Calcolo delle Probabilità terza parte Istituzioni di Matematiche Scienze Naturali

Distribuzioni di probabilità Facciamo un istogramma le cui barre rappresentano le probabilità di vari eventi per un dato esperimento aleatorio Esempio: lancio di una moneta: Risultati: TT CT o TC CC Probabilità: 1/4 1/2 1/4 La probabilità può essere pensata come funzione dei vari risultati, che possiamo allora vedere come variabili (dette variabili aleatorie) Indichiamo con p(X=a) la probabilità che la variabile aleatoria X valga a

La distribuzione binomiale Supponiamo di avere a che fare con prove ripetute che di eventi a 2 soli esiti che diciamo convenzionalmente successo e insuccesso Una tale situazione è detta processo bernoulliano se il risultato di ogni prova è un successo o un insuccesso; la probabilità p di successo è la stessa in ogni prova; le prove sono indipendenti: il risultato di ogni prova non influenza quello delle prove successive Esempi: lanci successivi di una moneta estrazioni con reimbussolamento

Distribuzione binomiale Numero di successi in n prove INDIPENDENTI Binomiale: X= 1 . n n i P(X=i)= pi(1-p)n-i Esempio Un’urna contiene 10 palline bianche e 23 rosse. Estraggo 4 palline CON REIMBUSSOLAMENTO. Qual è la probabilità di estrarre 3 palline rosse e 1 bianca? = Sia p:=probabilità di estrarre una pallina rossa = 23/33; 1-p=10/33. Devo trovare P(X=3)= (23/33)3*(10/33)≈0,1026. 4 3

Esercizi Il semaforo posto ad un incrocio pericoloso a volte si blocca. L'assessore al traffico è a conoscenza che la probabilità che si blocchi un determinato giorno è 0.002. Poiché è impossibile riparare il semaforo in giornata, l'assessore decide di sistemare all'incrocio altri semafori a fianco del primo e pertanto si chiede quale sia il numero n di semafori da sistemare in modo che sia quasi certo che il traffico non si intralci, ossia sia superiore a 0.99999 la probabilità che almeno uno dei semafori funzioni. Quanto vale n? Quattro bambini vengono vaccinati contro il morbillo. Il vaccino attecchisce con probabilità 0.8, garantendo l’immunità del bambino alla malattia. Con quale probabilità tutti i bambini risultano immunizzati?

Coefficiente binomiale Teorema binomiale (a+b)n =  ai bn-i i=0 Abbiamo bisogno di nuovi mezzi di calcolo! Un foglio più grande potrebbe bastare! 100 15 Triangolo di Pascal 5 3 7 2

La distribuzione ipergeometrica Un’urna contiene b palline bianche e r rosse. Ne estraggo n (n≤b+r) SENZA REIBUSSOLAMENTO. Calcolare la probabilità di estrarre esattamente k palline rosse. I casi possibili sono I casi favorevoli sono C(r,k)C(b,n-k)= 

Esempio Su un autobus sono presenti 25 persone, di cui 18 sedute. 5 persone scenderanno alla prossima fermata. Qual è la probabilità che si liberino esattamente 2 posti a sedere? Ho b=18 persone sedute e r=7 persone in piedi Ne scelgo n=5 e ne voglio k=2 del tipo “b”

Esercizi Stabilire quale delle seguenti situazioni può venire descritta con un modello binomiale e quale con un modello ipergeometrico: Il controllore sale sull’autobus, sia p=0.05 la probabilità che un passeggero non abbia il biglietto. Con quale probabilità il controllore trova due persone prive di biglietto? Un gruppo di 50 lampadine ne contiene 2 difettose. Scelte 5 lampadine a caso, qual è la probabilità che almeno una sia difettosa? Ogni giorno arrivo alla fermata dell’autobus alle ore 8:00. Sia p=0.2 la probabilità che l’autobus arrivi entro 5 minuti. Qual è la probabilità che in un mese (30 giorni) l’autobus non arrivi mai entro 5 minuti?

Distribuzione Ipergeometrica/Binomiale (estrazioni senza/con reimbussolamento) pr/N = 0.3 S e n z a R i m b u s o l t C o n R e i m b u s l a t P(X=i)= r i N-r n-i N n P(X=i)= n i pi (1-p)n-i