalizzazione? Che cosa cambia nella comunicazione delle osservazioni e delle scoperte (gesti, metafore, segni …)

Attività 4. Come eravamo: il valore del denaro nel tempo (quinta elementare) Prima fase: racconto di esperienze personali Seconda fase: progettazione e realizzazione di un cartellone murale con una striscia del tempo dal 1946 a oggi e progettazione e realizzazione di una copia personale in scala Terza fase: raccolta di documenti e informazioni Quarta e quinta fase: rappresentazione con adeguati diagrammi cartesiani delle variazioni dei prezzi di vari prodotti e uso di adeguati indici per effettuare confronti

Importanza degli strumenti come mediatori nel processo di costruzione di conoscenza

Artefatto Strumento Artefatto / Strumento Genesi strumentale

Che cos’è una circonferenza?

Le calcolatrici nella scuola elementare Le operazioni in colonna sì o no? Come è possibile utilizzare sensatamente le risorse che le calcolatrici mettono a disposizione? Che cosa si perde e che cosa si guadagna?

Al di fuori della scuola, la calcolatrice viene utilizzata come protesi che potenzia le nostre limitate capacità di calcolo e rende i risultati più affidabili. Questo schema d’utilizzazione è appropriato per la scuola elementare? Se l’obiettivo è quello di far conoscere agli alunni l’aritmetica elementare, come può essere utile uno strumento che nasconde i processi di calcolo e le proprietà delle operazioni limitandosi a fornire un risultato? Lo schema d’uso sociale della calcolatrice che viene fatto al di fuori della scuola non è adatto a essere importato nelle aule scolastiche dei primi anni della scuola elementare

è necessario pensare ad altre modalità di utilizzazione che consentano di perseguire l’obiettivo prefissato, magari ponendo nuovi problemi esplorazione, osservazione, produzione e validazione di congetture per motivare, infine, a porsi e a rispondere a domande del tipo “ma perché è così?”

Perché? Esempi di attività Attività 1. (con la calcolatrice) Parti da 0 e aggiungi 5. Continua così, aggiungi sempre 5 al risultato che ottieni. Riuscirai mai a raggiungere il numero 37? E il numero 72? E se, invece, parti dal numero 2? E dal numero 3? Perché? Attività 2 (inizialmente senza la calcolatrice) Date nel tempo più breve possibile, senza usare la calcolatrice, due numeri che si avvicinino al risultato di 112 . 3. Il primo numero deve essere più piccolo del risultato di 112.3, mentre il secondo numero deve essere maggiore. Lo scopo è di rendere più piccola possibile, nel breve tempo concesso, la differenza tra i due numeri forniti.

Più ancora delle risposte che vengono fornite alle domande del tipo perché? è il senso, il significato di queste domande a essere importante: è necessario lavorare costantemente e sistematicamente ai fianchi gli alunni per portarli a comprendere il significato delle domande del tipo perché. Le risposte a queste domande possono darsi solo ricorrendo alla teoria, ossia a un sistema di conoscenze organizzate, nel quale certi fatti sono utilizzati per spiegarne altri.

Software di geometria dinamica e insegnamento – apprendimento della geometria nella scuola elementare

Caratteristiche di questo ambiente: Fogli di lavoro già costruiti dall’insegnante e sui quali gli studenti possano effettuare esplorazioni e osservazioni limitandosi all’uso del mouse. Menu “equilibrato”, costruito sull’esperienza degli studenti. Aspetto delicato: acquisizione dello schema d’uso del trascinamento.

attività di questo tipo, se inserite in un ambiente di insegnamento – apprendimento opportuno, potrebbero aiutare significativamente l’evoluzione dall’esplorazione e osservazione di “fatti geometrici”, alla verbalizzazione di quanto osservato e alla produzione e formulazione di congetture Ma che cosa vuol dire ambiente di insegnamento – apprendimento opportuno?

didattica lunga, tesa alla costruzione di significati per gli oggetti di studio attenzione dell’insegnante rivolta ai processi di pensiero degli studenti motivare gli studenti a produrre pensiero e ad ascoltare e discutere le idee che emergono con il lavoro in classe. condividere un concetto di razionalità più ampio di quello che in genere si individua con il termine razionalità scientifica

Noi conosciamo fatti e possediamo un sapere su di essi soltanto quando, contemporaneamente, sappiamo perché i giudizi corrispondenti sono veri. Altrimenti parliamo di sapere intuitivo o implicito, di un sapere pratico di come si fa qualcosa. Ci si può benissimo intendere di qualcosa senza sapere che cosa è che costituisce queste competenze. Invece l’espresso sapere qualcosa è implicitamente legato a un sapere perché e rimanda, per questo, a potenziali giustificazioni. […] Naturalmente ciò non significa che opinioni o convinzioni razionali siano sempre composte di giudizi veri. Chi condivide opinioni che si dimostrano non vere non è ipso facto irrazionale; irrazionale è chi difende dogmaticamente le proprie opinioni e le mantiene, pur vedendo che non può motivarle. Per qualificare un’opinione come razionale basta che essa, nel contesto di giustificazione dato, possa con buone motivazioni essere ritenuta vera, ossia accettata razionalmente Habermas

Ma che cosa vuol dire didattica sensata? ragionevole e legata ai sensi Sensatus : giudizioso, ragionevole Sensus : sentire per mezzo dei sensi Didattica sensata: ragionevole e legata ai sensi

Galileo Galilei, quando parlava di sensata esperienza, si riferiva alla necessaria compresenza, per lo studio del mondo, di aspetti percettivi e di aspetti razionali. “Il sogno di Galileo è un’immagine del sapere. In essa si dice che gli uomini possono conoscere il mondo facendo appello solamente alle dimostrazioni matematiche e agli esperimenti […] Secondo Galileo, infatti, i discorsi nostri hanno a essere intorno al mondo sensibile e non sopra un modo di carta” E. Bellone

con l'uso degli strumenti I nostri studenti possono conoscere il mondo facendo appello ai sensi e alle teorie: quelli per percepire e fondare, sulle percezioni, i significati degli oggetti di studio, quelle per aiutare a orientarci nel labirinto delle percezioni, per sistemare e organizzare le nostre conoscenze in modo da poter rispondere ai perché. con l'uso degli strumenti Da modalità di insegnamento – apprendimento ricostruttivo – simboliche a modalità percettivo – motorie

Un'indicazione di lavoro Attività di matematica sensate Matematica 2001 secondo un'idea di didattica lunga