Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa Lecture 1 May 19, 2003 Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni D’Orio E-mail: giovanni.dorio@unical.it Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa Introduzione ai giochi Rappresentazione in forma Normale (o strategica) Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Equilibrio di Nash Ripasso delle funzioni concave, ottimizzazione Applicazione dell’equilibrio di Nash Equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Agenda Che cosa è la teoria dei giochi Esempi Dilemma del prigioniero La battaglia dei sessi Matching pennies Giochi statici ad informazione completa (o a mosse simultanee) Rappresentazione in forma Normale o strategica Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Che cosa è la teoria dei giochi? Noi ci concentreremo su giochi dove: Ci sono almeno due giocatori razionali Ogni giocatore ha più di una scelta Il risultato finale dipende dalle strategie scelte da tutti i giocatori; c’è interazione strategica. Esempio: Sei persone vanno ad un ristorante. Ogni persona paga il proprio pasto – un problema semplice di decisione Prima del pranzo, ogni persona è d'accordo a dividere il conto fra tutti i partecipanti – un gioco Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Che cosa è la teoria dei giochi? La Teoria dei Giochi è un modo formale di analizzare l’interazione strategica tra un gruppo di giocatori (o agenti) razionali che si comportano strategicamente La teoria dei giochi ha applicazioni Economiche Politiche etc. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio Classico: Il Dilemma del prigioniero Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un crimine rilevante. Non ci sono però prove sufficienti. Ad entrambi I sospetti viene comunicata la seguente regola: Se nessuno confessa allora entrambi saranno accusati di un crimine minore e condannati ad un mese di carcere. Se entrambi confessano allora entrambi saranno condannati a sei mesi di carcere. Se uno confessa ma l’altro nega, allora chi confessa sarà rilasciato ma l’altro sconterà nove mesi di carcere. Prigioniero 1 Prigioniero 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: La battaglia dei sessi In posti separati, Chris e Pat devono scegliere di passare la serata all’opera o a un combattimento di boxe. Sia Chris che Pat sanno quanto segue: Entrambi vorrebbero passare la serata insieme. Ma Chris preferisce l’opera. Pat preferisce la boxe. Chris Pat Boxe Opera 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Matching pennies Ognuno dei due giocatori ha una monetina. I due giocatori devono scegliere simultaneamente se mostrare Testa o Croce. Entrambi i giocatori conoscono le seguenti regole: Se le due monetine hanno entrambi lo stesso esito (entrambe testa or entrambe croce) allora il giocatore 2 vince la moneta del giocatore 1. In caso diverso, il giocatore 1 vince la moneta del giocatore 2. Giocatore 1 Giocatore 2 Croce Testa -1 , 1 1 , -1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa Un gioco statico consiste di: Un insieme di giocatori (almeno 2) Per ogni giocatore, un insieme di strategie/azioni Payoffs ottenuti da ogni giocatore data la combinazione delle strategie, o preferenze per ogni giocatore sulle combinazioni delle strategie {Giocat. 1, Giocat. 2, ... Giocat. n} S1 S2 ... Sn ui(s1, s2, ...sn), per ogni s1S1, s2S2, ... snSn. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa Ogni giocatore sceglie la propria strategia senza conoscere la scelta degli altri. Informazione completa Ogni strategia possibile di ogni giocatore e la funzione dei payoff sono conoscenza comune fra tutti I giocatori. Assunzioni sui giocatori Razionalità I giocatori vogliono massimizzare il proprio payoffs I giocatori sono dei calcolatori perfetti (no errori) Ogni giocatore sa che gli altri giocatori sono razionali Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa I giocatori cooperano? No. Questi sono giochi non cooperativi Il timing (la sequenza degli eventi) Ogni giocatore i sceglie la propria strategia si senza conoscere la scelta altrui. Solo adesso ogni giocatore i riceve il proprio payoff ui(s1, s2, ..., sn). Il gioco finisce Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: Rappresentazione in forma normale o strategica La rappresentazione in forma normale (o strategica) di un gioco G specifica: Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n}, Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e Le funzioni di pay-off u1 u2 ... un dove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Rappresentazione in forma normale: gioco a 2 giocatori Rappresentazione Bi-matriciale 2 giocatori: Player 1 e Player 2 Ogni giocatore ha un numero finito di strategie Esempio: S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} Player 2 s21 s22 Player 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio Classico: Rappresentazione “normale” del Dilemma del Prig. Insieme di giocatori: {Prigioniero 1, Prigioniero 2} Insieme delle strategie: S1 = S2 = {Nega, Confessa} Funzioni di Payoff : u1(N, N)=-1, u1(N, C)=-9, u1(C, N)=0, u1(C, C)=-6; u2(N, N)=-1, u2(N, C)=0, u2(C, N)=-9, u2(C, C)=-6 Giocat. Prig. 1 Prig. 2 Strateg. Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: La battaglia dei sessi Chris Pat Boxe Opera 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Rappresentazione in forma Normale: Insieme giocatori:{ Chris, Pat } (={Player 1, Player 2}) Insieme strategie: S1 = S2 = { Opera, Boxe} Funzioni di Payoff : u1(O, O)=2, u1(O, B)=0, u1(B, O)=0, u1(B, B)=1; u2(O, O)=1, u2(O, B)=0, u2(B, O)=0, u2(B, B)=2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Matching pennies Player 1 Player 2 Croce Testa -1 , 1 1 , -1 Rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: {Player 1, Player 2} Insieme strategie: S1 = S2 = { Testa, Croce } Funzioni di Payoff : u1(T, T)=-1, u1(T, C)=1, u1(C, T)=1, u1(C, C)=-1; u2(T, T)=1, u2(T, C)=-1, u2(C, T)=-1, u2(C, C)=1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Turisti e Nativi Solo due bars (bar 1, bar 2) in città Si può applicare un prezzo di $2, $4, o $5 6000 turisti scelgono un bar casualmente 4000 nativi scelgono il bar con il prezzo minore Esempio 1: Entrambi fissano $2 Ognuno guadagna 5,000 clienti e $10,000 Esempio 2: Il Bar 1 fissa $4, Il Bar 2 fissa $5 Bar 1 prende 3000+4000=7,000 clienti e $28,000 Bar 2 prende 3000 clienti e $15,000 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Il modello di duopolio di Cournot Un prodotto è prodotto solo da 2 imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono rispettivamente q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la quantità senza conoscere la quantità scelta dall’altra.. Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove Q=q1+q2. Il costo dell’impresa i di produrre qi è Ci(qi)=cqi. Rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Firm 1, Firm 2} Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzione di Payoff : u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c), u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Ancora un esempio Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xi il numero selezionato dal giocatore i. Sia y la media di questi numeri Il payoff del giocatore i sia = xi – 3y/5 La rappresentazione in forma normale: Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Risolvere il Dilemma del Prigioniero Confessare dà sempre un risultato migliore indipendentemente dalla scelta dell’altro Strategia dominata Esiste un’altra strategia che dà sempre risultati migliori indipendentemente dalla scelta degli altri. Giocatori Prigion. 1 Prisoner 2 Strategie Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: strategie strettamente dominate si” è strettamente meglio di si’ Indipend. Scelta altrui Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Riassunto Giochi statici ad informazione completa Rappresentazione normale o strategica Prossimo argomento Strategie dominate Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate Equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Ripasso veloce La forma normale di un gioco G specifica: Un insieme finito di giocatori {1, 2, ..., n}, Lo spazio delle strategie dei giocatori S1 S2 ... Sn e Le loro funzioni di payoff u1 u2 ... un dove ui : S1 × S2 × ...× Sn→R. Tutte le combinazioni delle strategie. Una combinazione di strategie è un insieme di strategie, una per ogni giocatore Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: strategie strettamente dominate si” è strettamente meglio di si’ Indipend. Scelta altrui Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Esempio Due imprese, Reynolds e Philip, si dividono il mkt. Ogni impresa guadagna $60 milioni dalla propria clientela se nessuna fa pubblicità (Ad) La pubblicità costa all’impresa $20 milioni La pubblicità attrae $30 milioni di fatturato dell’altro concorrente Philip No Ad Ad Reynolds 60 , 60 30 , 70 70 , 30 40 , 40 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Gioco a 2 con strategie finite S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} s11 è strettamente dominata da s12 se u1(s11,s21)<u1(s12,s21) e u1(s11,s22)<u1(s12,s22). s21 è strettamente dominata da s22 se u2(s1i,s21) < u2(s1i,s22), per i = 1, 2, 3 Player 2 s21 s22 Player 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: strategie debolmente dominate si” è almeno tanto buono quanto si’ Qualsiasi sia la scelta altrui Player 1 Player 2 R U B L 1 , 1 2 , 0 0 , 2 2 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Strategie dominate in modo stretto o in modo debole Un giocatore razionale non sceglie mai strategie strettamente dominate. Quindi ogni strategia strettamente dominata può essere eliminata. Un giocatore razionale può scegliere una strategia debolmente dominata. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate Se una strategia è strettamente dominata, eliminatela La dimensione e complessità del gioco risulterà ridotta Eliminate ogni strategia strettamente dominata dal gioco ridotto Continuate le eliminazioni finchè non ci saranno più strategie strettam. dominate Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate: un esempio Player 2 Sinistra Centro Destra Su 1 , 0 1 , 2 0 , 1 0 , 3 2 , 0 Player 1 Giù Player 1 Player 2 Centro Su Giù Sinistra 1 , 0 1 , 2 0 , 3 0 , 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Turisti e Nativi Solo due bar (bar 1, bar 2) in una città Si possono fissare prezzi di $2, $4, o $5 6000 turisti scelgono un bar casualmente 4000 nativi selezionano il bar con il prezzo inferiore Esempio 1: Entrambi fissano $2 Ognuno attrae 5,000 clienti e $10,000 Esempio 2: Bar 1 fissa $4, Bar 2 fissa $5 Bar 1 attrae 3000+4000=7,000 clienti e $28,000 Bar 2 attrae 3000 clienti e $15,000 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 Payoffs sono in migliaia di dollari Bar 2 $4 $5 Bar 1 20 , 20 28 , 15 15 , 28 25 , 25 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Ancora un esempio Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia xi il numero selezionato dal giocatore i. Sia y la media di questi numeri Il payoff del giocatore I sarà = xi – 3y/5 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Un esempio ulteriore La rappresentazione in forma normale: Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n} Strategie: Si =[0, 100], per i = 1, 2, ..., n. Funzione di payoff: ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5 Ci sono strategie dominate? Quali numeri dovrebbero essere selezionati? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash Giocat. 2 L C R Giocat. 1 T 0 , 4 4 , 0 5 , 3 M B 3 , 5 6 , 6 La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente proprietà: Il Giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B, dato il fatto che giocatore 2 sceglie R. Il Giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Un nuovo concetto di soluzione: l’equilibrio di Nash Giocat. 2 L’ C’ R’ Giocat. 1 T’ 0 , 4 4 , 0 3 , 3 M’ B’ 3.5 , 3.6 La combinazione di strategie (B’, R’) ha la seguente proprietà: Il giocatore 1 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da B’, dato il fatto che il giocatore 2 sceglie R’. Il giocatore 2 NON PUO’ fare meglio scegliendo una strategia diversa da R’, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B’. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Equilibrio di Nash : l’idea L’equilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore risposta possibile nel momento in cui gli altri giocatori stanno giocando le loro strategie di equilibrio. BR to BR= Best response to a best response Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: L’equilibrio di Nash Data la scelta altrui, il giocat. i non può migliorare se devia da si* Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Gioco a 2 giocatori con strategie finite S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} (s11, s21)è un equilibrio di Nash se u1(s11,s21)  u1(s12,s21), u1(s11,s21)  u1(s13,s21) e u2(s11,s21)  u2(s11,s22). Giocatore 2 s21 s22 Gioc. 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Ricerca dell’equilibrio di Nash: ispezione cella a cella Player 2 Left Middle Right Up 1 , 0 1 , 2 0 , 1 0 , 3 2 , 0 Player 1 Down Player 1 Player 2 Middle Up Down Left 1 , 0 1 , 2 0 , 3 0 , 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Riassunto Strategie dominate Eliminazione iterata Equilibrio di Nash Prossimo argomento Funzione di risposta ottima Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Equilibrio di Nash : idea Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la sua migliore possibile considerato che tutti gli altri giocatori stanno giocando la loro migliore strategia o Una situazione stabile nella quale nessun giocatore vuole deviare se gli altri confermano la propria posizione Prig. 2 Nega Confessa Prig. 1 -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 (Confessa, Confessa) è un equilibro di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 Payoffs sono in migliaia di dollari Bar 2 $4 $5 Bar 1 20 , 20 28 , 15 15 , 28 25 , 25 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Ancora quell’esempio Rappresentazione in forma normale: Giocatori: {player 1, player 2, ..., player n} Strategie: Si =[0, 100], for i = 1, 2, ..., n. Funzioni di Payoff : ui(x1, x2, ..., xn) = xi – 3y/5 Quale è l’equilibrio di Nash? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Funzione di risposta ottima: esempio Player 2 L’ C’ R’ Player 1 T’ 0 , 4 4 , 0 3 , 3 M’ B’ 3.5 , 3.6 Se Player 2 sceglie L’ allora la strategia ottima di Player 1 è M’ Se Player 2 sceglie C’ allora la strategia ottima di Player 1 è T’ Se Player 2 sceglie R’ allora la strategia ottima di Player 1 è B’ Se Player 1 sceglie B’ allora la strategia ottima di Player 2’ è R’ Risposta ottima: la migliore strategia giocabile da un giocatore, data la strategia scelta da altri giocatori Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 Payoffs in migliaia di dollari Quale è la risposta ottima del Bar 1 alle strategie di Bar 2 pari a $2, $4 o $5? Quale è la risposta ottima del Bar 2 alle strategie di Bar 1 pari a $2, $4 or $5? Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Gioco a 2 giocatori con strategie finite S1={s11, s12, s13} S2={s21, s22} La strategia di Player 1 s11 è la migliore risposta alla strategia di Player 2 s21 se u1(s11,s21)  u1(s12,s21) e u1(s11,s21)  u1(s13,s21). Player 2 s21 s22 Player 1 s11 u1(s11,s21), u2(s11,s21) u1(s11,s22), u2(s11,s22) s12 u1(s12,s21), u2(s12,s21) u1(s12,s22), u2(s12,s22) s13 u1(s13,s21), u2(s13,s21) u1(s13,s22), u2(s13,s22) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash In un gioco a due giocatori, ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia di player 1’ s1 è la migliore risposta alla strategia di player 2 s2, e la strategia di player 2 s2 è la migliore risposta alla strategia di player 1 s1. Prisoner 1 Prisoner 2 Confess Mum -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash : esempio Player 2 L’ C’ R’ Player 1 T’ 0 , 4 4 , 0 3 , 3 M’ B’ 3.5 , 3.6 M’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia L’ di Player 2 T’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia C’ di Player 2 B’ è la risposta ottima di Player 1 alla strategia R’ di Player 2 L’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia T’ di Player 1 C’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia M’ di Player 1 R’ è la risposta ottima di Player 2 alla strategia B’ di Player 1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2 $4 $5 Bar 1 10 , 10 14 , 12 14 , 15 12 , 14 20 , 20 28 , 15 15 , 14 15 , 28 25 , 25 I Payoffs sono in migliaia di dollari Usate la funzione di rsposta ottima per trovare l’equilibrio di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: La battaglia dei sessi Chris Pat Prize Fight Opera 2 , 1 0 , 0 1 , 2 Opera è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Opera Opera è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Opera Quindi, (Opera, Opera) è un Equilibrio di Nash Fight è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Fight Fight è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Fight Quindi, (Fight, Fight) è un Equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Esempio: Matching pennies Player 1 Player 2 Tail Head -1 , 1 1 , -1 Head è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Tail Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Tail Tail è la risposta ottima di Player alla strategia di Player 2 Head Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Head Quindi, NON c’è equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: funzione di risposta ottima Date le strategie degli altri La risposta ottima di Player i Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Definizione: funzione di risposta ottima La risposta ottima di Player 1 alle strategie altrui è una soluzione d’ottimo di Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per la definizione degli equilibri di Nash Insieme di strategie, una per giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore è per lui la migliore, assunto che gli altri stanno giocando le loro strategie ottime, o Una situazione stabile che nessun giocatore vuole cambiare se gli altri non cambiano Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Riassunto Equilibrio di Nash Funzione di risposta ottima Utilizzo della funzione di risposta ottima per la definizione dell’equilibrio di Nash Utilizzo della funzione di risposta ottima per la determinazione dell’equilibrio di Nash Prossimo argomento Funzioni concave e ottimizzazione Applicazioni Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Riassunto In un gioco a n-giocatori in forma normale, se l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate elimina tutte le strategie tranne ( s1*, s2*, ..., sn*), allora (s1*, s2*, ..., sn*) è l’unico equilibrio di Nash. In un gioco a n-giocatori in forma normale, se le strategie ( s1*, s2*, ..., sn*) è un equilibrio di Nash allora esse sopravvivono all’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate. Male strategie che superano l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate non necessariamente sono equilibri di Nash. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Un prodotto è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate rispettivamente da q1 e q2,. Ogni impresa sceglie la propria quantità senza conoscere la scelta dell’altra. Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2. Il costo dell’impresa i per produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot La rappresentazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzioni di payoff: u1(q1, q2)=q1(a-(q1+q2)-c) u2(q1, q2)=q2(a-(q1+q2)-c) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare l’equilibrio di Nash: Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2* dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1* dell’impresa 1 Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) soggetto a 0  q1  +∞ e q2* risolve Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) soggetto a 0  q2  +∞ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Funzioni concave x f(x) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Funzioni convesse x f(x) Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Concavità e convessità Lecture 1 May 19, 2003 Concavità e convessità Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Concavità e convessità Lecture 1 May 19, 2003 Concavità e convessità Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Massimi e minimi x f(x) x* x’ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Massimo e minimo x f(x) f(x) x’ x* x Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Trovare il massimo di una funzione concava Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Massimo e minimo f(x) x1 x* x’ x2 x Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli Lecture 1 May 19, 2003 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli f(x)=-3x2+6x-4 x Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Utilizzo della funzione di risposta ottima per la ricerca dell’equilibrio di Nash In un gioco a due gioc., ( s1, s2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia s1 del gioc.1 è la rsipsota ottima alla strategia s2 del gioc. 2, e se la strategia s2 del giocatore 2 è la risposta ottima alla strategia s1 del giocatore 1 Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare l’equilibrio di Nash: Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2* dell’impresa 2 e q2* sia la risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1* dell’impresa 1 Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) soggetto a 0  q1  +∞ e q2* risolve Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) soggetto a 0  q2  +∞ Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvete Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) s. a 0  q1  +∞ FOC: a - 2q1 - q2*- c = 0 q1 = (a - q2*- c)/2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvete Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) s. a 0  q2  +∞ FOC: a - 2q2 – q1* – c = 0 q2 = (a – q1* – c)/2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dell’equilibrio di Nash La coppia (q1*, q2*) è un equilibrio di Nash se q1* = (a – q2* – c)/2 q2* = (a – q1* – c)/2 Risolvere queste due equazioni ci dà: q1* = q2* = (a – c)/3 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Funzione di risposta ottima La funzione di risposta ottima dell’impresa 1 alla quantità q2 dell’impresa 2 R1(q2) = (a – q2 – c)/2 if q2 < a– c; 0 negli altri casi, e La funzione di risposta ottima dell’impresa 2 alla quantità q1 dell’impresa 1 R2(q1) = (a – q1 – c)/2 if q1 < a– c; 0 negli altri casi q2 Equilibrio di Nash a – c (a – c)/2 (a – c)/2 a – c q1 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot a n imprese Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot a n imprese Un prodotto è realizzato da n imprese: dall’impresa 1 all’impresa n. La quantità dell’impresa i sia qi.Ogni impresa effettua la propria scelta senza sapere ciò che fanno le altre. Il prezzo di mkt. è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q1+q2+...+qn. Il costo dell’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot La rappresentazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { Impresa 1, ... Impresa n} Insieme delle strategie: Si=[0, +∞), per i=1, 2, ..., n Funzioni di payoff: ui(q1 ,..., qn)=qi(a-(q1+q2 +...+qn)-c) for i=1, 2, ..., n Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Il modello del duopolio di Cournot Lecture 1 May 19, 2003 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare l’equilibrio di Nash Trovate le quantità (q1*, ... qn*) tali che qi* e la risposta ottima dell’impresa i alle quantità delle altre imprese. Ciò significa che q1* risolve Max u1(q1, q2*, ..., qn*)=q1(a-(q1+q2* +...+qn*)-c) s. a 0  q1  +∞ e q2* risolve Max u2(q1*, q2 , q3*, ..., qn*)=q2(a-(q1*+q2+q3*+ ...+ qn*)-c) s. a 0  q2  +∞ ....... Teoria dei giochi - D'Orio - I parte

Teoria dei giochi - D'Orio - I parte Lecture 1 May 19, 2003 Riassunto Equilibrio di Nash Funzioni concave e massimizzazione Il modello del duopolio e dell’oligopolio di Cournot Prossimo argomento Il modello del duopolio di Bertrand Teoria dei giochi - D'Orio - I parte