Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto senza saper ciò che ha fatto l’altra. I prezzi sono indicati rispettivamente con p1 e p2,. La quantità che i consumatori domandano all’impr. 1: q1(p1, p2) = a – p1 + bp2. La quantità che i consumatori domandano all’impr. 2: q2(p1, p2) = a – p2 + bp1. Il costo per l’impresa i di produrre la quantità qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzioni di payoff: u1(p1, p2)=(a – p1 + bp2 )(p1 – c) u2(p1, p2)=(a – p2 + bp1 )(p2 – c) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash: Trovare la coppia di prezzi (p1*, p2*) tale che p1* è la risposta ottima dell’impresa 1 al prezzo dell’impresa 2 p2* e p2* è la risposta ottima dell’impresa 2 al prezzo dell’impresa 1 p1* Quindi , p1* risolve Max u1(p1, p2*) = (a – p1 + bp2* )(p1 – c) s. a 0  p1  +∞ e p2* risolve Max u2(p1*, p2) = (a – p2 + bp1* )(p2 – c) s. a 0  p2  +∞ Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 1 Max u1(p1, p2*) = (a – p1 + bp2* )(p1 – c) s. a 0  p1  +∞ FOC: a + c – 2p1 + bp2* = 0 p1 = (a + c + bp2*)/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvere il problema di massimizzazione dell’impresa 2 Max u2(p1*, p2)=(a – p2 + bp1* )(p2 – c) s. to 0  p2  +∞ FOC: a + c – 2p2 + bp1* = 0 p2 = (a + c + bp1*)/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dell’equilibrio di Nash La coppia di prezzi (p1*, p2*) è un equilibrio di Nash se: p1* = (a + c + bp2*)/2 p2* = (a + c + bp1*)/2 Risolvendo le due equazioni troviamo che p1* = p2* = (a + c)/(2 –b) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il proprio prezzo senza conoscere le scelte altrui. I prezzi sono denotati rispettivamente con p1 e p2. La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 1: q1(p1, p2) = a – p1 se p1 < p2 ; = (a – p1)/2 se p1 = p2 ; =0, negli altri casi. La quantità domandata dai consumatori dall’impr. 2: q2(p1, p2) = a – p2 se p2 < p1 ; = (a – p2)/2 se p1 = p2 ; =0, negli altri casi. Il costo dell’impresa i per produrre qi è Ci(qi)=cqi. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) La rappresentsazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { impresa 1, impresa 2} Insieme delle strategie: S1=[0, +∞), S2=[0, +∞) Funzioni di payoff: Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: pm =( a + c )/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p1 p2 c pm p1 p2 c pm Risposta ottima dell’impresa 1 al p2 dell’impresa 2 Risposta ottima dell’impresa 2 al p1 dell’impresa 1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p1 p2 c pm Equilibrio di Nash ( c, c ) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici Due individuo: persona 1 e persona 2. Persona 1 ha una ricchezza di w1 e persona 2 ha una ricchezza w2, Ogni persona sceglie con quanto contribuire senza sapere ciò che fa l’altra. I contributi sono denotati rispettivamente da c1 e c2. L’ammontare di bene pubblico ottenuto sarà uguale alla somma dei contributi. Il payoff di Persona 1: u1(c1, c2) = v1(c1 + c2) + w1 – c1 Il payoff di Persona 2: u2(c1, c2) = v2(c1 + c2) + w2 – c2 v1(c1 + c2) e v2(c1 + c2) sono entrambi funzioni concave Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Persona 1, Persona 2} Insieme delle strategie: S1=[0, w1], S2=[0, w2] Funzione di payoff: u1(c1, c2) = v1(c1 + c2) + w1 – c1 u2(c1, c2) = v2(c1 + c2) + w2 – c2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash Trovare la coppia di contributi (c1*, c2*) tale che c1* sia la risposta ottima di sig. 1 al contributo c2* di sig. 2 e c2* sia la risposta ottima di sig. 2 al contributo c1* di sig. 1 Quindi, c1* risolve Max u1(c1, c2*) = v1(c1 + c2*) + w1 – c1 s. a 0  c1  w1 e c2* risolve Max u2(c1*, c2) = v2(c1* + c2) + w2 – c2 s. a 0  c2  w2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvere il problema di max della persona 1 Max u1(c1, c2*) = v1(c1 + c2*) + w1 – c1 s. a 0  c1  w1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash Risolvere il problema di max della persona 2 Max u2(c1*, c2) = v2(c1* + c2) + w2 – c2 s. a 0  c2  w2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dell’equilibrio di Nash La coppia di contributi (c1*, c2*) è un equilibrio di Nash se Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Concorrere alle spese per i beni pubblici Funzione di risposta ottima Funzione risposta ottima persona 1 rispetto al contributo c2: R1(c2) = r1 – c2 se c2 < r1; =0, se c2  r1 Funzione risposta ottima persona 2 rispetto al contributo c1: R2(c1) = r2 – c1 se c1 < r2 ; =0, se c1  r2 c2 (r1, 0) è un NE r1 r2 Assumendo che r1 > r2 r2 r1 c1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Riassunto Il modello di duopolio di Bertrand I contributi ai beni pubblici Prossimo argomento L’equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni n contadini in un paesino. Ogni estate, tutti i contadini pascolano le capre nel campo comune del paesino. Sia gi il numero di capre possedute dal contadino i. Il costo d’acquisto e mantenimento di una capra è c, ed è indipendente dal numero di capre possedute. Il valore complessivo di tutti i greggi è v(G) per singolo gregge, dove G = g1 + g2 + ... + gn C’è un numero massimo di capre (greggi) che si possono pascolare nel campo. Considerato ciò si ha che, v(G)>0 se G < Gmax, e v(G)=0 se G  Gmax. Le assunzioni su v(G): v’(G) < 0 e v”(G) < 0. Ogni primavera viene deciso da tutti i contadini contemporaneamente quante capre comprare. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Contadino 1, ... Contadino n} Insieme strategie: Si=[0, Gmax), per i=1, 2,..., n Funzione di Payoff : ui(g1, ..., gn)=gi v(g1 + ...+ gn) – c gi per i = 1, 2, ..., n. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni Ricerca dell’equilibrio di Nash Trovare (g1*, g2*, ..., gn*) tale che gi* sia la risposta ottima del contadino i alla scelta degli altri. Ciò implica che g1* risolve il problema seguente: Max u1(g1, g2*, ..., gn*)= g1 v(g1 + g2* ...+ gn*) – c g1 s. a 0  g1 < Gmax e g2* risolve Max u2(g1*, g2 , g3*, ..., gn*)= g2v(g1*+g2+g3*+ ...+ gn*)–cg2 s. a 0  g2 < Gmax ……….. e gn* risolve Max un(g1*, ..., gn-1*, gn)= gnv(g1*+...+ gn-1*+ gn)–cgn s. a 0  gn < Gmax Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni FOCs: Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni Ricerca dell’equilibrio di Nash (g1*, g2*, ..., gn*) è un equilibrio di Nash se Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni Sommando tutte le FOC dei singoli n contadini e quindi dividendo per n otteniamo Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni Il problema sociale Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Il problema dei beni comuni Teoria dei giochi - D'orio - I parte

..sulle strategie debolmente dominate si” almeno tanto buono quanto si’, ma non sempre uguale. Indipendenza dalla scelta altrui Gioc. 1 Gioc. 2 R U B L 1 , 1 2 , 0 0 , 2 2 , 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Matching pennies Player 1 Player 2 Tail Head -1 , 1 1 , -1 Head è la risposta ottima di Player 1alla strategia Tail di Player 2 Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Tail di Player 1 Tail è la risposta ottima di Player 1alla strategia Head di Player 2 Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Head di Player 1 Quindi, NON c’è equilibrio di Nash Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Risolvere Matching pennies Player 2 Head Tail Player 1 -1 , 1 1 , -1 q 1-q r 1-r Rendete casuale la vostra strategia per sorprendere il rivale Player 1 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità r e 1-r. Player 2 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità q e 1-q. Strategie miste: Specificano che una mossa sia scelta casualmente dall’insieme delle strategie pure con delle probabilità specifiche. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Strategia mista La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle sue strategie (pure). Una strategia mista per Chris è una distribuzione di probabilità (p, 1-p), dove p è laprobabilità di giocare Opera, e 1-p è la probabilità di giocare Prize Fight (boxe). Se p=1 allora Chris gioca sicuramente Opera. Se p=0 allora Chris gioca sicuramente Prize Fight. Battaglia dei sessi Pat Opera Prize Fight Chris Opera (p) 2 , 1 0 , 0 Prize Fight (1-p) 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Risolvere matching pennies Player 2 Head Tail Player 1 -1 , 1 1 , -1 Payoffs attesi r 1-2q 1-r 2q-1 q 1-q I payoffs attesi dal giocatore 1 sono: Se Player 1 sceglie Head, -q+(1-q)=1-2q Se Player 1 sceglie Tail, q-(1-q)=2q-1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Risolvere matching pennies Player 2 Head Tail Player 1 -1 , 1 1 , -1 Payoffs attesi r 1-2q 1-r 2q-1 q 1-q 1 q r 1/2 La risposta ottima di Player 1 B1(q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente (0r1) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Risolvere matching pennies Player 2 Head Tail Player 1 -1 , 1 1 , -1 Payoffs attesi r 1-2q 1-r 2q-1 q 1-q Payoffs attesi 2r-1 1-2r I payoffs attesi dal giocatore 2 sono se Player 2 sceglie Head, r-(1-r)=2r-1 se Player 2 sceglie Tail, -r+(1-r)=1-2r Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Solving matching pennies Player 2 Head Tail Player 1 -1 , 1 1 , -1 1-2q 2q-1 Payoffs attesi r 1-r q 1-q Payoffs attesi 2r-1 1-2r 1 q r 1/2 Risposta ottima di Player 2 B2(r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente (0q1) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Risolvere matching pennies Player 2 Head Tail Player 1 -1 , 1 1 , -1 Risposta ottima Player 1 B1(q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente (0r1) Risposta ottima Player 2 B2(r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente (0q1) Controllo r = 0.5  B1(0.5) q = 0.5  B2(0.5) r 1-r q 1-q Equilibrio di Nash in strategie miste 1 q r 1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Riassunto Il problema dei beni comuni Strategie miste Soluzione di matching pennies Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Strategia mista Strategia mista: La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle strategie (pure) del giocatore stesso. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Strategia mista: esempio Matching pennies Player 1 ha due strategie pure: H e T ( 1(H)=0.5, 1(T)=0.5 ) è una strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.5 e 0.5. ( 1(H)=0.3, 1(T)=0.7 ) è un’altra strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.3 e 0.7. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Strategia mista: esempio Player 2 L (0) C (1/3) R (2/3) Player 1 T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3 B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7 Player 1: (3/4, 0, ¼) è una strategia mista. Ciò implica, 1(T)=3/4, 1(M)=0 e 1(B)=1/4. Player 2: (0, 1/3, 2/3) è una strategia mista. Ciò implica, 2(L)=0, 2(C)=1/3 e 2(R)=2/3. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie Player 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) Player 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 1 giocando s11 è: EU1(s11, (q, 1-q))=q×u1(s11, s21)+(1-q)×u1(s11, s22) Il payoff atteso di Player 1 giocando s12 è: EU1(s12, (q, 1-q))= q×u1(s12, s21)+(1-q)×u1(s12, s22) Quindi il payoff atteso di Player 1, data la strategia mista è : v1((r, 1-r), (q, 1-q))=rEU1(s11, (q, 1-q))+(1-r)EU1(s12, (q, 1-q)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie Player 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) Player 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 2 giocando s21 è: EU2(s21, (r, 1-r))=r×u2(s11, s21)+(1-r)×u2(s12, s21) Il payoff atteso di Player 2 giocando s22 è: EU2(s22, (r, 1-r))= r×u2(s11, s22)+(1-r)×u2(s12, s22) Quindi il payoff atteso di Player 2, data la strategia mista è : v2((r, 1-r),(q, 1-q))=qEU2(s21, (r, 1-r))+(1-q)EU2(s22, (r, 1-r)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Esempio di payoff attesi Player 2 H (0.3) T (0.7) Player 1 H (0.4) -1 , 1 1 , -1 T (0.6) Player 1: EU1(H, (0.3, 0.7)) = 0.3×(-1) + 0.7×1=0.4 EU1(T, (0.3, 0.7)) = 0.3×1 + 0.7×(-1)=-0.4 v1((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.40.4+0.6(-0.4)=-0.08 Player 2: EU2(H, (0.4, 0.6)) = 0.4×1+0.6×(-1) = -0.2 EU2(T, (0.4, 0.6)) = 0.4×(-1)+0.6×1 = 0.2 v2((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.3×(-0.2)+0.7×0.2=0.08 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Esempio di payoff attesi Player 2 L (0) C (1/3) R (2/3) Player 1 T (3/4) 0 , 2 3 , 3 1 , 1 M (0) 4 , 0 0 , 4 2 , 3 B (1/4) 3 , 4 5 , 1 0 , 7 Strategie miste: p1=( 3/4, 0, ¼ ); p2=( 0, 1/3, 2/3 ). Player 1: EU1(T, p2)=3(1/3)+1(2/3)=5/3, EU1(M, p2)=0(1/3)+2(2/3)=4/3 EU1(B, p2)=5(1/3)+0(2/3)=5/3. v1(p1, p2) = 5/3 Player 2: EU2(L, p1)=2(3/4)+4(1/4)=5/2, EU2(C, p1)=3(3/4)+3(1/4)=5/2, EU2(R, p1)=1(3/4)+7(1/4)=5/2. v1(p1, p2) = 5/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Equilibrio in strategie miste Una distribuzione di probabilità per ciascun giocatore Considerando le distribuzioni di probabilità nei payoff dei giocatori esse sono risposte ottime mutuali. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Equilibrio in strategie miste: 2-giocatori ognuno con 2 strategie pure. Player 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) Player 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) Equilibrio di Nash in strategie miste: Una coppia di strategie miste ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se (r*,1-r*) è una risposta ottima a (q*, 1-q*), e (q*, 1-q*) è una risposta ottima a (r*,1-r*). Ciò significa, v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))  v1((r, 1-r), (q*, 1-q*)), per ogni 0 r 1 v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))  v2((r*, 1-r*), (q, 1-q)), per ogni 0 q 1 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Ricerca dell’equilibrio in strategie miste di un gioco a 2 giocatori ognuno dei quali ha 2 strategie Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 1 data la strategia mista del giocatore 2 Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 2 data la strategia mista del giocatore 1 Utilizzate queste due corrispondenze per determinare l’equilibrio di Nash in strategie miste. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Controllare i dipendenti…. I dipendenti possono lavorare (W) o defilarsi (S) Salario: $100K a meno che colti senza far niente Costo dello sforzo: $50K I manager possono monitorare o no Valore del prodotto del dipendente: $200K Profitto se i dipendenti non lavorano: $0 Costo del monitoraggio: $10K Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Controllare i dipendenti… Manager Monitor ( q ) Non Monitor (1-q) Dipend. W ( r ) 50 , 90 50 , 100 S (1-r ) 0 , -10 100 , -100 Payoff attesi 50 100(1-q) Payoff attesi 100r-10 200r-100 La risposta ottima del dipendente B1(q): Defilarsi(S) (r=0) se q<0.5 Lavorare (W) (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=0.5 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Controllare i dipendenti… Manager Monitor ( q ) Non Monitor (1-q) Dipend. W ( r ) 50 , 90 50 , 100 S (1-r ) 0 , -10 100 , -100 Payoffs attesi 50 100(1-q) Payoffs attesi 100r-10 200r-100 La risposta ottima dei manager B2(r): Monitor (q=1) if r<0.9 Non Monitor (q=0) if r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=0.9 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Controllare i dipendenti… Risposta ottima dei dipendenti B1(q): S (r=0) se q<0.5 W (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=0.5 Risposta ottima dei manager B2(r): Monitor (q=1) se r<0.9 Non Monitor (q=0) se r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=0.9 Equilibrio di Nash in strategie miste ((0.9,0.1),(0.5,0.5)) 1 q r 0.5 0.9 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

2 giocatori ognuno con 2 strategie Lecture 5 May 23, 2003 2 giocatori ognuno con 2 strategie Player 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) Player 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) Teorema 1 (proprietà dell’equilibrio di Nash in strategie miste) Una coppia di strategie miste ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))  EU1(s11, (q*, 1-q*)) v1((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))  EU1(s12, (q*, 1-q*)) v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))  EU2(s21, (r*, 1-r*)) v2((r*, 1-r*), (q*, 1-q*))  EU2(s22, (r*, 1-r*)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Riassunto Strategie miste Equilibrio di Nash in strategie miste Prossimo argomento Utilizzo dell’indifferenza per la ricerca del MNE (Equilibrio di Nash in strategie Miste). Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Battaglia dei sessi Pat Opera (q) Prize Fight (1-q) Chris Opera ( r ) 2 , 1 0 , 0 Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2 Payoff atteso di Chris giocando Opera: 2q Payoff atteso di Chris giocando Prize Fight: 1-q Risposta ottima di Chris B1(q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) se q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=1/3 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Battaglia dei sessi Pat Opera (q) Prize Fight (1-q) Chris Opera ( r ) 2 , 1 0 , 0 Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2 Payoff atteso di Pat giocando Opera : r Payoff atteso di Pat giocando Prize Fight: 2(1-r) La risposta ottima di B2(r): Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=2/3, Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Battaglia dei sessi Risposta ottima di Chris B1(q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) if q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0r1) se q=1/3 Risposta ottima di Pat B2(r): Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0q1) se r=2/3 TRE equilibri di Nash: ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1)) ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) 1 q r 2/3 1/3 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teorema 1: applicazione Lecture 5 May 23, 2003 Teorema 1: applicazione Matching pennies Player 2 H (0.5) T (0.5) Player 1 -1 , 1 1 , -1 Player 1: EU1(H, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1) + 0.5×1=0 EU1(T, (0.5, 0.5)) = 0.5×1 + 0.5×(-1)=0 v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.50+0.50=0 Player 2: EU2(H, (0.5, 0.5)) = 0.5×1+0.5×(-1) =0 EU2(T, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1)+0.5×1 = 0 v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.5×0+0.5×0=0 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teorema 1: applicazione Matching pennies Player 2 H (0.5) T (0.5) Player 1 -1 , 1 1 , -1 Player 1: v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))  EU1(H, (0.5, 0.5)) v1((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))  EU1(T, (0.5, 0.5)) Player 2: v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))  EU2(H, (0.5, 0.5)) v2((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))  EU2(T, (0.5, 0.5)) Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per l’enunciato del Teorema 1. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0.5) Non Monitor (0.5) Dipend. W (0.9) 50 , 90 50 , 100 S (0.1) 0 , -10 100 , -100 Payoff atteso dei dipendenti giocando “W (lavoro)” EU1(W, (0.5, 0.5)) = 0.5×50 + 0.5×50=50 Payoff atteso dei dipendenti giocando “S (defilarsi)” EU1(S, (0.5, 0.5)) = 0.5×0 + 0.5×100=50 Payoff atteso di questa strategia mista per i dipendenti v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.950+0.150=50 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0.5) Non Monitor (0.5) Dipend. W (0.9) 50 , 90 50 , 100 S (0.1) 0 , -10 100 , -100 Payoff atteso dei manager giocando“Monitor” EU2(Monitor, (0.9, 0.1)) = 0.9×90+0.1×(-10) =80 Payoff atteso dei manager giocando“Non Monitor” EU2(Not, (0.9, 0.1)) = 0.9×100+0.1×(-100) = 80 Payoff atteso di questa strategia mista per i manager v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.5×80+0.5×80=80 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0.5) No Monitor (0.5) Dipend. W (0.9) 50 , 90 50 , 100 S (0.1) 0 , -10 100 , -100 Dipendenti v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))  EU1(W, (0.5, 0.5)) v1((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))  EU1(S, (0.5, 0.5)) Manager v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))  EU2(Monitor, (0.9, 0.1)) v2((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))  EU2(Not, (0.9, 0.1)) Quindi, ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per il Teorema 1. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teorema 1: applicazione Battaglia dei sessi Pat Opera (1/3) Prize Fight (2/3) Chris Opera (2/3 ) 2 , 1 0 , 0 Prize Fight (1/3) 0 , 0 1 , 2 Usate il teorema 1 per controllare se ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) è un MNE. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Player 2 s21 ( q ) s22 ( 1- q ) Player 1 s11 ( r ) u1(s11, s21), u2(s11, s21) u1(s11, s22), u2(s11, s22) s12 (1- r ) u1(s12, s21), u2(s12, s21) u1(s12, s22), u2(s12, s22) Teorema 2 Sia ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) una coppia di strategie miste, dove 0 <r*<1, 0<q*<1. Allora ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se EU1(s11, (q*, 1-q*)) = EU1(s12, (q*, 1-q*)) EU2(s21, (r*, 1-r*)) = EU2(s22, (r*, 1-r*)) Ciò significa che ogni giocatore, nell’equilibrio, è indifferente tra le due proprie strategie. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Utilizzo dell’indifferenza per trovare l’ Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Usate il Teorema 2 per trovare MNE Risolvete EU1(s11, (q*, 1-q*)) = EU1(s12, (q*, 1-q*)) EU2(s21, (r*, 1-r*)) = EU2(s22, (r*, 1-r*)) Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Matching pennies Player 2 H ( q ) T ( 1–q ) Player 1 H ( r ) -1 , 1 1 , -1 T ( 1–r ) Il Player 1 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU1(H, (q, 1–q)) = q×(-1) + (1–q)×1=1–2q EU1(T, (q, 1–q)) = q×1 + ×(1–q) (-1)=2q–1 EU1(H, (q, 1–q)) = EU1(T, (q, 1–q)) 1–2q = 2q–1 4q = 2 Ciò indica la probabilità q = 1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Matching pennies Player 2 H ( q ) T ( 1–q ) Player 1 H ( r ) -1 , 1 1 , -1 T ( 1–r ) Il Player 2 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU2(H, (r, 1–r)) = r ×1+(1–r)×(-1) =2r – 1 EU2(T, (r, 1–r)) = r×(-1)+(1–r)×1 = 1 – 2r EU2(H, (r, 1–r)) = EU2(T, (r, 1–r)) 2r – 1= 1 – 2r 4r = 2 Ciò indica la probabilità r = 1/2 Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor ( q ) Non Monitor (1–q ) Dipend. W (r) 50 , 90 50 , 100 S (1–r) 0 , -10 100 , -100 Payoff atteso dai dipendenti giocando “W” (lavoro) EU1(Work, (q, 1–q)) = q×50 + (1–q)×50=50 Payoff atteso dai dipendenti giocando “S” (defilarsi) EU1(Shirk, (q, 1–q)) = q×0 + (1–q)×100=100(1–q) Il dipendente è indifferente se giocare W o giocare S se: 50=100(1–q) q=1/2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor ( q ) Non Monitor (1–q ) Dipend. W (r) 50 , 90 50 , 100 S (1–r) 0 , -10 100 , -100 Payoff atteso dai manager giocando“Monitor” EU2(Monitor, (r, 1–r)) = r×90+(1–r)×(-10) =100r–10 Payoff atteso dai manager giocando“Non MOnitor” EU2(Not, (r, 1–r)) = r×100+(1–r)×(-100) =200r–100 Il Manager è indifferente fra giocare Monitor e Non Monitor se 100r–10 =200r–100 e ciò implica che r=0.9. Quindi, ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) è un MNE per l’enunciato del Teorema 2. Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Battaglia dei sessi Pat Opera (q) Prize Fight (1-q) Chris Opera ( r ) 2 , 1 0 , 0 Prize Fight (1-r) 0 , 0 1 , 2 Usate il Teorema 2 per trovare il MNE Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Utilizzo del Teorema 2 per trovare l’MNE: applicazione Esempio Player 2 L (q) R (1-q) Player 1 T ( r ) 6 , 4 2 , 6 B (1-r) 3 , 3 6 , 1 Usate il Teorema 2 per trovare il MNE Teoria dei giochi - D'orio - I parte

Teoria dei giochi - D'orio - I parte Riassunto Strategie miste MNE Ricerca del MNE con l’utilizzo dell’indifferenza Prossimo argomento Gioco a due giocatori ognuno con un numero di strategie finite Teoria dei giochi - D'orio - I parte