Le tavole input-output La versione simmetrica Jacopo Di Cocco Corso di Contabilità nazionale Facoltà di Economia - Bologna

L’integrazione risorse - impieghi La matrice della produzione non è collegata a quella delle risorse salvo che per il totale dell’output per calcolare le interdipendenze tra i produttori è necessario integrare le due tavole tramite il calcolo dei costi intermedi prodotto per prodotto o industria per industria in modo che ad ogni variazione indotta nella produzione di una branca o di un prodotto si possano calcolare gli indotti sugli altri produttori. Per fare ciò si seguono due passi: Redigere una tavola combinata risorse ed impieghi, Calcolare tavole quadrate e simmetriche di consumi intermedi Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata risorse ed impieghi Una tavola combinata delle risorse e degli impieghi presenta sotto forma di una tavola unica (cfr. tavola 9.3), aggiungendo, per la produzione e le importazioni, due righe ed una colonna alla tavola degli impieghi (cfr. tavola 9.2). Si noti che nella tavola 9.3 sono state trasposte le righe e le colonne della tavola delle risorse 9.1. Si fornisce uno schema semplificato (a 3 branche) della tavola combinata indicando matrici e vettori inseriti con i soli simboli utilizzati nelle tavole precedenti Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Convenzioni matriciali (1) Una matrice è indicata con una lettera latina maiuscola; Un vettore (matrice uni-dimensionale) con una lettera latina minuscola; L’apostrafo indica la trasposta di una matrice o vettore L’accento circonflesso ^ su un vettore indica che lo si è diagonalizzato trasformandolo in una matrice tutta nulla salvo la diagonale principale che riporta i valori del vettore (cfr. gli appositi lucidi successivi) Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Convenzioni matriciali (2) Le dimensioni di una matrice o di un vettore sono indicati con pedici destri e fanno riferimento a: p = numero di prodotti b = numero di branche. Nelle formule il pedice sinistro indica l’origine: t = tutte le origini o totale p = di produzione interna i = di importazione Gli apici segnalano: i prezzi: (b = di base, f = alla produzione [ ex fabrica], a = d’acquisto), le componenti integrative di prezzo : (m = margini commerciali e di trasporto, i = imposte indirette al netto dei contributi sui prodotti) Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Convenzioni matriciali (3) In una matrice ed un vettore trasposti si ha lo scambio delle righe con le colonne, gli indici sono spesso sottointesi Un vettore è inteso sempre come colonna: 1 colonna ed n righe, per specificare un vettore riga si usa il segni di trasposto Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Vettore diagonalizzato Un accento circonflesso su un vettore indica che è un vettore diagonalizzato (sia esso vettore colonna e riga) E’ trasformato in una matrice quadrata con tante righe e colonne come le righe del vettore colonna tutta di valori nulli salvo sulla diagonale principale ove gli elementi sono nell’ordine i componenti del vettore. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Somma di matrici Si possono sommare (o quindi sottrarre) solo matrici delle stesse dimensioni. La matrice risultato e ottenuta sommando gli elementi corrispondenti delle matrici addendo. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Prodotto di matrici Due matrici si possono moltiplicare solo se le colonne della prima sono numerose come le righe della seconda. La matrice prodotto ha le righe della prima e le colonne della seconda Ogni elemento kij della matrice prodotto è la sommatoria dei prodotti ordinati tra gli elementi della ia riga della prima matrice e della ja colonna della seconda. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrice identità e vettore unitario La matrice identità è una matrice quadrata tutta di 0 salvo la diagonale di 1 essa svolge la funzione di unità matriciale, moltiplicata per una matrice la lascia invariata. Un vettore unitario è composto di componenti tutti = a 1 e, opportunamente moltiplicato per una matrice, fornisce un vettore dei totali di riga o di colonna. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrice inversa Una matrice inversa, se esiste, funge da reciproco della originaria quadrata e pre o post moltiplicata per questa dà la matrice identità. Per le modalità di calcolo si rinvia al programma di Matematica generale Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Vettore diagonalizzato ed invertito Un vettore diagonalizzato ed invertito ha sulla diagonale principale i reciproci degli elementi del vettore originario. Esso consente di ordinatamente dividere tutti gli elementi di una matrice per quelli di un vettore; per riga pre-moltiplicando e per colonna post-moltiplicando. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Notazioni per le matrici e i vettori per le conversioni delle SUT in tavole simmetriche U: matrice intermedia della tavola use H (dimensione: prodotto per branca); B: matrice dei coefficienti intermedi dalla use (dimensione: prodotto per branca): U E: parte della domanda finale della tavola use Y: matrice del valore aggiunto (dimensione: fattore per branca); M: matrice della produzione (make o supply) che descrive la produzione interna (dimensioni: prodotto per branca); D: matrice delle quote di mercato (le proporzioni in cui le diverse branche producono l’output totale di un determinato prodotto): M’ (il simbolo’ indica la trasposta); g: vettore dell’output per branca ( : diagonalizzato); q: vettore dell’output per prodotto ( : diagonalizzato). Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata a valori totali Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata della produzione interna Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tavola combinata delle importazioni Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Tavole simmetriche (1) Una tavola delle interdipendenze simmetrica è una matrice prodotto per prodotto o branca per branca che descrive dettagliatamente i processi di produzione interni e le operazioni sui prodotti dell’economia nazionale. Elaborare una tavola delle interdipendenze simmetrica permette di riunire in un’unica tavola quelle delle risorse e degli impieghi. Si parte da quella combinata e si usano gli algoritmi e le ipotesi che illustreremo. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Tavole simmetriche (2) Vi è una importante differenza concettuale fra una tavola delle interdipendenze simmetrica e una tavola combinata delle risorse e degli impieghi: nella tavola delle risorse e degli impieghi, le statistiche mettono in relazione prodotti e branche di attività economica, mentre, nella tavola delle interdipendenze settoriali simmetrica, i dati calcolati mettono in correlazione prodotti con prodotti o branche con branche. Pertanto, in una tavola delle interdipendenze simmetrica viene utilizzata, tanto per le righe quanto per le colonne, o una classificazione per prodotto o una classificazione per branca di attività economica. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

I calcoli dei coefficienti simmetrici Nel rispondere ai questionari le aziende con più prodotti forniscono abbastanza facilmente il valore della produzione articolata per prodotto e gli acquisti intermedi sempre articolati per prodotto, ma difficilmente dispongono di dati sui loro utilizzi per linea di produzione e anche se hanno una contabilità analitica questa non segue le classificazioni CPA. Pertanto si ricorre a stime. Si stimano i coefficienti diretti e da questi si risale anche ai valori monetari oltre a calcolare quelli diretti ed indiretti del modello input-output. Per distribuire i consumi intermedi in funzione dei prodotti realizzati da ciascuna branca si stimano i consumi intermedi per prodotto sulla base di: Coefficienti di spesa, mix produttivo e quote di mercato Un’ipotesi sulla tecnologia seguita. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Matrici, vettori e quadrature della tavola combinata Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

I coefficienti di input di branca La matrice Bpb dei coefficienti diretti di fabbisogno dei diversi prodotti i per consumi intermedi per branca j rappresenta le proporzioni tra valori medi dei diversi input e output di ciascuna branca. Essa è calcolata dividendo colonna per colonna le spese intermedie per il valore della produzione ottenuta. La matrice è articolabile per origine interna ed esterna all’economia Tutti i valori di Bpb sono positivi inferiori ad 1 ed anche la loro somma per colonna Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La matrice del mix di prodotto La matrice Cp,b del mix di prodotto mostra le proporzioni dell’offerta dei prodotti principali e secondaria nell’offerta complessiva delle diverse branche. Essa è calcolata dividendo riga per riga la trasposta dei prodotti offerti da ciascuna branca per l’offerta totale della stessa. Con la trasposizione si torna alla matrice originaria della tavola delle risorse. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La matrice delle quote di mercato La matrice pDpb delle quote di mercato rappresenta le proporzioni in cui ogni branca risponde alla domanda di prodotti rivolta a beni e servizi di origine interna. Essa è calcolata dividendo colonna per colonna la matrice dei prodotti offerti da ciascuna branca per quelli offerti complessivamente da tutte le branche. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le ipotesi tecnologiche Date le matrici rilevate e quelle calcolate si adotta una delle seguenti ipotesi tecnologiche: Tecnologia di prodotto: “ogni prodotto, indipendentemente dall’industria in cui si origina, è fabbricato utilizzando la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi unitari) Tecnologia d’industria: “ogni prodotto (sia esso principale, secondario, sottoprodotto) della medesima industria è fabbricato con la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi in ciascuna branca indipendentemente dai prodotti realizzati) Tecnologia mista: una combinazione empirica delle prime due Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le tavole prodotto per prodotto Il SEC privilegia le tavole prodotto per prodotto T è una matrice prodotto per prodotto che mostra i coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi PT, se si assume la tecnologia di prodotto, gli input unitari dell’industria j sono costituiti dalle medie ponderate (con i pesi della matrice C) degli input di ogni prodotto, da essa realizzato. IT, se si assume la tecnologia di industria gli input unitari nel prodotto i sono la media ponderata (con i pesi della matrice D) degli input dei prodotti delle industrie che lo producono. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Le tavole industria per industria Nelle tavole industria per industria la domanda per beni e servizi intermedi dell’industria j si rivolge ai panieri di prodotti dell’industria i: anche in questo caso si possono assumere le due tecnologie. La matrice dei coefficienti di fabbisogno diretto di input intermedi simmetrica da industria a industria (da branca a branca di attività economica) è indicata con A: PA, se calcolata con la tecnologia di prodotto IA, se calcolata con la tecnologia di industria Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Calcolo delle matrici A Se si assume la tecnologia di prodotto l’input del prodotto i nell’industria j è dato dall’input di ogni industria nell’industria j, ponderato con il pesi della matrice C del mix produttivo; si ha B=CPA da cui PA=C-1B (sempre con C quadrata). Se si assume la tecnologia di industria, l’input dell’industria i nell’industria j è dato dall’input di ogni prodotto nell’industria j, ponderato per la quota di produzione di i nella produzione di ogni prodotto (come da matrice D); si ha IA = DB Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

La tecnologia mista Nella realtà alcuni prodotti seguono la tecnologia di industria (ad esempio i sottoprodotti) altri quella di prodotto. Per seguire questa più realistica ipotesi di tecnologia mista si devono realizzare due diverse tavole dell’offerta quella dei prodotti realizzati con la prima tecnologia e quella dei prodotti realizzati con la seconda per cui si avrà: M=IM+PM Di conseguenza tutti i coefficienti dovranno essere calcolati separatamente secondo le due tecnologie poi sommati. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Coefficienti per la tavola simmetrica Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Tavole simmetriche e modello I/O Con le tavole simmetriche è possibile sviluppare il modello delle interdipendenze industriale e calcolare significativi moltiplicatori dell’indotto. Mostriamo solo i principali sviluppi del modello. Tra tutte le possibili versioni della simmetrica adottiamo una simmetrica prodotto per prodotto ottenuta con l’ipotesi della tecnologia di prodotto. Quanto sarà mostrato è possibile applicarlo alle tutte le simmetriche, per prodotto o industria, con qualsiasi ipotesi costruite. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Una tavola simmetrica semplificata Tavola 9.4 Versione semplificata di tavola delle interdipendenze simmetrica (prodotto per prodotto, tecnologia industria)   Prodotti Resto del mondo Spesa per consumi finali Investimenti lordi Totale X=PTg^ Fe=Ex Fc=Cf Fi =I q Componenti del valore aggiunto y=Yg^ – Produzione per prodotto g=pq im r'=tq' r‘u=u'tq Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

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Articolazioni della TIO simmetrica prodotto per prodotto Le due versioni prodotto per prodotto e industria per industria sono sostanzialmente analoghe salvo la differenza dell’articolazione dei beni utilizzati dei loro produttori La tavola prodotto per prodotto segue il modello I/O classico di omogeneità merceologica dei produttori. Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse. I consumi intermedi sono presentati per gruppo merceologico o branca di produzione omogenea di origine (colonne) per gruppo merceologico o branca omogenea di destinazione (righe): da chi a chi. Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per prodotti utilizzati (branca di produzione omogenea fornitrice). Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o esterna all’economia. La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna i prodotti realizzati e in riga i fattori e le risorse (prodotte e importate) utilizzate per costruirli. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output

Articolazioni della TIO simmetrica industria per industria Le versione industria per industria (industria = branca di attività economica) privilegia le unità produttive locali più facili da rilevare e calcolare. Consente tuttavia di calcolare il modello I/O. Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse. I consumi intermedi sono presentati per branca di attività economica produttrice (colonne) per corrispondente paniere di beni utilizzati dalle branche di destinazione (righe): da chi a chi. Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per paniere di prodotti utilizzati (branca di attività economica fornitrice). Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o esterna all’economia. La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna le branche di attività economica utilizzatrici e in riga i fattori e i diversi panieri delle risorse prodotte ed importate. Jacopo Di Cocco Tavole Input-Output