Moto di rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso : w z asse di rotazione J(t) dJ v R ds = RdJ j r y O x Vettore velocità angolare w : vettore tale che per un qualsiasi punto P del corpo individuato dal vettore posizione r rispetto a un polo O sull’asse di rotazione, la velocità di P è data da: - - w è diretto lungo l’asse di rotazione il verso di w è dato dalla “regola della mano destra” v º w ´ r U.Gasparini, Fisica I

Momento angolare per un moto di rotazione intorno ad un asse : Dato un polo O sull’asse di rotazione z , la componente di LO lungo l’asse z : è data da: “momento di inerzia” del corpo rispetto all’asse z : z distanza dall’asse z dell’elemento dm w v R j p/2-j r dLO Contributo (infinitesimo) di dm al momento angolare totale LO O Integrando su tutto il corpo: U.Gasparini, Fisica I

Dimensioni del momento d’inerzia: Momento di inerzia Dimensioni del momento d’inerzia: Il momento d’inerzia dipende dalla forma geometrica del corpo, dalla sua distribuzione di massa (densità) e dall’asse considerato; non è una proprietà intrinseca del corpo Esempio: momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza e massa M: i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo : z x dm R densità lineare ii) rispetto ad un asse perpendicolare passante per il suo centro di massa : z G R dm x

Esempi di calcolo di momenti di inerzia Momento d’inerzia di un disco omogeneo di raggio R e massa M rispetto all’asse perpendicolare passante per il suo centro di massa : z dr G densità superficiale: r R ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M : disco di massa dM(z), momento d’inerzia dI(z) z dz R z

Teorema di Huygens-Steiner (o “degli assi paralleli”) : momento d’inerzia rispetto all’asse z’// z e passante per il CM massa totale del corpo distanza tra z e z’ z R z’ P = (x,y,z,) = (x’,y’,z’) R’ dm y, y’ G x x’ d = R’2 U.Gasparini, Fisica I = M

Esempi di applicazione del teorema di Steiner : G dm (cfr. slide n.3) ii) Momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse ad esso perpendicolare passante per un punto P sul suo bordo : z’ z P d = R G Þ Si noti che: un disco che ruoti senza strisciare (“puro rotolamento”) compie una rotazione intorno all’asse istantaneo passante per il punto di contatto col piano di appoggio w z G vG U.Gasparini, Fisica I P

Teorema del momento angolare per un corpo rigido Il teorema del momento angolare ( “ 2a equazione cardinale” della dinamica): massa totale del sistema velocità del polo O nel sistema di riferimento inerziale nel quale i Punti materiale hanno le velocità v che entrano nella definizione di LO : momento totale delle forze esterne rispetto al polo O per un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso z ( vO= 0) : z w può essere riformulato utilizzando il concetto di momento d’inerzia. Proiettando tale equazione lungo l’asse di rotazione: O accelerazione angolare : ( in formale analogia con la legge di Newton: U.Gasparini, Fisica I )

Equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni: L’equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni: è formalmente analoga alla 2a legge della dinamica per un punto materiale, con le sostituzini: forza risultante F Û momento delle forze esterne M accelerazione a Û accelerazione angolare a massa m Û momento d’inerzia Iz rispetto all’asse di rotazione z Esempio : porta in rotazione intorno ai suoi cardini z w(t) MO = O OP w(t+dt) braccio minore OP ´ F P MO F a forza agente sulla maniglia OP O P minore accelerazione angolare F U.Gasparini, Fisica I stessa forza

F “Pendolo composto” Applicazione del teorema del momento angolare: moto di un “pendolo composto” y y piano di oscillazione (x,y) reazione vincolare (non ha momento rispetto ad O ) F x O O z z x M OG Ä O G G h mg mg Proiezione della 2a eq.cardinale lungo l’asse z : Per piccole oscillazioni (sin J » J ) : Introducendo la “lunghezza ridotta” del pendolo composto: Soluzione : moto armonico U.Gasparini, Fisica I

“Assi reciproci” di un pendolo composto: y piano di oscillazione (x,y) “assi reciproci” asse di rotazione O z “asse di oscillazione” : asse parallelo all’asse di rotazione, passante per il punto O’ a distanza (º lunghezza ridotta ) dal punto di sospensione O lungo la retta OG h G O’ z’ h’ mg I periodi di oscillazione intorno agli assi z e z’ (“assi reciproci”) sono uguali. Infatti: La lunghezza ridotta per le oscillazioni intorno ad O’ è: U.Gasparini, Fisica I

“Pendolo reversibile” (o “ pendolo di Kater ”) : punti di sospensione (fissi) O’ Masse mobili O O’ le masse m1 ed m2 vengono spostate finchè i periodi di oscillazione intorno ad O e O’ sono gli stessi; in tale situazione la distanza OO’, determinabile con elevata precisione (Dl/l »10-3 ) è la lunghezza ridotta del pendolo composto -6 si ottengono misure di di analoga precisione : U.Gasparini, Fisica I

Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione Per un copro rigido in rotazione con velocità angolare w intorno ad un asse z : w z asse di rotazione J(t) dJ v R ds=RdJ Þ Analogia formale con l’espressione dell’energia cinetica di un punto materiale: Û m Û Û w U.Gasparini, Fisica I v

Teorema di Koenig per l’energia cinetica di un corpo rigido Il moto generico di un corpo rigido è, in un dato istante, riconducibile ad un moto roto-traslatorio, sovrapposizione di un moto di traslazione del centro di massa con velocità vG e di un moto di rotazione con velocità angolare w intorno ad un asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa: v G w G In generale, sia il modulo che la direzione di w variano istante per istante. Teorema di Koenig per l’energia cinetica di un corpo rigido: momento d’inerzia rispetto all’asse istantaneo di rotazione passante per G U.Gasparini, Fisica I

Energia cinetica di un copro rigido Il teorema di Koenig per un corpo rigido puo’ essere ricavato dal teorema di Huygens-Steiner : z z’ w vG = wd d vG G corpo in rotazione intorno all’asse z t. di Huygens-Steiner U.Gasparini, Fisica I

Teorema dell’energia cinetica per un corpo rigido: lavoro delle sole forze esterne Per un corpo rigido,il lavoro infinitesimo dW(I) delle forze interne è nullo: º 0 poichè in un corpo rigido le distanze relative rjk rimangono invariate U.Gasparini, Fisica I