“Centro di massa” “Centro di massa” G di un sistema di punti materiali Pi : z P1 P2 massa totale del sistema r1 G rCM P3 zCM O y xCM yCM x Esempio: CM di un sistema di 3 punti materiali di egual massa m posti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l : y P3 h G P1 P2 x U.Gasparini, Fisica I

Velocità e accelerazione del CM La quantità di moto totale di un sistema di punti materiali può essere espressa da: vCM v2 Accelerazione del CM : U.Gasparini, Fisica I Þ

Teorema del moto del centro di massa Per ogni punto materiale Pi di massa m i : legge di Newton risultante delle forze interne agenti su Pi forza interna che il punto Pj esercita su Pi risultante delle forze esterne al sistema agenti su Pi CM P2 P1 F21 = - F12 F12 F1E (es.: m1g ) º RE legge di azione e reazione accelerazione del CM in un sistema di riferimento inerziale risultante delle forze esterne che agiscono sul sistema U.Gasparini, Fisica I

Quantità di moto totale del sistema Esempio: il CM di un sistema di punti materiali in moto sotto l’azione della forza peso compie il moto parabolico di un punto materiale soggetto all’accelerazione g : Considerando la quantità di moto totale del sistema : In particolare, per un sistema isolato o per il quale la forza risultante di tutte le forze esterne sia nulla : P = costante la quantità di moto totale si conserva. U.Gasparini, Fisica I

Proprietà del centro di massa il momento risultante delle forze peso agenti sul sistema di punti materiali rispetto ad un polo O é uguale al momento della forza peso totale applicata nel centro di massa del sistema mi Pi ri G O mi g M g l’energia potenziale della forza peso per un sistema di punti materiali è uguale all’energia potenziale di un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e coincidente col centro di massa : U.Gasparini, Fisica I

Proprietà dei sistemi di forze parallele Dato un insieme di forze parallele applicate nei punti Pi , esiste un punto C, detto “centro delle forze parallele”: tale che il momento risultante delle forze Fi rispetto ad un generico polo O sia uguale al momento rispetto ad O della risultante applicata in C. Infatti: C Pi O ri Fi R Se il sistema delle forze parallele è costituito dalle forze peso: il centro delle forze peso, o “baricentro”, è: e coincide col centro di massa. U.Gasparini, Fisica I

Momento risultante di un sistema di forze Un sistema di forze Fi applicate in n punti Pi ha un momento risultante che in generale dipende dal polo considerato: Pi Fi OPi O O’Pi Si ha: O’O O’ = O’O + OPi = M O risultante del sistema di forze In particolare un sistema di forze a risultante nulla ha un momento che non dipende dal polo considerato U.Gasparini, Fisica I

Coppia di forze : Sistema di due forze di egual modulo e direzione e di verso opposto ( Þ R º 0 ) . Il momento di una coppia di forze è indipendente dal polo rispetto al quale viene calcolato; prendendo come polo il punto A: M = AB ´ F J F B A - F “braccio”: b= ½AB½sinJ (= distanza tra le due rette d’azione) Per la legge di azione e reazione, le forze interne di un sistema costituiscono un insieme di coppie di braccio nullo . U.Gasparini, Fisica I

Teorema di Koenig del momento angolare: Momento angolare di un sistema di punti materiali Teorema di Koenig del momento angolare: Pi vi = vi’ + vG L G’ ri = ri’ ri’ +rG G vG rG O U.Gasparini, Fisica I

Teorema di Koenig del mom.angolare: esempi: Moto traslatorio: nel sistema di riferimento del CM: v1 v1’ = v2’ = 0 r1 G vG = v1 = v2 rG v2 r2 Quantità di moto totale: O Moto roto-traslatorio: v1’ r1’ G v1 vG r2’ v2’ v2 rG Quantità di moto totale: O U.Gasparini, Fisica I

Teorema del momento angolare Teorema del momento angolare per un sistema di punti materiali ( “ 2a equazione cardinale” della dinamica): massa totale del sistema momento totale delle forze esterne rispetto al polo O velocità del polo O nel sistema di riferimento inerziale nel quale i punti materiale hanno le velocità vi che entrano nella definizione di LO : v G G v i r Infatti: i O vO C Ý sistema inerziale = 0 U.Gasparini, Fisica I

Teorema del momento angolare (II) = 0 Infatti, il momento risultante delle forze interne è nullo: = 0 poichè le forze interne costituiscono coppie di forze a braccio nullo : m1 F12 F21 = - F12 ß r1 r12 m2 r2 O Pertanto: U.Gasparini, Fisica I

Momento angolare (III) Se il polo O è fisso nel sistema inerziale nel quale sono misurate le velocità vi dei punti materiali: Se il sistema é isolato o il momento risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nullo : LO = costante Il momento angolare totale di un sistema isolato si conserva Una galassia è con ottima approssimazione un esempio di sistema con momento angolare costante U.Gasparini, Fisica I

La Supernova della nebulosa del Granchio Il collasso gravitazionale (e la successiva esplosione) di una “supernova” avviene conservando il momento angolare della stella originaria. Al centro dei resti della Supernova della nebulosa del Granchio (esplosione osservata da astronomi cinesi nel 1054) vi è una “pulsar” (oggetto compatto che emette un fascio di radiazione e.m. ruotando con un periodo Tpulsar= 33 ms ) Dalla conservazione del momento angolare [per un oggetto sferico rotante, come la stella iniziale prima dell’esplosione o la “pulsar” finale: L= Iw, dove I=5MR2/2 (vedi più avanti, lezioni sul corpo rigido), dove M=massa dell’oggetto e R è il suo raggio ] si ha allora: “pulsar” L = costante Assumendo, come ordine di grandezza: giorni U.Gasparini, Fisica I La pulsar è una “stella di neutroni” (distanze internucleari »1 fm)

Momento angolare rispetto al centro di massa Se viene scelto come polo il centro di massa del sistema: O º G , dove: velocità dei punti materiali nel sistema inerziale: vettori posizione rispetto al polo G velocità rispetto a G Applicando il teorema di Koenig del momento angolare: vettore posizione di G rispetto ad O al caso in cui O=G : dove è il momento angolare relativo al sistema del CM, e quindi: ossia calcolato utilizzando sia le posizioni ri’ che le velocità vi’ rispetto al centro di massa G. U.Gasparini, Fisica I i

Teorema di Koenig per l’energia cinetica: Energia cinetica di un sistema di punti materiali: Teorema di Koenig per l’energia cinetica: energia cinetica associata al moto del CM energia cinetica EK’ associata al moto relativo al CM Pi vi = vi’ + vG ri = ri’ ri’ +rG G rG vG O U.Gasparini, Fisica I

Teorema dell’energia cinetica Teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti materiali : lavoro delle forze interne tra gli istanti iniziale e finale dsj lavoro delle forze esterne al sistema Fj Il lavoro infinitesimo dW di tutte le forze agenti sul sistema quando ciascun punto materiale si sposta del vettore infinitesimo dsj è: posizione finale di ciascun punto Pj Integrando su spostamenti finiti: posizione iniz. U.Gasparini, Fisica I

Lavoro delle forze interne ed esterne Nel calcolo del lavoro, si deve tener conto sia delle forze interne che di quelle interne; il lavoro delle forze interne non è, in generale, nullo : ¹ 0 dr2 2 2 F12 1 dr1 1 tempo t +dt O tempo t F12 U.Gasparini, Fisica I