ATTIVITA’ FORMATIVA UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA“ A.A 2003/2004 ATTIVITA’ FORMATIVA Docente: Roberta Dal Passo Studenti: Enzo Ferrazzano Luca Burini

Caos deterministico "logisticamente"

semplificazione Equazioni di Navier-Stokes Moto in un fluido viscoso continuo 1. Conservazione della massa 2. Conservazione della quantità di moto e dell'energia semplificazione

Modello di Lorenz semplificazione

Applicazione di Henon semplificazione

La logistica mappa

Concetti preliminari

Le equazioni di ricorrenza Definizione Le equazioni del tipo , con sono dette Equazioni di ricorrenza -concetti preliminari- Le equazioni di ricorrenza

-concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi Dinamici Definizione Come orbita di sotto l’azione di intendiamo la seguente sequenza bi-infinita se è invertibile Oppure, se non è invertibile -concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi Dinamici

-concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi dinamici Classificazione dei Sistemi Dinamici in base alla natura delle Mappe Sistema dinamico lineare LINEARE Sistema dinamico NON lineare NON LINEARE -concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi dinamici

-concetti preliminari- Punti fissi Definizione Un punto è un punto fisso se stabile se è un punto fisso instabile Asintoticamente stabile se se non è stabile Teorema 1 Se -concetti preliminari- Punti fissi

-concetti preliminari- Punti fissi Definizione Un punto p è detto periodico di ordine k se Definizione L’insieme è detto ciclo k-periodico se e Definizione Sia p un punto periodico di ordine k, definiamo p un punto periodico attrattore se p un punto periodico repulsore se non è attrattore -concetti preliminari- Punti fissi

-concetti preliminari- Ordine di Sharkovsky Nuovo ordinamento dei numeri naturali Prima tutti i numeri dispari … … poi i numeri dispari moltiplicati per 2… … e per le potenze di 2… … e quindi le potenze di 2 in ordine decrescente Teorema di Sharkovsky Sia , con f una mappa. Se f ha un punto di periodo k, essa avrà anche punti di periodo m, con m un numero qualsiasi che segue k nell’ordine di Sharkovsky. logistica -concetti preliminari- Ordine di Sharkovsky

-concetti preliminari- Metodi di rappresentazione Metodi di rappresentazione delle Mappe unidimensionali COBWEB DIAGRAM = -concetti preliminari- Metodi di rappresentazione

La Mappa Logistica

-La crescita logistica- Verhulst CORREZIONE 1838 Legge di Malthus -La crescita logistica-

Considerazioni analitiche Dinamica delle popolazioni Inoltre Quindi Per garantire la reiterabilità di -La mappa logistica-

-Crescita logistica- Convergenza Strutture nella mappa logistica Due punti fissi Teorema 1 con 1. L’unico punto fisso accettabile è Non sono contemplate popolazioni negative punto fisso stabile Poichè Un parametro di controllo inferiore all’unità condanna la specie all’estinzione -Crescita logistica- Convergenza

-Crescita logistica- Convergenza 2. Due punti fissi e ( positivi ) instabile Quindi per il punto fisso è stabile Convergenza seme x=0,2 seme x=0,8 -Crescita logistica- Convergenza

Ritorno

Ritorno

-Crescita logistica- Convergenza La mappa perde il punto stabile Periodo 2 Andamento pre-caotico Oscillazione Periodo 4 In particolare, esiste un successione , per cui la mappa ammette un attrattore di periodo . L’orbita oscilla tra un numero infinito di punti Andamento caotico Esistono tuttavia particolari valori del parametro di controllo che garantiscono un andamento periodico della mappa Finestre di Periodicità -Crescita logistica- Convergenza

-concetti preliminari- Ritorno

Ritorno

Ritorno

Dipendenza al variare del parametro n Evoluzione della mappa al variare di Diagramma di Feigenbaum Ascisse: parametro di controllo Ordinate: valori assunti dalla mappa Proprietà qualitative comuni a tutte le mappe unimodali differenziabili dopo alcune iterazioni di assestamento Universalità Strutturale -Crescita logistica- Variazione del parametro

Ritorno

Le leggi della mappa Universalità strutturale Successione Nicholas C. Metropolis Paul Stein Myron Stein La dipendenza al variare del parametro non è propria solo della mappa logistica, ma di tutte le mappe unimodali differenziabili. Universalità strutturale Successione La successione converge a con costante di Feigenbaum Mitchell Feigenbaum Detta d la distanza tra le “punte” della prima biforcazione, le successive distanze tra le punte delle biforcazioni saranno con parametro di riduzione (oppure Costante di Omotetia)

-Crescita Logistica- Universalità Metrica Parametri esistono e sono costanti in tutte le mappe unimodali differenziabili Esperimenti e Universalità Metrica Verificata empiricamente da M.Feigenbaum e dimostrata formalmente da Oscar E. Lanford III nel caso unidimensionale. -Crescita Logistica- Universalità Metrica

-I nostri esperimenti- Idea Se complichiamo la mappa, cosa succederà alle iterazioni? flesso 1 1 Mappa di prova Mappa logistica -I nostri esperimenti-

-I nostri esperimenti -

-I nostri esperimenti -

-I nostri esperimenti -

-concetti preliminari-

-I nostri esperimenti - ? La nostra funzione si comporta come la mappa logistica Perchè? -I nostri esperimenti -

Analisi qualitativa dell’Universalità Metrica

-Universalità Metrica- Analisi qualitativa Studio delle biforcazioni , b Allora a poichè a Nei punti e l’andamento locale è identico Non è quindi riduttivo studiare solo un ramo del grafico -Universalità Metrica- Analisi qualitativa

- Universalità Metrica - La prima biforcazione Mappa iterata due volte n < 3 n = 3 n > 3 - Universalità Metrica - La prima biforcazione

- Universalità Metrica - Analiticamente i punti fissi sono e costituiscono un ciclo 2-periodico Raddoppio del periodo Successione Orbita di periodo 3 Orbite di ogni periodo Per il teorema di Sharkovsky - Universalità Metrica -

- Universalità Metrica - Similitudine tra la prima e la seconda biforcazione Mappa iterata due volte n = 3.2 n = 3.46 - Universalità Metrica -

L’evoluzione della zone evidenziate segue un andamento simile a quello della mappa iterata una sola volta (da n=1,5 a n=3 ).

- Universalità Metrica - Vale anche per le iterazioni successive Similitudine e ricorsività tra i grafici Sequenza infinita di raddoppi di periodo successione Le mappe delle iterate successive si comporteranno come la mappa della prima iterata La Costante di Feigenbaum è indipendente ad un cambio di parametro della successione - Universalità Metrica -

Dipendenza dalle condizioni iniziali

Gli Esponenti di Lyapunov Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali Regime dinamico caotico Piccole differenze sulle condizioni iniziali si amplificano enormemente fino a produrre traiettorie completamente diverse. Esponenti di Lyapunov stima delle velocità medie di convergenza o divergenza esponenziali delle traiettorie di un sistema caotico - Gli esponenti di Lyapunov -

- Gli esponenti di Lyapunov - Esponente di Lyapunov per una mappa Punto fisso Orbita stabile Punto fisso neutrale Orbita instabile e caotica Esponenti negativi sono tipici di sistemi dissipativi Esponenti nulli sono tipici di sistemi conservativi - Gli esponenti di Lyapunov -

- Gli esponenti di Lyapunov - Ulteriori informazioni - Gli esponenti di Lyapunov -

Dal "semplice" al "complesso"... ...dalla mappa logistica a...

Universalità Metrica Mappa Logistica e Equazioni di Navier-Stokes V. Franceschini (1979, Università di Modena) Studio di fluidi idrodinamici e del passaggio alla turbolenza Simulazione numerica Sistema di 5 equazioni differenziali accoppiate del primo ordine Nel raddoppio del periodo si presentano le costanti di Feigenbaum Sostituisce le equazioni di Navier-Stokes In un sistema dissipativo multidimensionale guidato dopo lungo tempo tutte le variabili meno che una tendono a scomparire Universalità Metrica Eckmann Kollet Koch

Mappa Logistica e Modello di Lorenz Al variare di un parametro r, il modello di Lorenz ha un comportamento simile a quello della mappa logistica. In particolare Periodo transitorio pre-caotico I processi nascono come caotici, ma a lungo termine diventano periodici Regime caotico alternato a finestre di periodicità Le finestre di periodicità sono il dominio di diversi attrattori periodici Attraverso un’applicazione chiamata Zoccolo di Smale è possibile dimostrare alcune caratteristiche generali dei sistemi dissipativi

-concetti preliminari-

Lo zoccolo di Smale Applicazione bidimensionale che trasforma un insieme di punti in un piano

Attrattore stretching strano folding dipende dalla misura utilizzata Insieme invariante L’insieme invariante non costituisce un attrattore. Tra tutti i possibili punti iniziali di S, quelli che sono ricorrenti in costituiscono un insieme di misura nulla. dipende dalla misura utilizzata Con probabilità 1, un punto scelto arbitrariamente nel quadrato rimarrà nel quadrato solo per un periodo transitorio. Attrattore strano stretching Traiettorie divergenti vengono riavvicinate folding Ulteriori informazioni

L’applicazione di Henon Diagramma di biforcazione incredibilmente simile a quello di Feigenbaum

but also in everyday world of politics and economics, “Not only in research, but also in everyday world of politics and economics, we would all be better off if more people realize that simple non-linear system do not necessarily possess simple dynamical proprieties” Robert M. May, 1976 -conclusioni-