Inizio della lezione Integrali di linea, di superficie, di volume
5. Integrali di linea
campo di forze f B f f r LAVORO f f f f f f A f
B f(B) A f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(A)
f(g(b)) f(g(t3)) f(g(t2)) f(g(t1)) f(g(a)) B INTEGRALE DI LINEA di f lungo la curva g
B b a C A
B A C a b a b ADDITIVITA’ :
B g A
B g* A
Esercizi a pag. 428
? F = f F : Rn R F : Rn Rn dato f : Rn Rn esiste F : Rn R tale che VICEVERSA : f : Rn Rn dato ? esiste F : Rn R F = f tale che
? P A
OCCORRE CHE L’INTEGRALE P OCCORRE CHE L’INTEGRALE SIA INDIPENDENTE DALLA TRAIETTORIA
B a g = a b* b* b A
Un’applicazione: Campi di forze conservativi ed energia potenziale
f campo di forze conservativo f campo di forze conservativo energia potenziale B energia potenziale A f gradiente f campo di forze conservativo
Esercizi a pag. 433
6. Integrali di superficie e di volume
n
f f n(X) X f(X)
x y z R3 u v R2 S D s
f n INTEGRALE DI SUPERFICIE FLUSSO TOTALE ATTRAVERSO S : v dv X u du dS u du FLUSSO ATTRAVERSO dS : INTEGRALE DI SUPERFICIE FLUSSO TOTALE ATTRAVERSO S :
x y z u v D R3 D id s k S
Integrali doppi a pag.439
X n u du v dv dS
n u du v dv dS FORMA DIFFERENZIALE BILINEARE f
ROTORE DI f
f IRROTAZIONALE ROTORE DI f
Teorema
DIVERGENZA DI f
Teorema
Teorema
V g S B A Teorema del gradiente Teorema del rotore (di Stokes) Teorema della divergenza (di Gauss) S
Formula di Green a pag. 455
Ricerca di un potenziale
Torniamo al problema: f : Rn Rn dato ? esiste F : Rn R F = f tale che
è sufficiente ? g Teorema delle circuitazioni f è un gradiente se e solo se: g
S è sufficiente ? g Teorema delle circuitazioni f è un gradiente se e solo se: g S
E
SEMPLICEMENTE CONNESSO Teorema
Esercizi a pag. 461
FINE DEL CORSO