le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati una misura delle aspettative dei mercati Teresa Sardena teresa.sardena@prometeia.it copyright © 2008 prometeia

agenda 2 | Mercati oggetto di studio 3 | Modelli di stima 1 | Introduzione 2 | Mercati oggetto di studio 3 | Modelli di stima 4 | Opzioni ad orizzonte costante 5 | Incertezza nei dati di input 6 | Rappresentazione

1 | Introduzione Mercati oggetto di studio Modelli di stima Opzioni ad orizzonte costante Incertezza nei dati di input Rappresentazione

Introduzione Che cos’è una PDF? I prezzi delle opzioni quotate permettono di stimare le funzioni di distribuzione di probabilità (dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions), sugli asset sottostanti. La PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata di mercato – di un ipotetico investitore rappresentativo – per il prezzo di un dato sottostante ad una certa scadenza. Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità aggregata del prezzo del sottostante a una specifica scadenza, le stime ottenute possono essere usate per analizzare le aspettative degli agenti economici sull’andamento di attività finanziarie sulle quali vengono scambiate opzioni. Inoltre, poiché la probabilità non è quella “vera” ma è trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le preferenze degli operatori e il grado di incertezza nell’economia.

Introduzione perche’ stimare la PDF? Per un dato sottostante, a partire dai prezzi delle opzioni quotate osservabili sul mercato, si può stimare la probability density function (PDF) neutrale al rischio implicita ad una data scadenza. Tale stima può essere utilizzata sia a fini congiunturali sia a fini di pricing. Fini congiunturali Fini di pricing Gli indicatori costruiti usando le serie storiche dei rendimenti degli asset sono backward-looking, invece indicatori ottenuti dai prezzi delle opzioni, incorporando le aspettative sul futuro andamento del sottostante, sono forward-looking; Le PDF permettono di estrarre la view di mercato rispetto ad un dato sottostante e di monitorarla nel tempo. Attraverso la PDF è possibile costruire delle superfici di volatilità che permettano di prezzare opzioni sul sottostante considerato. Tali superfici di volatilità considerano lo skew implicito nelle quotazioni dei premi delle opzioni.

Introduzione intuizione Osservando i prezzi delle opzioni aventi strike diversi ma medesima scadenza si può inferire la probabilità assegnata dal mercato ai possibili esiti del sottostante all’orizzonte futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni . Un’opzione call a scadenza avra’ un qualche valore se il prezzo del sottostante sarà maggiore dello strike dell’opzione stessa. Un’opzione call avente uno strike minore avrà sempre un valore maggiore di un’opzione call con strike più alto. Un opzione con strike più basso avrà un pay-off più alto se esercitata e una più alta probabilità di essere esercitata. Questa probabilità addizionale riflette la possibilità che il sottostante in futuro vada a cadere tra i due strike. Se ne deduce che la differenza di prezzo può essere usata per inferire la probabilità di un esito rispetto ad un altro. Osservando i prezzi dei contratti attraverso il range di possibili esiti è possibile ricostruire l’intera PDF.

Breeden & Litzenberger Introduzione Breeden & Litzenberger In mercati dinamicamente completi (se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione continua rispetto ai prezzi di esercizio), la PDF del sottostante è proporzionale alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call, calcolata rispetto allo strike (Breeden, D and Litzenberger, R (1978)): Questo risultato implica che, se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i possibili strike, la stima della PDF sarebbe semplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione. Tale stima è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la maggiore complessità consiste nel ricavare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e differenziabile.

flusso dei dati | step by step Introduzione flusso dei dati | step by step Mercati oggetto di studio Modelli di stima Rappresentazione delle PDF Raccolta dei dati di mercato Definizione della funzione di prezzo di un opzione call Stima delle PDF Calcolo delle statistiche di sintesi

2 | Mercati oggetto di studio Introduzione 2 | Mercati oggetto di studio Modelli di stima Opzioni ad orizzonte costante Incertezza nei dati di input Rappresentazione

quali sottostanti Opz. su futures su tassi di int. a breve t. Mercati oggetto di studio quali sottostanti EURUSD EURJPY EURGBP USDJPY USDGBP JPYGBP Opz. su futures su tassi di int. a breve t. Opzioni su futures su indici azionari Opzioni OTC su tassi di cambio EuroSTOXX 50 S&P MIB S&P 500 FTSE 100 Nikkei Euribor a tre mesi EuroDollaro a tre mesi Short Sterling a tre mesi EuroYen a tre mesi 10Y Bund 10Y USD Treasury Bond 10 Y GBP Gilt 10Y Japanese Bond Opzioni su futures su titoli Gov. 10Y Perche’ utilizziamo le opzioni sui futures?

3 | Modelli di stima Introduzione Mercati oggetto di studio Opzioni ad orizzonte costante Incertezza nei dati di input Rappresentazione Prossimi passi

approcci di stima Parametrico Non Parametrico Modelli di stima approcci di stima Formula di pricing: formula chiusa per il pricing delle opzioni usata in modo diretto; Interpolazione: non si utilizza alcuna funzione di interpolazione; Metodo di estrazione della funzione di probabilità implicita: minimizzazione di una funzione di perdita. Parametrico metodi che ipotizzano che il prezzo dell’attività sottostante abbia una determina distribuzione Formula di pricing: utilizzata in modo indiretto; Interpolazione: si interpola la volatilità implicita; Metodo di estrazione della funzione di probabilità implicita: metodi basati sul risultato di Breeden e Litzenberger; Non Parametrico metodi che non formulano alcuna ipotesi sulla distribuzione del sottostante

Comportamento nelle Code Modelli di stima approcci di stima | metodo parametrico Implementazione Comportamento nelle Code Robustezza pro E’ sufficiente un numero ridotto di dati per la stima Il comportamento delle code dipende dal modello: la stima dei percentili estremi coerente con il modello. adatto a valutazioni VaR. contro Metodo numerico basato su procedure di ottimizzazione. Può presentare problemi di: Ottimo Globale, Lentezza nella convergenza. Piccole variazioni nei prezzi inficiano la stabilità delle statistiche di sintesi.

Comportamento nelle Code Modelli di stima approcci di stima | metodo non-parametrico Implementazione Comportamento nelle Code Robustezza pro Non introduce ipotesi aggiuntive all’interno dell’insieme supporto. Presenta un alto livello di robustezza alle variazioni dei dati di input. Piccole perturbazioni nei prezzi di input non inficiano la stabilità delle statistiche. contro Metodo numerico basato sulla differenziazione di 2° ordine della funzione di prezzo delle call . Può presentare problemi di stabilità. Risente negativamente di ridotti insiemi supporto. Non controlla il comportamento della distribuzione nelle code. La stima dei percentili estremi dipende dalle ipostesi sulle code. Non adatto a valutazioni VaR.

Modelli di stima modelli implementati Per il progetto di stima delle PDF, si sono costruiti sia un modello parametrico sia un modello non parametrico. Il modello parametrico implementato è la mistura di log-normali secondo l’approccio di Rebonato Cardoso (utilizzato a fini di pricing ) mentre il modello non parametrico scelto il modello Cubic Smoothing Spline (utilizzato a fini di congiunturali).

mistura di lognormali | ipotesi ed approccio implementato Modelli di stima mistura di lognormali | ipotesi ed approccio implementato L’ipotesi alla base della mistura di lognormali è la seguente: la distribuzione del prezzo futuro del sottostante è una combinazione lineare di n distribuzioni lognormali. L’approccio di Rebonato & Cardoso (2003) si differenzia dalle altre versioni presentate in letteratura poiché, attraverso l’introduzione di un paio di condizioni, permette di ottenere una stima dei parametri attraverso un processo di ottimizzazione non vincolata. B) Condizione sui drift neutrali al rischio A ) Condizione sui pesi della distribuzione La somma dei pesi delle n distribuzioni sia pari a uno (il valore dell’opzione è una media ponderata del premio per ciascuna distribuzione lognormale). La media ponderata dei valori attesi del sottostante negli n stati di natura deve essere pari al valore del sottostante capitalizzato al tasso risk-free sino a scadenza. (mercato privo di arbitraggio) 16

mistura di lognormali | step by step Modelli di stima mistura di lognormali | step by step Ottimizzazione I (sui prezzi) Stima dei parametri minimizzando la somma degli scarti quadratici dei prezzi del modello con i premi quotati. Ottimizzazione II (sulle volatilità) A partire dai parametri stimati, avviare un secondo processo di ottimizzazione sulla somma degli scarti quadratici delle volatilità implicite del modello con le volatilità implicite nei premi quotati. APRROCCIO MISTURA LOGNORMALI Costruzione superficie di volatilità Ricavare la volatilità implicita dai premi delle opzioni calcolati con i parametri stimati. Ottenimento PDF Calcolare la PDF implicita come combinazione lineare delle PDF delle n distribuzioni lognormali.

mistura di lognormali | stima dei parametri Modelli di stima mistura di lognormali | stima dei parametri La stima dei parametri delle n distribuzioni lognormali si ottiene attaverso un processo di minimizzazione di una funzione quadratica di perdita pari a: (prezzimodello MLN – prezzimercato)2 Poiché tale metodologia ha prevalentemente lo scopo di costruire una superficie di volatilità, abbiamo introdotto un secondo processo di minimizzazione volto ad identificare un set di parametri che meglio rappresentino le volatilità implicite nei premi quotati. La seconda funzione di perdita è: S (Volatilitàmodello MLN – Volatilitàmercato)2 Una volta ottenuti i parametri delle n distribuzioni lognormali è possibile costruire una funzione di prezzo delle opzioni call, a partire dalla quale si ottengono sia le PDF che le volatilità implicite. 18

Cubic Smoothing Spline | step by step Modelli di stima Cubic Smoothing Spline | step by step Calcolo della volatilità implicita e del delta per le opzioni e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta. APRROCCIO CUBIC SMOOTHING SPLINE Fitting e interpolazione Trasformazione Coordinate Funzione di pricing Estrapolazione Costruzione della PDF utilizzando il risultato di Breeden-Litzenberger (differenziazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call ) Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike ed espressione della volatilità implicita come funzione degli strike. Sostituzione dell’espressione della vol. implicita nel modello di pricing utilizzato (Black(1976)) e costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call. Breeden Litzenberger Estrapolazione del comportamento della distribuzione al di fuori dell’insieme supporto.

CS Spline | fitting e interpolazione (1/2) Modelli di stima CS Spline | fitting e interpolazione (1/2) Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita-delta. Per ottenere un fitting più accurato si preferisce interpolare lo smile di volatilità invece dei prezzi delle opzioni (E’ una semplice manipolazione dei dati).

CS Spline | fitting e interpolazione (2/2) Modelli di stima CS Spline | fitting e interpolazione (2/2) Utilizzo di una Cubic Smoothing Spline - polinomio di terzo grado- che permette di ottenere una funzione derivabile nel knot-point Fitting Curvatura Questo metodo di interpolazione gode della proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di mercato sulle opzioni che sono “noisy” e aumentare la smoothness della spline cubica. La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresenta la scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla spline, mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della spline stessa. Il parametro di smooting l è di grande importanza poiché se fosse troppo alto la procedura assegnerebbe un elevato valore alla minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significherebbe enfatizzare la minimizzazione della curvatura.

CS Spline | trasformazione delle coordinate cartesiane Modelli di stima CS Spline | trasformazione delle coordinate cartesiane Ritorno allo spazio cartesiano di origine: trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti strike. Espressione della volatilità implicita come funzione degli strike e successiva derivazione della funzione di prezzo delle opzioni call.

CS Spline | Breeden-Liztenberger Modelli di stima CS Spline | Breeden-Liztenberger Il risultato di Breeden-Litzenberger ci dice che per ottenere la PDF e ‘ sufficiente ottenere una funzione di prezzo delle opzioni call C(X,t) derivabile due volte . A partire da tale funzione si calcola la derivata seconda utilizzando un metodo numerico e la si sconta per il tasso privo di rischio. Si possono utilizzare diverse tecniche di interpolazione ed estrapolazione (es. lineare costante), ma tutti i metodi non parametrici, una volta costruita la funzione di prezzo di un’opzione call , determineranno la PDF tramite il teorema di Breeden - Litzenberger.

CS Spline | Estrapolazione (1/2) Modelli di stima CS Spline | Estrapolazione (1/2)

CS Spline | Estrapolazione (2/2) Modelli di stima CS Spline | Estrapolazione (2/2) Estrapolazione e distribuzione di probabilità neutrale a l rischio

4 | Opzioni ad orizzonte costante Introduzione Mercati oggetto di studio Modelli di stima 4 | Opzioni ad orizzonte costante Incertezza nei dati di input Rappresentazione

intuizione Opzioni ad orizzonte costante La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime la view di mercato sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che giorno dopo giorno l’orizzonte considerato si accorcia, rendendo difficile il confronto delle PDF a date diverse. La variazione nella dispersione della PDF è imputabile alla nuova informazione presente nel mercato o è una conseguenza della diminuzione della scadenza? Per separare questi due effetti ed isolare l’effetto “scadenza” si è deciso di costruire dei contratti sintetici “ad orizzonte costante” e stimare su di essi le PDF. 3, 6 , 12 mesi Interpolazione nei due metodi Stima delle statistiche di sintesi Opzioni ad orizzonte costante

Opzioni ad orizzonte costante interpolazione Idea base: l’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico ad esempio con scadenza 6 mesi consiste nell’interpolare la volatilità dei contratti “veri” con scadenza inferiore a sei mesi e superiore a sei mesi all’interno di uno spazio tridimensionale al fine di creare dei contratti sintetici con scadenza 6 mesi. Metodologia di interpolazione: il metodo di interpolazione applicato è lineare per entrambi gli approcci. Spazio di interpolazione: lo spazio tridimensionale cartesiano in cui si va a fare l’interpolazione varia a seconda dell’approccio implementato (parametrico e non parametrico).

interpolazione | spazio di interpolazione Opzioni ad orizzonte costante interpolazione | spazio di interpolazione approccio parametrico interpolazione dello smile di volatilità avviene, a parità di strike, nello spazio (strike, t, σ2). approccio non parametrico interpolazione dello smile di volatilità avviene, a parità di delta, nello spazio (delta, t, σ2). 29

introduzione dei contratti sintetici Opzioni ad orizzonte costante introduzione dei contratti sintetici Raccolta dei dati di mercato Mistura Log-Normali Contratti sintetici CSs Definizione della funzione di prezzo di un opzione call Stima delle PDF Calcolo delle statistiche di sintesi

5 | Incertezza nei dati di input Introduzione Mercati oggetto di studio Modelli di stima Opzioni ad orizzonte costante 5 | Incertezza nei dati di input Rappresentazione

principali cause di distorsione dei dati in input Incertezza nei dati di input principali cause di distorsione dei dati in input Il trading delle opzioni è fortemente concentrato per: le opzioni più vicine a scadenza (mentre in corrispondenza delle scadenze più lontane i contatti sono meno liquidi) ; per quegli strike più vicini all’attuale prezzo del future (at the money) o in quelle opzioni call (put) i cui strike sono sopra (o sotto) i prezzi del sottostante (out of the money). I prezzi di esercizio sono fissati su intervalli discreti, equi- spaziati; I prezzi sono osservati e registrati con un potenziale errore derivante da: l’asincronicità del trading delle opzioni, l’asincronicità di registrazione dei dati da parte provider, bid-ask bounce: La presenza di rumore nei prezzi delle opzioni inficia profondamente la stima dell’PDF e la rende meno affidabile. Per non incorrere in una stima spuria della PDF abbiamo introdotto dei filtri sui dati di mercato

quali filtri implementare Incertezza nei dati di input quali filtri implementare filtri essenziali Esistenza Prezzo Last Numero minimo di strike Giorni a scadenza filtri di liquidità Volume Bid-Ask Spread Put -Call Parity Delta Vega filtri teorici Monotonicità dei prezzi

introduzione dei filtri Incertezza nei dati di input introduzione dei filtri Raccolta dei dati di mercato Filtri Definizione della funzione di prezzo di un opzione call Stima delle PDF Calcolo delle statistiche di sintesi

test di robustezza |quale test applicare? Incertezza nei dati di input test di robustezza |quale test applicare? I prezzi delle opzioni, usati come input della stima della PDF, possono essere inficiati da un numero potenzialmente alto di errori. Il test di robustezza ha lo scopo di analizzare l’incertezza dei dati di input (Clews,Panigirtzoglou,Proudman(2000)). quanto varia la PDF stimata a seguito di piccole perturbazioni nei prezzi? quanto variano le statistiche di sintesi a seguito di piccole perturbazioni nei prezzi? data l’inesattezza da cui possono essere inficiati i dati di input, qual è il metodo di stima più robusto? Test implementati tecniche di simulazione Montecarlo, condotte su prezzi veri; tecniche di boot-strapping degli errori storici di fitting (Work in Progress) .

test di robustezza |quale test applicare? Incertezza nei dati di input test di robustezza |quale test applicare? Struttura del Test Si applica uno shock ai prezzi delle opzioni di partenza, Si estrae la PDF e si calcolano le statistiche di sintesi, Si ripete il procedimento per almeno 100 disturbi estratti, Si calcola la deviazione standard delle statistiche di sintesi. In conformità a queste statistiche, il metodo che fornisce le più basse variazioni negli indicatori è considerato più robusto. Tabella risultati

6 | Rappresentazione Introduzione Mercati oggetto di studio Modelli di stima Opzioni ad orizzonte costante Incertezza nei dati di input 6 | Rappresentazione

rappresentazione della PDF Diversi metodi possono essere usati per presentare l’informazione contenuta nelle PDF Rappresentazione ad una data Distribuzione discreta Distribuzione continua Fan chart Grafico serie storiche Costruzione indici ad-hoc distribuzione discreta: utilizzata principalmente per rappresentare la PDF di tassi di cambio e tassi di interesse. distribuzione continua: utile per confrontare le PDF ad un numero limitato di date distinte fan chart: utilizzata principalmente per fornire una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza attorno alla proiezione centrale . Rappresentazione a più date

rappresentazione della PDF | distribuzione discreta (1/2) Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008. Questo tipo di grafico permette di valutare sia la probabilità che il mercato attribuisce a scadenza ai diversi intervalli – espressa come percentuale sulle barre del diagramma – sia l’incertezza sui diversi esiti possibili..

rappresentazione della PDF | distribuzione continua Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %) Euro/dollaro, distribuzione di probabilità a un anno (valori %)

rappresentazione della PDF | distribuzione continua

rappresentazione della PDF | distribuzione continua (2) Distribuzione di probabilità a tre mesi (valori %) Euribor a 3 mesi

rappresentazione della PDF | Fan Chart (1) Fornisce una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumata - attorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro.

rappresentazione della PDF | Fan Chart (2)

rappresentazione della PDF| costruzione statistiche di sintesi Rappresentazione ad una data Distribuzione discreta Distribuzione continua Fan chart Grafico serie storiche Costruzione indici ad-hoc Si sintetizza l’informazione della PDF a diversi istanti temporali costruendo le serie storiche giornaliere delle statistiche di sintesi. All’interno del nostro framework le statistiche calcolate sono: media volatilità skewness curtosi percentili [0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 ] Rappresentazione a più date

statistiche di sintesi rappresentazione statistiche di sintesi Statistiche di sintesi central projection momento primo della distribuzione (es. media ) amount of risk misure di dispersione della distribuzione (standard deviation) balance of risk statistiche di asimmetria della distribuzione (skew)

statistiche di sintesi | serie storiche rappresentazione statistiche di sintesi | serie storiche Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (Cubic-Smoothing Spline).

bibliografia Andersson, M. e Lomakka, M. (2001), “Evaluating implied RNDs by some new confidence interval estimation techniques.” Working paper, Stockholm School of Economics. Andersen A.B. e Wagener T.(2002) , “Extracting risk neutral probability densities by fitting implied volatility smiles: some methodological points and an application to the 3Meuribor futures option prices”. Danmarks NationalBank Working Paper. Black, F. (1976), “The Pricing of Commodity Contracts”, Journal of Financial Economics 3. Black, F. e Scholes, M. (1973), “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy 81. Bliss, R. R. e Panigirtzoglou, N. (1999), “Testing the stability of implied probability density functions.” Bank of England Working paper. Bliss, R. R. e Panigirtzoglou, N. (2003), “Option Implied Risk aversion Estimates” Journal of Finance. Breeden, D. e Litzenberger, R. (1978), “Prices of state-contingent claims implicit in option prices.” Journal of Business, 51(4) pg 621-651. Clews,R. , Panigirtzoglou N. e Proudman J. (2000), “Recent Developments in Extracting Information from Options Markets“ Bank of England Quarterly Bulletin Nakamura H. e Shiratsuka S. (1999) “Extracting Market Expectations from Option Prices: Case Studies in Japanese Option Markets.” Institute for Monetary and Economic Studies, Bank of Japan, n. 17(1), 1-43. Prasanna, G. e Vause, N. (2006), “Measuring Investors’ Risk Appetite.” International Journal of Central Banking, March. Rebonato, R. e Cardoso, T. (2003), “Unconstrained Fitting of Non-Central Risk-Neutral Densities Using a Mixture of Normals.” QUARC paper” Working Paper

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