RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Giulia Rotundo Università degli Studi della Tuscia Giulia.Rotundo@uniroma1.it 90

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie 90

AREE DI STUDIO FISICA TEORIA DELLA PERCOLAZIONE COMPLEX NETWORKS RANDOM NETWORKS TEORIA DEI GRAFI INFORMATICA RICERCA OPERATIVA COMBINATORIA MATEMATICA 90

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

Nodi (vertici, unità) Archi (edges, lines). Un arco unisce due nodi. Definizione RANDOM + NETWORKS rete grafo (graph) (Sylvester (1878) Nature) Un grafo è un insieme di: Nodi (vertici, unità) Archi (edges, lines). Un arco unisce due nodi. Applicazioni: i grafi servono per creare modelli astratti di problemi concreti.

Leonhard Euler (1707-1783) 90

Koenigsberg ed il problema dei 7 ponti esempio Koenigsberg ed il problema dei 7 ponti (Eulero, 1736) Cammino (path): Sequenza di nodi uniti da archi Problema: Esiste un cammino che attraversi tutti i ponti percorrendo ciascuno di essi una volta sola ? Lunghezza del cammino= N. dei suoi archi PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO

lunghezza del path più lungo tra due nodi del grafo esempio PROBLEMI DI CAMMINO MINIMO Applicazioni: Il problema del commesso viaggiatore Problemi di trasporto Logistica Instradamento del flusso dati (reti di comunicazione) … Osservazione: Limite superiore per la lunghezza del cammino Diametro lunghezza del path più lungo tra due nodi del grafo Osservazione: studio del caso peggiore del cammino minimo= studio del diametro 90

RANDOM + NETWORKS Utilizzo di metodi probabilistici Definizione rete grafo (graph) (Sylvester (1878) Nature) Studio delle proprietà che valgono con alta probabilità per grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi. 90

RANDOM NETWORKS esempio Primo articolo sui random graphs (Erdos e Renyi, 1959) Rete con N nodi e connettendo ogni coppia di nodi con probabilità p Osservazione: Il numero delle coppie di nodi è N(N-1)/2 Osservazione: il valore atteso del numero di archi m è E(m)= p N(N-1)/2 Domande classiche: Come dipende il diametro dal numero di nodi? Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)? Ci sono cammini del tipo (triangoli) ? Obbiettivo: trovare la soglia pc oltre la quale le proprietà sono verificate quasi sempre. 90

RANDOM NETWORKS esempio Scoperta principale: per molte proprietà p(N) esiste pc(N) tale che - Se la p(N) cresce con N più velocemente di pc(N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) ha la proprietà - Se la p(N) cresce con N più lentamente di pc(N) allora quasi ogni grafo con probabilità di connessione p(N) NON ha la proprietà Domande classiche: 1. Come dipende il diametro dal numero di nodi? 2. Esiste un cammino che tocca tutti i nodi (ovvero, il grafo è connesso)? 3. Ci sono triangoli ? Risposte: 1. diametro=O(log(N)) 2. -Se il valore medio degli archi uscenti da un nodo è 3. solo se p>=1/N =pN<1, no > 1 no, ma il diametro è lo stesso di un grafo dello stesso tipo e connesso >=ln(N) si’ 90

1. esempio Differenze di approccio tra le varie discipline Formalizzazione matematica e calcolo della soluzione Ottima; algoritmi. Ricerca operativa Studio delle componenti connesse Percolazione Utilizzo della probabilità e soprattutto del calcolo combinatorio per lo studio della dipendenza del diametro dal numero dei nodi ed archi Random networks Utilizzo della probabilità per studiare reti con particolari strutture e proprietà Complex networks

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

COMPLEX NETWORKS RANDOM NETWORKS 2. Dalle random network alle complex network COMPLEX NETWORKS RANDOM NETWORKS grafi con proprietà topologiche non banali grafi ottenuti utilizzando particolari distribuzioni di probabilità per selezionare nodi ed archi. Il termine “COMPLEX” è in opposizione a “SEMPLICE” Reti “SEMPLICI” sono quelle con struttura regolare, come le griglie (lattice) oppure grafi completi (ciascun nodo è collegato con ciascun altro).

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Gli amici dei miei amici sono miei amici? Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient Gli amici dei miei amici sono miei amici? Proprietà di transitività C A è amico di B che è amico di A e C, ma A e C non sono amici B A D = Clustering coefficient N. triangoli = + + N. triangoli cui manca un arco 90

Gli amici dei miei amici sono miei amici? Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient C Gli amici dei miei amici sono miei amici? Reti complesse: Reti sociali Reti tecnologiche 90

Gli amici dei miei amici sono miei amici? Dalle random network alle complex network 1. clustering coefficient C Gli amici dei miei amici sono miei amici? reti “puramente” random: C=O(n-1) Griglie non triangolari: C=0 Grafi totalmente connessi: C=1 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Dalle random network alle complex network 2. betweenness (centrality) Esprime l’importanza di un nodo nel grafo Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi che passa attraverso v C(v)= Numero dei cammini più brevi tra qualsiasi coppia di nodi betweenness (rosso=0,blu=massimo) Esempio: il nodo ha C(v) più alto 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Esempi (reti sociali): Dalle random network alle complex network 3. small world il diametro della rete è piccolo rispetto al numero di nodi N (<=log(N)) Fotografia di un poster nella metro di Parigi che pubblicizzava una serie di eventi musicali (agosto 2007) Esempi (reti sociali): esperimento del sociologo Stanley Milgram (1967): è possibile contattare chiunque tramite (in media) d=6 conoscenti Per gli attori di Hollywood (in media) d=3.65 Co-autori matematici (in media) d =9.5 90

Val Kilmer Tom Cruise Kevin Bacon Dalle random network alle complex network 3. small world Kevin Bacon number: Numero di conoscenze intermedie per arrivare a Kevin Bacon (gioco del 1994) Esempio 1 Nick Nolte CAPE FEAR Robert De Niro GOODFELLAS Joe Pesci Kevin Bacon.   JFK Grado di separazione di Nick Nolte: 3 Esempio 2 Val Kilmer Tom Cruise Kevin Bacon TOP GUN A FEW GOOD MAN Grado di separazione di Val Kilmer: 2

Erdős number + Bacon number Dalle random network alle complex network 3. small world Erdős–Bacon number: Erdős : matematico ungherese Numero di Erdős = lunghezza della più breve catena di coautori in cui solo l’ultimo ha scritto un lavoro con Erdős Erdős–Bacon number= Erdős number + Bacon number Esempio: Erdős ha Bacon number 3: Erdős -> N is a number: a portait of Paul Erdős -> Mark Adler -> Rat Pack -> Joe Mantegna -> Sognando Manhattan K.Bacon 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Grado di un nodo = numero di archi uscenti Dalle random network alle complex network 4. scale-free Grado di un nodo = numero di archi uscenti Grado 2 Grado 3 Grado 1 Per ogni rete si può calcolare la probabilità P(k) del grado k dei nodi Reti scale-free: P(k) k- 90

Dalle random network alle complex network 4. scale-free 90

Dalle random network alle complex network 4.a confronto small-world e scale-free Sono “small world” le reti in cui la distribuzione di probabilità del grado dei nodi single-scale network Decresce rapidamente. Esempi: random networks (decrescita esponenziale), traffico tra aeroporti, rete di conoscenti: comunità mormone dello Utah, studenti della scuola superiore. broad-scale network Decresce polinomialmente fino ad un certo punto e poi più rapidamente (cutoff) Esempi: movie-actor network scale-free network Decresce polinomialmente Esempi: rete di citazione di lavori scientifici, www, Internet (router, domini), reti elettriche, rete neurale del verme caenorhabditis elegans, …

Osservazione: le griglie NON sono small world e NON sono scale-free Dalle random network alle complex network 4.a confronto small-world e scale-free Osservazione: le griglie NON sono small world e NON sono scale-free Lattice d=3 Lattice d=1 Lattice d=2 Come costruire una rete scale-free? 90

preferential attachment Dalle random network alle complex network 4.b algoritmi per le scale-free networks preferential attachment I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi. Modelli di reti sociali 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Correlazione tra i gradi di nodi uniti da archi Dalle random network alle complex network 5. assortativity/disassortativity Correlazione tra i gradi di nodi uniti da archi Assortative networks: I nuovi nodi che sono aggiunti alla rete sono collegati più facilmente a nodi che hanno più archi. Esempi: reti sociali Disassortative networks: Nodi con pochi archi sono collegati con nodi con molti archi e viceversa. Esempio: reti tecnologiche 90

Grafo dei collegamenti dalla pagina principale di wikipedia 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Dalle random network alle complex network 6. community structure I nodi si dividono in gruppi con - alta densità di connessioni fra di loro e - bassa densità di connessioni verso gli altri Esempio: rete di amicizie nelle scuole 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Dalle random network alle complex network 7. strutture gerarchiche Caso particolare della suddivisione In communities 90

2. Dalle random network alle complex network Proprietà importanti: Clustering Betweenness Small world Scale-free a.Confronto small word e scale-free b.Algoritmi per la costruzione scale free Assortativity/disassortativity Community structure Hierarchical structure Resilience 90

Dalle random network alle complex network 8. resilience Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi -scale-free: rimozione di piu’ del 99% dei nodi Interventi mirati: isolare gli hubs (nodi piu’ connessi) Assortative: rimuovere il “club” centrale Disassortative: gli hubs sono sparsi nella rete 90

Dalle random network alle complex network 8. resilience Robustezza delle reti rispetto a rimozione random dei nodi -scale-free: rimozione casualedi piu’ del 99% dei nodi Interventi mirati: isolare gli hubs Assortative: rimuovere il “club” centrale Disassortative: rimuovere gli hubs sparsi nella rete La proprietà di resilience è particolarmente importante nello studio della diffusione di epidemie. 90

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

La struttura della rete è importante per lo studio 3. Processi diffusivi La struttura della rete è importante per lo studio dei processi diffusivi Problema importante per la diffusione delle epidemie. Esempio: diffusione della SARS Interventi mirati: isolare gli hubs 90

diffusione delle epidemie 3. Processi diffusivi Importanza della struttura dei primi vicini: diffusione delle epidemie Disassortative Neutral Assortative t 90

Diffusione dell’informazione 3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini Diffusione dell’informazione

The Diffusion of Innovations in Social Networks H. Peyton Young 3. Processi diffusivi importanza della struttura dei primi vicini The Diffusion of Innovations in Social Networks H. Peyton Young [..] New ideas and ways of doing things do not necessarily take hold all at once, but often spread gradually through social networks. In a classic study, Coleman, Katz, and Menzel (1966) showed how doctors‘ willingness to prescribe the new antibiotic tetracycline diffused through professional contacts. A similar pattern has been documented in the adoption of family planning methods, new agricultural practices, and a variety of other innovations (Rogers and Shoemaker, 1971; Rogers and Kincaid, 1981; Rogers, 1983; Valente, 1995). In the first stage a few innovators adopt, then people in contact with the innovators adopt, then people in contact with those people adopt, and so forth until eventually the innovation spreads throughout the society. [..] 90

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90

3. Self-organized criticality Modello di Bak e Sneppen Self-organized criticality “is a property of (classes of) dynamical systems which have a critical point as an attractor. Their macroscopic behaviour thus displays the spatial and/or temporal scale-invariance characteristic of the critical point of a phase transition, but without the need to tune control parameters to precise values. ” 90

1-d Bak-Sneppen Evolution Model L agents Fitness Drawn at t=0: uniform distribution in (0,1) coevolution: at each time step t the lowest fi and its first 2 neighbours are replaced by a uniform sampling min(fi) 90

Caratteristiche per Soglia critica fc: i valori di fi hanno una distribuzione uniforme al di sopra di un valore fc : Avalanche: Durata di un avalanche= tempo che intercorre tra due istanti in cui tutti i valori sono al di sopra di fc Probabilità di avere un avalanche di durata s: Media delle fitness

Modello co-evolutivo Fase transiente Fase stabile 90

2-d Bak-Sneppen Evolution Model L2 agents Fitness drawn at t=0 : uniform distribution coevolution: at each time step t the lowest fi and its first 4 neighbours are replaced by a uniform sampling 90

90

RANDOM NETWORKS per le applicazioni economiche e finanziarie Udine, 16 gennaio 2008 Definizione di network; esempi; Dalle random network alle complex network: esempi dal mondo reale e proprietà importanti; Processi diffusivi su reti; Self-organized criticality; Applicazioni economiche e finanziarie. 90