ABACHI DA TAVOLO A GETTONI storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Abachi da tavolo a gettoni La più antica attestazione di abaco da tavolo, incisa su lastra di pietra: la “Stele di Salamina” (VI-V sec. a.C.) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Abachista greco (pittura su vaso) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Introduzione della decima cifra: lo ZERO. Dall’India alla cultura araba medievale e da questa all’Europa. Liber abbaci (1202), opera di Leonardo Pisano, detto Fibonacci. Oltre che come cifra (fondamentale per la notazione posizionale), lo zero comincia ad essere considerato come un numero a tutti gli effetti (seppure con proprietà un po’ particolari, come del resto anche il numero uno). Nuovi algoritmi di calcolo (algorismi) “con carta e matita” molto più semplici di quelli in uso fino ad allora (vedi per esempio, più avanti, lo scacchiere di Gerberto). storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

(manoscritto spagnolo datato 976) Cifre indo-arabe senza lo ZERO (manoscritto spagnolo datato 976) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

La contesa tra algoristi (dopo l’introduzione dello zero) e abachisti, illustrata in alcune edizioni cinquecentine. storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Varie forme di abachi da tavolo a gettoni di epoca rinascimentale Varie forme di abachi da tavolo a gettoni di epoca rinascimentale. Da un abaco di questo genere, usato fin dal tardo medioevo per il calcolo dei tributi dovuti alla Corona, deriva la denominazione ancora attuale del ministro delle finanze inglese: Chancellor of the Exchequer (Cancelliere dello Scacchiere) Gettoni per abaco “personalizzati” (colonie francesi in America; 18° sec.) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Rappresentazione delle cifre nell’abaco a gettoni (variante biquinaria) } 80.000 } 7.000 } 400 } 50 } 2 } 200.000 287.452 storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

5.000 1.000 500 100 50 10 5 1 7.897 - 3.676 = 4.221 Fino a tutto il XVIII secolo, i manuali di aritmetica “commerciale” dedicavano ampio spazio all’uso dell’abaco a gettoni. storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

ABACHI ATIPICI storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Calcolare senza lo zero: scacchiere di Gerberto(*) a gettoni numerali (*) Gérbrèrt d’Aurillac (Papa Silvestro II; intorno all’anno Mille) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Calcolare senza lo zero: scacchiere di Gerberto a gettoni numerali In tutti i tipi di abaco da tavolo il valore dei gettoni dipende esclusivamente dalla loro posizione sul piano di calcolo; questo di Gerberto è l’unico in cui i gettoni (apices) recano impresso un valore numerico (da moltiplicare per il rango, che è impresso in simboli romani in testa alla rispettiva colonna). storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Tavolo di calcolo cinese (scacchiere “algebrico” a bastoncelli) Notazione numerica a bastoncelli storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Rappresentazione di un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite sull’abaco algebrico. (Trattato cinese del II sec.) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Rappresentazione di un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite sull’abaco algebrico. (Da un testo cinese del II sec.) I coefficienti delle incognite nel sistema 2x - 3y + 8z = 32 6x - 2y - z = 62 3x + 21y - 3z = 0 sono iscritti nelle prime tre righe dello scacchiere; i termini noti nella quarta. Si noti l’uso esplicito dei numeri negativi.  L’autore cinese arriva alla soluzione esatta x = 3574/355; y = - 92/71; z = 354/355 eseguendo sullo scacchiere un algoritmo (metodo di eliminazione) che, in occidente, siamo soliti attribuire a Gauss (inizio XIX sec.). storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

Un espediente “moderno”, di scarso successo. Abaco frazionario Un espediente “moderno”, di scarso successo. Le illustrazioni lasciano intuire il principio di base in quanto i “manicotti” scorrevoli rappresentano l’unità (in alto) e, procedendo verso il basso, l’unità suddivisa in 2, 3, 4, … 10 parti uguali, corrispondenti ciascuna alle frazioni 1/2, 1/3, 1/4, … 1/10. L’esemplare fotografato(*) manca di alcuni elementi. (*) Mateureka - Museo del Calcolo (Pennabilli -PU) storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

RICHIAMO SULL’ALGORITMO DI ELIMINAZIONE, DETTO DI GAUSS - UN ESEMPIO Sia da risolvere il sistema descritto nella slide precedente (tre equazioni lineari in tre incognite) EQ1 2x - 3y + 8z = 32 EQ1 2x - 3y + 8z = 32 EQ2 6x - 2y - z = 62 calcoliamo + 8  EQ2 ovvero 48x - 16y - 8z = 496 EQ3 3x + 21y - 3z = 0 = EQ4 50x - 19y = 528 3  EQ2 18x - 6y - 3z = 186 calcoliamo - EQ3 ovvero - 3x - 21y + 3z = 0 = EQ5 15x - 27y = 186 27  EQ4 1350x - 513y = 14256 calcoliamo - 19  EQ5 ovvero - 285x + 513y = -3534 = EQ6 1065x = 10722 Il sistema è ora trasformato in EQ6 1065x = 10722 da cui: x = 3574 / 355 EQ4 50x - 19y = 528 50  3574 / 355 - 19y = 528; y = - 92 / 71 EQ3 3x + 21y - 3z = 0 3  3574 / 355 -21  92 / 71 -3z = 0; z = 354 / 355 La regola sottostante è la sostituzione di un’equazione con una combinazione lineare di equazioni comprese nel sistema. Le combinazioni lineari utili alla soluzione sono costruite in modo da eliminare progressivamente la z (EQ4 e EQ5) e la y (EQ6). Una volta ricavato il valore di x da EQ6, si procede a ritroso risolvendo per sostituzione: da EQ4 si ricava il valore di y e da EQ1 quello di z. È evidente che l’algoritmo si può generalizzare per la soluzione di un sistema di n equazioni lineari in n incognite. { storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2

BIBLIOGRAFIA SPECIFICA Ifrah G. Enciclopedia universale dei numeri; Arnoldo Mondadori Editore, 2008. George Gheverghese Joseph C’era una volta un numero; Il Saggiatore, 2000. Vari articoli di Bagni G.T., Bitto D., Bonfanti C., Giangrandi P., Mirolo C. pubblicati in: L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate; Vol.28 A-B N.6 - Nov.-Dic. 2005. storia dell'informatica - uniud 2009-10 - corrado bonfanti - traccia lez.1-2