Potenziale costante V(x)=cost La forza (gradiente del potenziale) è nulla → Particella libera Quando la relazione tra l’energia totale di una particella e la sua energia potenziale è tale che classicamente la particella sarebbe limitata a una regione limitata dello spazio perché l’energia potenziale eccederebbe quella totale al di fuori di tale regione, allora la teoria di Schroedinger predice che l’energia totale è quantizzata. Quando questa relazione è tale che la particella non è legata ad una regione limitata allora la teoria predice che l’energia può assumere qualunque valore Ma anche la funzione con –k è soluzione associata con lo stesso valore dell’energia. Sono due onde che viaggiano in direzione opposta

Potenziale costante V(x)=cost Una combinazione lineare delle due funzioni è ancora soluzione dell’equazione per la stessa energia (eq alla derivata seconda quindi due costanti di integrazione) Se una delle costanti è presa nulla si ha un onda che viaggia in una direzione o nell’altra. Se le due costanti sono uguali si ha un’onda stazionaria Vediamo nel caso di onda che viaggia in una direzione i valori di aspettazione della posizione e dell’impulso

Gradino di Potenziale V(x>0)=V0 V(x<0)=0 Prendiamo 0<E<V0 e consideriamo separatamente l’eq per x positive e negative Funzione d’onda finita in tutto l’intervallo di validità Continuità della funzione d’onda in x=0 Continuità della derivata della funzione d’onda in x=0

Gradino di Potenziale V(x>0)=V0 V(x<0)=0 Interpretiamo la soluzione trovata Onda incidente Onda evanescente onda piana che viaggia da -∞ verso 0 una che viaggia da 0 verso -∞ esponenziale decrescente da 0 verso -∞ Onda riflessa Coefficiente di riflessione OPPURE Onda stazionaria Onda evanescente Penetrazione in una zona classicamente esclusa (x>0)

Penetrazione in una zona classicamente esclusa V(x>0)=V0 V(x<0)=0 Penetrazione in una zona classicamente esclusa Distanza di penetrazione Dx per una particella, r = 10 -6 m r = 104 kg/m3 , v = 10 -2 m/sec, V0(x>0)=2K(x<0) V0-E=K= Per particelle più massive e/o energie maggiori (tipiche dei casi della meccanica classica) la penetrazione diminuisce ancora

Gradino di Potenziale Prendiamo ora E>V0 e consideriamo separatamente l’eq per x positive e negative Due (coppie di) onde con diverso impulso/lunghezza d’onda nelle due diverse regioni di potenziale. Non c’è però ragione di considerare un onda che si propaga nella direzione delle x decrescenti per x>0 Quindi D=0 Continuità della funzione d’onda in x=0 Continuità della derivata della funzione d’onda

Gradino di Potenziale V(x>0)=V0 V(x<0)=0 Interpretiamo la soluzione trovata Onda incidente Onda riflessa onda piana che viaggia da -∞ verso 0 una che viaggia da 0 verso -∞ una che viaggia da 0 verso ∞ Onda trasmessa Coefficiente di riflessione (Assumendo k1=2k2 ovvero → R=1/3) X<0 onda stazionaria (probabilità oscillante tra il valore di min e quello di max) X>0 onda viaggiante (probabilità costante su tutta la regione)

Barriera di potenziale Le soluzioni nelle zone a potenziale nullo sono note Per le usuali considerazioni si può assumere D=0 Per la zona all’interno della barriera invece bisogna considerare separatamente il caso di E maggiore o minore di V0 In entrambi i casi non si può assumere che G=0 La regione è limitata e quindi nessuno dei due esponenziali esplode in alcun limite All’interfaccia x=a si ha riflessione dell’onda e quindi occorre prevedere una componente che viaggia nella direzione delle x decrescenti

Barriera di potenziale E<V0 Abbiamo 5 parametri da determinare usando le 4 relazioni di continuità (2 relazioni per 2 interfacce). Rimane l’ultimo parametro (ad es. A) per la normalizzazione Fino ad x=a la situazione è uguale al caso del gradino di potenziale Onda stazionaria a destra e funzione esponenzialmente decrescente oltrepassata l’origine La novità è che dopo a torna ad esistere una onda che viaggia nella direzione delle x crescenti con ampiezza che dipende dallo spessore della barriera di potenziale

Barriera di potenziale E>V0 Abbiamo onde viaggianti in tutte le regioni ma all’interno della barriera la lunghezza d’onda aumenta ovvero la velocità diminuisce

Potenziale a gradino Barriera di potenziale In entrambi i casi la riflessione tende a uno per E/V0 → 0 e a zero per E/V0 → ∞ Ma per la barriera di potenziale si ha un passaggio più progressivo a causa dello spessore finito della zona classicamente esclusa che permette il tunneling di una parte dell’onda. Inoltre si osservano oscillazioni dovute alla interferenza delle onde riflesse alle due interfacce della barriera (lo stesso vale anche per la parte trasmessa) Il caso del potenziale a gradino corrisponde al limite della barriera di potenziale di larghezza infinita

Fenomeni di tunneling attraverso barriere di energia sono frequenti. La riflessione totale frustrata alla doppia interfaccia di due mezzi è l’analogo classico del tunneling di particelle Ma il tunnelling attraverso una barriera di potenziale è anche all’origine di un paradosso riguardo all’emissione di particelle nel decadimento a di nuclei radioattivi. Dagli esperimenti di Rutherford si era determinato il potenziale nucleare con grande precisione. Però si osservava che nel decadimento a di nuclei radioattivi l’energia della particella emessa era sensibilmente minore del potenziale Coulombiano a distanze nucleari. La risposta sta nel tunneling quantistico attraverso una barriera di potenziale. Un altro esempio lo si può trovare nell’oscillazione della molecola di Ammonia NH3 tra le sue due configurazioni Feynman, Leighton, and Sands, "The Feynman Lectures on Physics volume III chapter 9 "The Ammonia Maser."

La buca di potenziale Classicamente la particella oscillerebbe tra le due pareti per un valore di energia (<V0) qualsiasi Quantisticamente si comporta nella stessa maniera ma solo per dei valori discreti di energia (E<V0). X Imponendo le condizioni di continuità si determinano i coefficienti A,B,C,G. Ma sembrerebbe scomparire la costante di ampiezza arbitraria (normalizzazione). Ma non è così perché ora l’energia E non è più un parametro libero ma può assumere solo un set discreto di valori.

La buca di potenziale I valori di energia E>V0 invece sono tutti permessi e danno onde propaganti come nei casi precedenti Le funzioni d’onda saranno del tipo riportato qui sotto. La onda deve essere stazionaria e questo impone che la lunghezza d’onda sia in relazione con la dimensione della buca (la penetrazione nella zona classicamente proibita entra anch’essa nel conto) Quanto più profonda sarà la buca tanto minore sarà la penetrazione al di fuori

La buca infinita di potenziale Imponiamo le condizioni di continuità sulla funzione d’onda ai due estremi della buca Sommando e sottraendo perveniamo alle due relazioni. Entrambe devono essere soddisfatte. Possiamo imporre che una tra A e B sia nulla e che k soddisfi l’altra n=1,3,5, … n=2,4,6, … E0=0 non è permesso dal principio di indeterminazione.

Oscillatore armonico semplice Potenziale continuo Vastissima applicazione Insieme al potenziale Coulombiano copre una gamma vastissima di fenomeni fisici Tutte le piccole vibrazioni intorno ad una posizione di equilibrio Ogni potenziale dotato di minimo può essere approssimato per piccole oscillazioni da un oscillatore armonico

Oscillatore armonico semplice Classicamente frequenza Classicamente energia (x0 ampiezza) Energia di punto zero Quantisticamente energia Funzioni d’onda n Autofunzioni