r (t) = OP = S i xi u i = OO’ + O’P == Si xiui + S xi’ ui’ Trasformazioni tra sistemi di riferimento in moto relativo roto-traslatorio traiettoria di P x3’ w(t) r(t)=(x1, x2, x3) u3’ r’(t)=(x1’,x2’,x3’) x2’ x3 u2’ Vo’(t) P u3 O’ u1’ OO’(t)= ( x1 , x2 , x3 ) u1 O x2 u2 x1’ x1 r (t) = OP = S i xi u i = OO’ + O’P == Si xiui + S xi’ ui’ (vedi slide successiva) w ´ u i’ w ´ r’ Vo’ v’ “velocità di trascinamento” v(t) = v’(t) + Vo’ + ( w ´ r’ )

Moto di “precessione” di un vettore : Rotazione del vettore intorno ad un asse, con velocità angolare di rotazione : J w dJ Vale la formula di Poisson: dA j A Infatti: Þ Inoltre dA ^ A, w e il suo verso coincide con quello di Per un sistema di riferimento in rotazione con velocità angolare w, ciascuno dei versori dei suoi assi coordinati compie un moto di precessione : Þ U.Gasparini, Fisica I

Esempio: velocità di trascinamento nel moto della Terra Vo’ Sole vtr = Vo’ + w  r’ Velocità rispetto al Sole di un punto P fermo sulla superficie della Terra z’ w Vo’ P w ´ r’ r’(t) y’ O’ z x’ OO’(t) U.Gasparini, Fisica I y x O

Trasformazione delle accelerazioni: ao’

v = v’ + vtr = v’ + VO’ + w ´ r’ a = a’ + atr + aCo Riepilogo: trasformazioni di velocità ed accelerazione tra sistemi di riferimento in moto relativo: Sistema “assoluto”: Sistema “relativo”: v’, a’ v, a v = v’ + vtr = v’ + VO’ + w ´ r’ a = a’ + atr + aCo vtr = VO’ + w ´ r’ “velocità di trascinamento” “accelerazione di trascinamento” a Co = 2 w ´ v’ “accelerazione complementare” o “di Coriolis” U.Gasparini, Fisica I

Esempio di trasformazione delle accelerazioni : il moto della Terra w = costante w ´ ( w ´ r’ ) w N P vO’ r’ aO’ O’ (verso il Sole) S piano dell’eclittica Accelerazione di trascinamento: distanza Terra-Sole N P l raggio della Terra latitudine All’equatore: S

Esempio: accelerazione di gravità ( w = costante, aO’ trascurabile ) g0 = g + w ´ (w ´ r ) + 2 w ´ v’ accelerazione relativa accelerazione assoluta Accelerazione osservata in un sistema solidale con la Terra: g = g0 - w ´ (w ´ r ) - 2 w ´ v’ z (Alto) la componente verticale gz dell’accelerazione di gravità osservata g aumenta con la latitudine ( è minima all’Equatore; al polo coincide con g0 ) g w go r - w ´ (w ´ r ) w ´ r x (Sud) y(Est) U.Gasparini, Fisica I

Effetti dell’ accelerazione di Coriolis: w (alta pressione) A v’ B (bassa pressione) -2( w x v’) Nell’ emisfero settentrionale (meridionale) i vortici ciclonici atmosferici ruotano in senso antiorario (orario) vortice ciclonico U.Gasparini, Fisica I

Pendolo di Faucault Rotazione apparente del piano di oscillazione del “pendolo di Faucault” w N w v’ E -2 w´ v’ Est piano di oscillazione v’ rotazione apparente del piano di oscillazione -2 w´ v’ Nell’esperienza di Faucault ( Parigi, Pantheon,1850):

Trasformazioni galileiane Sistemi di riferimento in moto relativo puramente traslatorio ed uniforme : VO’ = costante z’ aO’ = 0, w = 0 z vO’ O’ y’ x’ O y x “Trasformazioni galileiane”: le accelerazioni sono invarianti per trasformazioni galileiane Nota : le trasformazioni galileiane, che postulano un tempo “assoluto”, contraddicono il principio di invarianza della velocità della luce (sperimentalmente osservato). [ Per trattare correttamente velocità relative prossime alla velocità della luce, è necessario utilizzare le trasformazioni della meccanica relativistica (trasformazioni di Lorentz ) ]

Trasformazioni galileiane Scegliendo uno degli assi coordinati parallelo alla velocità relativa di traslazione : x, x ’ // vO’ P z r z’ r’ vO’ O x x’ O’ y y’ U.Gasparini, Fisica I

Sistemi non inerziali w(t) a Vo’(t) Þ Forze apparenti in un sistema di riferimento non inerziale: traiettoria di P P w(t) a Vo’(t) F = ma O’ O Sistema non inerziale: Sistema inerziale: equazione formalmente uguale alla legge di Newton Þ avendo definito la “forza”: U.Gasparini, Fisica I forza reale “forza fittizia” (ad es., forza centrifuga)

Esempio di forza apparente: “forza centrifuga” su una piattaforma rotante w F m r Equilibrio sulla piattaforma: la forza reale : equilibra la forza “centrifuga”: Il sistema non è un sistema inerziale (in esso non vale la legge di Newton) : F a’=0 U.Gasparini, Fisica I