Algebra Lineare

Esercizio Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano  passante per il punto Xo := (-2, - 6, 4 ) ed ortogonale ad a . a X Xo X-Xo

Esercizio Dato il vettore a := (3, 2, 5) , scrivere l’equazione cartesiana del piano  passante per il punto Xo := (-2, - 6, 4 ) ed ortogonale ad a . X-Xo = ( x + 2 , y + 6 , z - 4 ) 3( x + 2 ) + 2( y + 6 ) + 5( z - 4 ) = 0 3 x + 2 y + 5 z = 2 componenti di a

R a L : R3 Xo 3 x + 2 y + 5 z = 3 3 x + 2 y + 5 z = 2 FORMA LINEARE gradiente di L a PARALLELI Xo 3 x + 2 y + 5 z = 3 3 x + 2 y + 5 z = 2

R L : Rn ADDITIVITA’ CONDIZIONI DI LINEARITA’ OMOGENEITA’ FORMA LINEARE ADDITIVITA’ CONDIZIONI DI LINEARITA’ OMOGENEITA’

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3 infinite soluzioni unica soluzione retta

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3 infinite soluzioni unica soluzione retta

INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3 infinite soluzioni unica soluzione nessuna soluzione retta

R3 L1(x, y, z ) L2(x, y, z) L3(x, y, z) L : R3 INTERSEZIONE DI DUE PIANI IN R3 L1(x, y, z ) L2(x, y, z) L3(x, y, z) L : R3 R3 TRASFORMAZIONE LINEARE CONDIZIONI DI LINEARITA’

( ) A = R 2 a1 a2 a1 = L(e1) a2 = L(e2) L : R 2 L(x) = ( , ) L1(x) L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2 1 1 0 , 1 1 , 0 L2(x1 , x2) = a21 x1 + a22 x2 1 , 0 0 , 1 ( ) matrice di L A = a1 a11 a12 a21 a22 a2 a1 = L(e1) a2 = L(e2)

( ) A = R 2 L : R 2 L(x) = ( , ) L1(x1 , x2) = a11 x1 + a12 x2 a11 a12 a21 a22 A = ( )

A L : R 2 R 2 B G : R 2 R 2 R n R m L R p G A B n x p m x n A B m x p

R p G R n R m L A B m x n n x p m x p A B colonna k-esima di : A B

idn : R n R n Id(ej) = ej In matrice identica di ordine n

A = (aij) L : R n R m L(x) = b

f (x) = b P E R I C A L C O L I : I M P O R T A N T E f :A B è biettiva se e solo se : , l’equazione : f (x) = b ha una e una sola soluzione

R 2 L : R 2 L(le1) = l L( e1) = lu R2 R2 L(x) = b v e2 l u u l e1 e1 b

L : R 2 R 2 L(x) = b R2 b v e1 e2 u Rango 1

R2 e1 u e2 v L(x) = b Rango 2 L : R 2 R 2 L( I2 ) I2

u’ Det(A) determinante di A prodotto esterno u v b b a

a v u z ( b’ , c’ ) ( c’ , a’ ) ( b , c ) ( c , a ) ( a’ , b’ ) y prodotto esterno cross product prodotto vettoriale ( a , b ) x

u x v convesso v u

concavo v u v x u = - u x v

L : R 3 R 3 L(x) = b R3 z R3 z w k L( I3 ) v I3 j y i y u Rango 3 x x

determinante di A v x w Det(A) := u prodotto misto a w a v

=

D E T E R M I N A N T E di A :

D E T E R M I N A N T E di A :

D E T E R M I N A N T E di A :

complemento algebrico o cofattore o aggiunto di

Regola di LAPLACE

R3 L(x) = b i L : R 3 R 3 k u x y z w j I3 v L( I3 ) Rango 3

Risolvere gli esercizi 6.13 a pag.193