L20 Razionalità parziale Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali

Il Problema di progetto

Perché l’ACB non funziona Gli indicatori non sono esprimibili nella stessa unità di misura (difficilmente monetizzabili) Es.: come monetizzare la vita umana? Esistono diversi indicatori (punti di vista) Es. zambesi: ogni decisore è interessato al suo beneficio Gli indicatori sono conflittuali Es. zambesi ogni stato ha più portatori il massimo beneficio globale non dice come è distribuito il beneficio individuale

Analisi a molti attributi Spesso gli obiettivi sono numerosi e incommensurabili. Esempio Risanamento di un lago inquinato n alternative di intervento q obiettivi J2 J1 min [costo] J1 min [impopolarità] J2 min [tempo] J3 min [rischio] J4 Quale scegliere?

Analisi a molti obiettivi Esempio: Gestione delle acque di un lago regolato: infinite alternative (politiche) q obiettivi H J2 J1 min [piene sul lago] J1 min [piene a valle] J2 min [deficit agricoli] J3 min [deficit idroelettrici] J4 min [ostacoli navigazione] J5 min [rischio igienico] J6 min [zanzare] J7 Vale la pena spostarsi da H ?

Il Piano del Sinai Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata, e accrescere l’occupazione, presidiando al contempo la regione. Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1,...,7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione Ri colturale e la tecnica irrigua Ih (h=1,2,3) appropriate. Criterio di valutazione: beneficio netto a regime economico popolamento della regione socio-politico

Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con l’ABC (richiesta inizialmente dal Ministero). Oltre all’obiettivo economico ... va considerato anche quello socio-politico Area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih. Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone.

Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli

Il Problema di progetto a MO

Efficienza = Pareto ottimalità J1 J2 A C e’ preferibile ad A perche’ migliore rispetto a entrambi gli obiettivi C B A e’dominato da C J2 J1 A B C A e B sono semidominati da C

Efficienza = Pareto ottimalità soluzione efficiente soluzione non dominata da altre soluzioni l’insieme di queste soluzioni è detto: J2 J1 J2 J1 frontiera di Pareto

Formalmente spazio delle alternative spazio degli obiettivi J2 J1 frontiera di Pareto Z Non e’ una relazione biunivoca!!

Soluzione di un problema a MO Spesso si suddivide la ricerca in 2 fasi: 1) determinazione della Frontiera; (metodo dei pesi, dei vincoli, del punto di riferimento) L’idea guida è di ricondurre il problema MO a un insieme di problemi a un solo obiettivo. 2) Scelta del miglior compromesso da parte dei DM (o Portatori). Quando il DM è unico si possono “suggerirgli” dei metodi per scegliere: massima curvatura, utopia, funzione utilità globale. Come determinare la soluzione finale di un problema a molti obiettivi?? Esistono anche tecniche che non suddividono la ricerca in due fasi grazie alla partecipazione interattiva con il DM. (ad es. Pareto Race)

Metodi per la determinazione della frontiera Metodo lessicografico

Metodo lessicografico Gli obiettivi Ji possono avere diverse priorità. Esempio: Legge Galli => stabilisce che l’uso dell’acqua per consumo umano è prioritario rispetto agli altri usi. Si deve tenerne conto nell’impostazione del problema di controllo. Si avrà un ordinamento degli obiettivi: obiettivo primario, secondario …..

Metodo lessicografico Supponiamo di avere due obiettivi J1 e J2 così ordinati: primario J2, secondario J1 1° problema J 2 minimo z 2 z 1 J 2 J 1 Z J1e J 2 minimi 2° problema sottoinsieme Z 2 dove J 2 è minimo

Metodo lessicografico Se l’ordine è invece: primario J1, secondario J2 estremi della 1° problema Frontiera di Pareto z 2 z 1 J 2 J 1 Z J1e J 2 minimi 2° problema J 1 minimo sottoinsieme Z 1 dove J 1 è minimo

Metodi per la determinazione della frontiera Metodo lessicografico Metodo dei pesi

modifico il valore dei pesi Metodo dei pesi J1 J2 q-1 gradi di libertà punto paretiano modifico il valore dei pesi Al variare di {λi} si generano i punti della frontiera.

Pregi e difetti Pregio : si ottiene sempre un punto Paretiano Difetto : non sempre si ottengono tutti i punti Ciò accade quando la frontiera di Pareto non è convessa. J2 J1 Punti non ottenibili Il metodo assomiglia all’Analisi Costi –Benefici. I pesi corrispondono ai prezzi ombra.

Metodi per la determinazione della frontiera Metodo lessicografico Metodo dei pesi Metodo dei vincoli

Metodo dei vincoli P q-1 gradi di libertà L2 L2 J1 J2 “presunto” punto paretiano P modifico il valore della soglia L2 Al variare delle soglie {Li} si generano i “presunti” punti paretiani.

Pregi e difetti J1 Pregio: trova punti in zone concave della frontiera Difetto: non tutti i punti generati appartengono alla frontiera di Pareto J2 J1 P Se si usa un vincolo di uguaglianza si possono ottenere punti dominati J2 J1 P J2 =L2 P può essere semi-efficiente!

Metodi per la determinazione della frontiera Metodo lessicografico Metodo dei pesi Metodo dei vincoli Metodo del punto di riferimento

Metodo del punto di riferimento Il DM sceglie un punto R nel piano. J1 J2 S S Preso un punto P qualsiasi nel piano (J1,J2), definiamo una misura S: S P R S Le linee di livello di S sono delle spezzate con vertice lungo la retta inclinata a 45° passante per R.

Metodo del punto di riferimento J1 J2 Il DM fornisce R. P L’algoritmo cerca il punto della frontiera di Pareto “più vicino” secondo la metrica S(Ji(z),R). R’ R Modificando R si può esplorare la frontiera di Pareto.

Pregi e difetti Pregio: se la trasformazione dell’insieme Z nello spazio degli obiettivi è un insieme non convesso, posso ottenere punti che non giacciono sulla retta passante per R e inclinata di 45°; N.B.: R può appartenere all’insieme degli obiettivi realizzabili. Infatti S(J,R) non è una distanza e può quindi assumere valori negativi. J1 J2 R R

Scelta del miglior compromesso La scelta di un punto sulla frontiera di Pareto non è una decisione tecnica, ma politica. Deve essere dunque fatta dal DM o dai decisori. L’analista deve solo assistere (supportare) il DM nella sua scelta o gestire gli aspetti tecnici della negoziazione tra i decisori. I metodi suggeriti nelle prossime diapositive devono essere visti come esempi di supporto al DM. La Pareto race può essere utilizzata anche nel caso di molti decisori. Si veda il Progetto Verbano.

Scelta del migliore compromesso criterio della max curvatura J2 J1 In C la curvatura è max: non conviene spostarsi da lì per cercare una soluzione migliore. C Per migliorare di poco un obiettivo si peggiorerebbe di molto l’altro.

Scelta del migliore compromesso criteri dell’utopia L’utopia U rappresenta i minimi assoluti (e indipendenti) degli obiettivi (per questo non è quasi mai realizzabile). Minima distanza Partendo da un punto H storico U H U J2 J1 J2 J1 C C

Scelta del migliore compromesso curve di indifferenza La scelta del miglior compromesso dovrebbe rispecchiare i meccanismi di preferenza del DM. J2 J1 Si utilizzano tecniche basate sui test o sulle interviste per ottenere le curve di indifferenza. C Luogo dei punti equivalenti per il DM: linee di livello della funzione utilità globale. Il punto di compromesso è il punto C in cui una curva di indifferenza è tangente alla frontiera di Pareto.

Scelta del migliore compromesso Pareto race Dato un punto R1 proposto dal DM, si determina un punto paretiano. In base al risultato il DM propone uno spostamento; tenendo conto di questa indicazione si individua un punto R2 e quindi un nuovo punto paretiano. J1 J2 R2 R1 Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto e di assumere la decisione.

Scelta del migliore compromesso Pareto race Il decisore non e’ soddisfatto: vuole un valore di J2 molto più basso. E’ ancora insoddisfatto: vuole un valore di J1 più basso. Calcolo Punto di vista DM P1 5 10 15 20 25 30 35 40 J2 R1 P3 P2 R3 R2 J1 J1 J2 32 8 R1 28 25 35 20 15 40 Si itera permettendo così al DM di esplorare la frontiera di Pareto e di assumere la decisione.

Dalla teoria alla pratica Se il Problema è di Pianificazione pura, la scelta dell’uno o dell’altro dei tre metodi visti è a discrezione dell’Analista: con tutti è possibile risolvere il Problema mono-obiettivo risultante. Se invece il Problema è di Controllo, la soluzione del Problema mono-obiettivo è “facile” solo se l’obiettivo aggregato è separabile. Ciò richiede una scelta oculata del metodo, ma esploreremo quest’aspetti nel corso specialistico. Qui ci limitiamo a considerare solo il Problema di Pianificazione Puro.

Problema di Pianificazione puro La scelta del metodo dipende dalla particolare forma del Problema considerato. Lo mostreremo analizzando il Piano del Sinai.

Il Piano del Sinai Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto, aumentando la superficie coltivata, e accrescere l’occupazione, presidiando al contempo la regione. Proposte di progetto: bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Zj (j=1,...,7) sfruttando l’acqua dei 4 canali Ss (s=1,...,4) e scegliendo la rotazione Ri colturale e la tecnica irrigua Ih (h=1,2,3) appropriate. Criterio di valutazione: beneficio netto a regime economico popolamento della regione socio-politico

Il Piano del Sinai: Fase2- definizione degli indicatori Il Progetto comprende 2 obiettivi e non può più essere formulato con l’ABC (richiesta inizialmente dal Ministero). Oltre all’obiettivo economico ... va considerato anche quello socio-politico Area [feddan] da destinare alla rotazione Ri nella zona Zj con la tecnica irrigua Ih. Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone.

Il Piano del Sinai: Fase 4 – Progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli La presenza del minimo crea qualche difficoltà: riformulare l’indicatore

Il Piano del Sinai: Fase 4- Progetto delle alternative L’obiettivo socio-politico Massimizzare la più piccola frazione di area bonificata tra tutte le zone. può essere così riformulato: Si massimizzi h, essendo h il minimo rapporto, tra tutte le zone, tra l’area bonificata e la massima area bonificabile (Aj) in ciascuna di esse..

Il Piano del Sinai: Fase4 – Progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli

Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare 55 variabili di decisione 80 vincoli Conviene risolverlo con il metodo dei vincoli: si fissa un valore per h e si risolve il problema mono-obiettivo che ne consegue. + 7

Il Piano del Sinai: la frontiera di Pareto

Il Piano del Sinai: Analisi di sensitività rispetto al costo opportunità Os dell’acqua della sorgente s

Il Piano del Sinai: Analisi di Sensitività rispetto alle perdite dei canali (conviene impermeabilizzarli?)

Discretizzazione delle alternative Per determinare la frontiera di Pareto la soluzione del problema andrebbe effettuata per tutti i possibili valori del parametro (ad esempio l). In pratica è impossibile e si deve risolverlo solo per alcuni valori. Come sceglierli? Una griglia uniforme in l raramente produce una griglia uniforme sulla frontiera.

Discretizzazione delle alternative SPAZIO DEI PESI SPAZIO DEGLI OBIETTIVI Alternativa estrema: conta solo J1 l2 l1 J2 J1 l1= 0 Alternative di compromesso tra J1 e J2 l2= 0 Alternativa estrema: conta solo J2

Leggere MODSS Cap. 17

Il canale del Sudd SUDAN EGITTO Nilo Bianco Nilo Azzurro Khartoum Lago Nasser Nilo Azzurro Khartoum