Apprendimento Automatico: Apprendimento Bayesiano Roberto Navigli Cap. 6.1-6.2, 6.9-6.11 [Mitchell] Cap. 14 [Russel & Norvig] Cap. 5.3 [Tan, Steinbech, Kumar]

Caratteristiche dell’Apprendimento Bayesiano Ogni esempio di addestramento progressivamente decrementa o incrementa la probabilità stimata che un’ipotesi sia corretta La conoscenza pregressa può essere combinata con i dati osservati per determinare la probabilità finale di un’ipotesi I metodi Bayesiani possono fornire predizioni probabilistiche (es. questo paziente ha il 93% di possibilità di guarire) Nuove istanze possono essere classificate combinando le predizioni di ipotesi multiple, pesate con le loro probabilità Anche quando i metodi Bayesiani sono intrattabili computazionalmente, possono fornire uno standard di decisione ottimale rispetto al quale misurare metodi più pratici

Richiamo di concetti di calcolo delle probabilità Spazio di campionamento Ω è l’insieme degli esiti di una prova  è l’esito di una prova (es. il lancio del dado ha esito 2) A è un evento (sottoinsieme di Ω) Indichiamo con P(A) la probabilità (massa di probabilità) di un evento A (es: x=1, o x “pari”) Per ogni coppia di eventi A e B: A B

Probabilità congiunta Dati due eventi A e B, P(A) è la probabilità marginale dell’evento A e P(B) quella dell’evento B La probabilità congiunta che si verifichino entrambi gli eventi è P(A, B) Se i due eventi sono indipendenti, allora si ha: P(A, B) = P(A) P(B)

Probabilità condizionata La probabilità condizionata dell’evento B dato l’evento A (probabilità di un evento A supponendo che sia verificato un evento B) è data da: A B AB

Teorema di Bayes Sfruttando la definizione di probabilità condizionata si ottiene:

Classificatore Naïve Bayes Si applica al caso in cui le ipotesi in H sono rappresentabili mediante una congiunzione di valori di attributi e la classificazione è scelta da un insieme finito Y. Le istanze x in X sono descritte mediante m-uple di valori (x1,x2, ..., xm) associati agli m attributi di x Il classificatore “naif” si basa sull’assunzione semplificativa che i valori degli attributi siano condizionalmente indipendenti, assegnato un valore della funzione obiettivo, cioè, dato un nuovo esempio x da classificare, calcoliamo:

Stima delle probabilità Le probabilità P(xi|c) vengono stimate osservando le frequenze nei dati di addestramento D Se D include ni esempi classificati ci, e nij di questi ni esempi contengono il valore xj per l’attributo j, allora:

{ Naïve Bayes: Esempio Dall’insieme D stimo le prob. a priori Y = {allergia, raffreddore, in_salute} (possibili classi) x1 = starnuti (sì, no) ; x2 = tosse (sì, no) ; x3 = febbre (sì, no) (attributi booleani) x = (1, 1, 0) come lo classifico? Prob in salute raffred-dore allergia P(c) 0.9 0.05 P(x1 |c) 0.027 1.0 P(x2 |c) 0.5 P(x3 |c) { Dall’insieme D stimo le prob. a priori e condizionate es:

Esempio (continua) 40 esempi, 36 classificati “in salute”, 2 raffreddore, 2 allergia Per stimare, ad esempio, P(x1=1|in-salute), contare sui 36 esempi nei quali c(x)= “in-salute” quanti hanno x1=1 se 1 su 36, P(x1=1|in-salute)=1/36=0,027 Analogamente avrò, ad es.: P(x1=1|raffreddore)=2/2=1 P(x1=1|allergia)=2/2=1 ecc.

Esempio (continua) Devo calcolare il massimo al variare di c di: Quindi ad esempio per c=raffreddore Analogamente, troverò:

Problemi con Naive Bayes Se D è piccolo, le stime sono inaffidabili (nell’esempio precedente alcune stime sono = 1!) Un valore raro xk può non capitare mai in D e dunque: c: P(xk | c) = 0. Analogamente, se ho un solo esempio di una classe c,  xk: P(xk | c) = 1 o P(xk | c) = 0.

Smoothing Per tener conto di eventi rari, si operano degli aggiustamenti sulle probabilità detti smoothing Laplace smoothing con una M-stima assume che ogni evento xj abbia una probabilità a priori p, che si assume essere stata osservata in un campione virtuale di dimensione M > del campione reale Nell’esempio precedente, ad es. M è una costante che determina il peso dello smoothing In assenza di altre informazioni, si assume p = 1/k dove k è il numero di valori dell’attributo j in esame

Un esempio Classificazione automatica di documenti Un documento rappresentato come un elenco di termini tj (j=1,…,|V|), dove V è il vocabolario Rappresentiamo un documento x con il vettore x = (x1,x2…,x|V|) dove xj=1 se il termine tj è presente (0 altrimenti) D = { (xi, yi) } insieme di addestramento di documenti già classificati Y = { sport, politica, ..., scienze } Stimare, sulla base di D, le P(tj|c)

Una semplice notazione grafica per: Reti Bayesiane Una semplice notazione grafica per: l’asserzione di indipendenza condizionata la specifica compatta di distribuzioni congiunte Un grafo diretto G = (V, E) dove: I vertici sono le variabili aleatorie del problema Gli archi diretti (x, y) descrivono le dipendenze tra variabili aleatorie

Variabili aleatorie Una variabile aleatoria X è una funzione dell’esito di un esperimento: che associa un valore a ogni esito. Ad esempio, dato l’evento “lancio di dado”, la funzione può essere definita come:

Reti Bayesiane: esempio (da Tan, Steinbech, Kumar) La topologia della rete codifica le asserzioni di dipendenza/indipendenza Nell’esempio, l’esercizio è indipendente dalle altre variabili, la cardiopatia dipende dall’esercizio e dalla dieta. Esercizio Dieta Cardiopatia Bruciore di stomaco Dolore al petto Pressione sanguigna

Reti Bayesiane: esempio (da Russel & Norvig) Sono al lavoro e il vicino John mi chiama per dire che suona l’allarme, but la vicina Mary non chiama. A volte viene attivato da piccole scosse di terremoto. C’e’ un furto in corso? Variabili (booleane): Burglary (furto), Earthquake (terremoto), Alarm (allarme), JohnCalls, MaryCalls La topologia della rete riflette la conoscenza “causale” Un furto o un terremoto possono causare l’attivazione dell’allarme L’allarme può causare una chiamata di John o Mary

Reti Bayesiane: esempio (da Russel & Norvig)

Semantica delle Reti Bayesiane La distribuzione congiunta di tutte le variabili è data dal prodotto delle probabilità condizionate “locali”: Perché? “Chain rule”

Esempio Qual è la probabilità che date le chiamate di John e Mary per via dell’allarme non si sia verificato né un terremoto né un furto? P(J=true, M=true, A=true, B=false, E=false) = P(j, m, a, ¬b, ¬e) = P(j|a)P(m|a)P(a| ¬b, ¬e)P(¬b)P(¬e) = 0.9 * 0.7 * 0.001 * 0.999 * 0.998 = 0.000628

Naive Bayes visto come Rete Bayesiana X1 X2 X3 … Xm

Compattezza delle Reti Bayesiane Una tabella di probabilità condizionate per la variabile booleana Xi con k genitori booleani ha 2k righe (combinazioni dei valori dei genitori) Ogni riga richiede un valore di probabilità per Xi = true (il numero per Xi = false è 1-p) Se ogni variabile non ha più di k genitori, la rete completa richiede O(m2k) numeri dove m è il numero di variabili (nodi) della rete Ovvero lo spazio richiesto cresce linearmente con m Di quanti numeri avrei bisogno invece se codificassi l’intera distribuzione congiunta delle m variabili?

Costruzione di una Rete Bayesiana Scegli un ordinamento delle variabili aleatorie X1, … ,Xm For i = 1 to m aggiungi Xi alla rete seleziona i genitori da X1, … ,Xi-1 tali che P (Xi | Parents(Xi)) = P (Xi | X1, ... Xi-1)

Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio Supponiamo l’ordinamento: M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)?

Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio Supponiamo l’ordinamento: M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? No P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)?

Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio Supponiamo l’ordinamento: M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? No P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? No P(B | A, J, M) = P(B | A)? P(B | A, J, M) = P(B)?

Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio Supponiamo l’ordinamento: M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? No P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? No P(B | A, J, M) = P(B | A)? Sì P(B | A, J, M) = P(B)? No P(E | B, A ,J, M) = P(E | A)? P(E | B, A, J, M) = P(E | A, B)?

Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio Supponiamo l’ordinamento: M, J, A, B, E P(J | M) = P(J)? No P(A | J, M) = P(A | J)? P(A | J, M) = P(A)? No P(B | A, J, M) = P(B | A)? Sì P(B | A, J, M) = P(B)? No P(E | B, A ,J, M) = P(E | A)? No P(E | B, A, J, M) = P(E | A, B)? Sì

Costruzione di una Rete Bayesiana: Esempio Decidere l’indipendenza condizionata è difficile se si procede in direzione “non causale” Decidere sulle causalità è molto più semplice per gli umani che non per le macchine!

Apprendimento automatico delle tabelle delle probabilità condizionate Dato un insieme di addestramento, si procede in modo simile a quanto fatto con Naive Bayes Si calcola la probabilità condizionata:

Esempio: il Buon Ricercatore Sperimentale Abilità Ricercatore Qualità Scrittura Qualità Risultati Articolo accettato

Apprendimento Bayesiano “in a nutshell” Le reti bayesiane forniscono una rappresentazione naturale per l’indipendenza condizionata indotta in modo causale Naïve Bayes è una caratterizzazione estrema del dominio, ma funziona generalmente bene Data la topologia e le tabelle di probabilità condizionate, si ottiene una distribuzione congiunta compatta Semplice per gli esperti di dominio costruire una rete