ASSIOMI di PEANO PER L’ARITMETICA (Arithmetice principia nova methodo exposita, 1889) N0 è una classe (i suoi elementi sono numeri) Zero è un numero Se a è un numero, il successivo di a è un numero Zero non è il successivo di nessun numero Due numeri i cui successivi siano uguali sono uguali Se una classe S di numeri contiene lo zero e contiene anche il successivo di ogni numero di S, allora ogni numero è contenuto in S (pr.induzione) MMosca SIS Piemonte

Assiomi del campo dei razionali Assiomi del campo dei reali + Addizione * Moltiplicazione Operazioni interne Proprietà associativa Proprietà commutativa Ciascuna ha un elemento neutro Ogni elemento ha un inverso rispetto a + e * ( tranne che lo 0 per la moltiplicazione). Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione MMosca SIS Piemonte

Assiomi degli interi Z + Addizione * Moltiplicazione Operazioni interne Proprietà associativa Proprietà commutativa Ciascuna ha un elemento neutro Ogni elemento ha un inverso rispetto a + Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione Z è un ANELLO

a*0=0 Assioma? Teorema? La definizione della moltiplicazione in Z: (e in Q, R) Perché + * - fa - ? Perché - * - fa + ? MMoscaSIS Piemonte

POLINOMI  2 aspetti o punti di vista 1)   Algebrico formale 2) Funzionale 1) A(x) è un ‘espressione algebrica che, ridotta a forma normale, è del tipo A(x) = anxn+ an-1 xn-1+. . .+a1 x+ a0 ai  = Z, Q, R, C x è un simbolo, cui non si attribuisce significato numerico, l’indeterminata  

Perché è importante precisare l’ambito numerico in cui si scelgono i coefficienti ? Che cos’è un polinomio irriducibile? x2 - 2 è irriducibile? x2 + 2 “ Dipende dal campo in cui lavoriamo

I polinomi definiti su K costituiscono un anello commutativo Non vi è definita una relazione d’ordine ma il grado del polinomio assume un ruolo analogo Vale il teorema dell’annullamento del prodotto

Vale il teorema della divisione euclidea: Dati due polinomi A(x) e B(x), B(x) 0 , esistono (unici) due polinomi Q(x) e R(x) tali che A(x) = Q(x) B(x) + R(x) il grado di R(x) è minore del grado di B(x)

I polinomi definiti su K costituiscono un anello commutativo Non vi è definita una relazione d’ordine ma il grado del polinomio assume un ruolo analogo Vale il teorema dell’annullamento del prodotto

2) Punto di vista analitico -funzionale Attribuiamo ad x un significato numerico considerandola un elemento variabile di K, meglio indicare tale valore con una lettera diversa, ad esempio k: Se si associa ad ogni k di K il numero A(k) = ankn+ an-1 k n-1+. . .+a1 k+ a0  si definisce una funzione polinomiale con dominio K e codominio K.

Sarebbe bene indicare la funzione con A: k A(k) ;   e Riservare la scrittura y = A (k) al grafico cartesiano

Teorema di identità dei polinomi Due polinomi A(x) e B(x) sono uguali se e solo se hanno lo stesso grado e, scritti in forma normale, i coefficienti dello stesso grado sono tutti uguali. ( punto di vista formale) Due polinomi A(x) e B(x) si dicono funzionalmente uguali se e solo se individuano la stessa funzione definita su K e a valori in K, cioè se A(k) = B(k) per ogni k K

Strutture in cui non vale il teorema di identità Espressioni polinomiali in seno e coseno sin 2 t e 1- cos 2t sono espressioni diverse di una stessa funzione Se K è un campo finito es Z2 A(x)= x e B(x) = x3 sono formalmente diverse, ma funzionalmente identiche, poiché assumono lo stesso valore sia per x = che per x =