Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l’interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Situazione strategica Dieci persone si recano insieme al ristorante Si paga alla romana  semplice problema di scelta (Max U s.t. VdB)  Ciascuno è in grado di controllare autonomamente il risultato delle sue scelte b) Si paga dividendo il conto per 10  problema strategico Non riesco a controllare la mia spesa  Il risultato delle mie azioni dipende anche dalle scelte degli altri

insieme astratto di regole Gioco insieme astratto di regole definiscono i risultati sulla base delle azioni che essi intraprendono che vincolano il comportamento dei giocatori Il gioco è le regole

In un gioco vi sono tre elementi caratteristici I giocatori (A,B,C…) Le strategie a loro disposizione Per ogni giocatore le regole stabiliscono un insieme di strategie (SA,SB,SC….) Le mosse che le regole rendono possibili (si  Si) 3) I Payoffs associati agli esiti finali del gioco i (sA,sB,sC….) In un gioco vi sono tre elementi caratteristici

Rappresentazione di un gioco Forma normale: matrice delle vincite Forma estesa: albero del gioco

Forma Normale Uso di matrice a doppia entrata Le righe rappresentano le mosse che può compiere il giocatore di riga Le colonne rappresentano le mosse che può compiere il giocatore di colonna In ogni cella sono rappresentate le vincite che i due giocatori (di riga e di colonna) ottengono attuando le mosse raffigurate nelle corrispondenti righe e colonne

Esempio Giocatori Strategie B Payoff B Payoff A Strategie A Sinistra Destra Alto 1 , 2 0 , 1 Basso 2 , 1 1, 0 Payoff B Payoff A Strategie A Uno dei 4 esiti del gioco

Forma estesa Albero del gioco: descrive le regole e i possibili premi di un gioco Nodo: punto decisionale dov’è indicata l’identità del giocatore cui spetta la mossa Rami: rappresentano le scelte fatte nei nodi

Forma estesa Rami Nodi A B Dx 2 , 3 1 , 2 2 , 0 0 , 1 Non Sx Uno dei 4 esiti del gioco Payoff A Payoff B

Ipotesi sul comportamento dei giocatori Razionalità Sono interessati a massimizzare il payoff materiale individuale Sono “calcolatori” perfetti Tutti conoscono la razionalità degli altri e si aspettano che gli altri si comportino in modo razionale

Classificazione dei giochi i giocatori possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE Cooperativi i giocatori NON possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE NON Cooperativi Informazione completa Tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori Informazione incompleta NON tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori

Classificazione dei giochi Giochi a somma zero il guadagno di un giocatore CORRISPONDE sempre alla perdita di un altro giocatore Giochi NON a somma zero La somma delle vincite (o delle perdite) dei giocatori NON È COSTANTE Giochi statici I giocatori fanno le loro mosse SIMULTANEAMENTE I giocatori fanno le loro mosse SEQUENZIALMENTE Giochi dinamici Giochi one-shot Vengono giocati UNA SOLA volta Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli stessi giocatori Giochi ripetuti

Soluzione dei giochi Equilibrio per un gioco: situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri giocatori

Equilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori

Equilibrio di Nash È un equilibrio di Nash se e solo se Diremo che un vettore n dimensionale (n è il numero dei giocatori) È un equilibrio di Nash se e solo se E questo sia vero per ogni i (per ogni giocatore) e per ogni Payoff che ottiene il giocatore i-esimo quando sceglie di deviare dalla strategia di Nash giocando una strategia diversa e tutti gli altri continuino a giocare la strategia di Nash Payoff che ottiene il giocatore i-esimo quando egli gioca la strategia di Nash e quando tutti gli altri giocano la strategia di Nash

Equilibrio di Nash B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 Se A cambiasse otterrebbe 1 giocando a1 e 1 giocando a3 Se B cambiasse otterrebbe 1 giocando b1 e 2 giocando b2

Equilibrio di Nash B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore B b1 b2 b3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 A preferirebbe il 5 di (a3,b1) ma (a3,b1) non è un equilibrio perché B cambierebbe la sua scelta in b2 ma allora A si sposterebbe in a2 infine B si sposterebbe in b3 da qui NON ci si muove più L’equilibrio non produce né per A né per B necessariamente il payoff più alto

Equilibrio di Nash Il giocatore i-esimo, cosi come tutti gli altri, non può ottenere un payoff superiore giocando una strategia diversa se gli altri continuano a giocare la strategia di Nash Nessun giocatore ha l’incentivo a cambiare le sue scelte se gli altri non lo fanno

BRF  funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash è la soluzione del problema Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori Possiamo definire una risposta ottima per ogni strategia degli altri giocatori costruendo una funzione di risposta ottima BRF  funzione di risposta ottima L’equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i giocatori è una risposta ottima alle scelte degli altri

Come si trova l’equilibrio di Nash strategia che risulta migliore (garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Strategia DOMINANTE Se esiste una strategia dominante un giocatore razionale giocherà QUELLA Se esiste una strategia dominata un giocatore razionale non la giocherà MAI strategia che risulta inferiore (garantisce più bassi payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Strategia DOMINATA

Esempio: prendiamo i due giochi che seguono Strategia Dominante B B1 b2 B3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 B B1 b2 B3 a1 1,3 2,4 A a2 2,1 3,2 1,1 a3 5,1 4,4 2,0 Strategia Dominata

Come si trova l’equilibrio di Nash Eliminazione iterata delle strategie dominate Vengono eliminate via le strategie dominate finche non si ottiene l’equilibrio di Nash B B1 b2 B3 a1 0,3 2,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 ESEMPIO Eq. di Nash.

Equilibrio di Nash verifica Possibile mossa alternativa Strategia di Nash

Problema  non sempre è possibile trovare la soluzione di Nash utilizzando tale procedura 0,3 4,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 Consideriamo lo stesso gioco di prima con la sola differenza rappresentata dal payoff del giocatore A nella in (a1,b2) Ora non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di risposta ottima (BRF) La migliore strategia che un giocatore può effettuare DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI risposta ottima Funzione di risposta ottima L’insieme delle risposte ottime di un giocatore

Trovare l’ E.d.N. utilizzando la BRF B b1 b2 b3 a1 0,3 4,2 1,3 A a2 2,1 3,2 2,3 a3 5,1 1,4 1,0 E.d.N deve essere la coppia di strategie che è la risposta ottima di entrambi i giocatori Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3 Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1 Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2 Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3 Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3 Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2

Limiti della definizione di equilibrio di Nash P dx cx sx 0,2 2,0 A Gioco del calcio di rigore e cerchiamo l’equilibrio con il metodo della risposta ottima E’ evidente che non esiste un equilibrio di Nash per questo gioco

L’equilibrio di Nash può non esistere in strategie pure Tuttavia se allarghiamo la definizione di strategie per considerare le strategie miste Strategie miste: strategie che definiscono combinazioni probabilistiche di tutte le possibile strategie pure del gioco Il giocatore non sceglie direttamente una mossa (ad esempio, sx) ma la probabilità con la quale adotterà ciascuna mossa Valore atteso strategia mista: media ponderata dei premi che il giocatore si aspetta di ricevere, ove i pesi sono le probabilità. del verificarsi di tali vincite Si può dimostrare che se consideriamo le strategie miste esiste sempre un equilibrio di Nash

Limiti della definizione di equilibrio di Nash Consideriamo questo gioco classico La guerra dei sessi Lei Opera Stadio Lui 1 , 2 0 , 0 2 , 1 Esiste una molteplicità (due) di equilibri di Nash Quale selezionare ?

Gioco dell “appuntamento” Limiti della definizione di equilibrio di Nash Molteplicità equilibri di Nash Prendiamo due altri esempi di gioco Gioco dell’incrocio Due auto (S e B) arrivano contemporaneamente all’incrocio Possono Fermarsi o Passare Gioco dell “appuntamento” Due amici (Nino e Luca) devono andare al cinema ma si non si sono accordati su dove incontrarsi Davanti al cinema o al bar del Paese S P F D -2, -2 2 , 0 0 , 2 0 , 0 Nino c b Luca 3 , 3 0 , 0 1 , 1 Qual è la differenza fra questi due giochi?

Criterio Paretiano (da W. Pareto) Abbiamo visto che l’individuo ordina i panieri alternativi secondo le sue preferenze e scegli il paniere che massimizza il suo benessere dati i vincoli cui è soggetto Come possiamo confrontare allocazioni che coinvolgano più di un soggetto L’utilità non è misurabile Non possiamo semplicemente sommare la soddisfazione individuale Problema Esiste un punto di vista sociale per valutare le allocazioni? Ci sono o no criteri che ci consentano di dire se l’allocazione A è superiore all’allocazione B, oppure se è vero il contrario? Allocazione = distribuzione di beni, benessere o quant’altro fra più soggetti Criterio Paretiano

Il “criterio di Pareto ” afferma quanto segue: oppure Criterio Paretiano Il “criterio di Pareto ” afferma quanto segue: Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B, se almeno un soggetto preferisce A a B e nessuno preferisce B ad A (e viceversa). oppure Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B, se in A tutti stanno altrettanto bene che in B e almeno uno sta meglio in A che in B A = (10, 3, 7) B = (10, 2, 7) C = (9, 5, 16) Non tutte le allocazioni sono Pareto Ordinabili

Criterio Paretiano (da W. Pareto) Un'allocazione è efficiente (ottima) nel senso di Pareto se non ne esiste un'altra che sia migliore sulla base del principio di Pareto; cioè, se non è possibile migliorare il benessere di qualcuno senza peggiorare quello di qualcun altro

Molteplicità equilibri di Nash Nel caso del gioco dell’incrocio (e nella guerra dei sessi) gli equilibri di Nash non sono Pareto Ordinabili 2,0 e 0,2 Nel caso del gioco dell’appuntamento gli equilibri di Nash sono Pareto Ordinabili 1, 1 e 3, 3 La differenza è importante quando si considerano giochi ripetuti Gioco in cui un numero fisso di giocatori effettua ripetutamente lo stesso gioco l’uno contro l’altro I giocatori scelgono le loro mosse sulla base delle azioni compiute dalle rivali nei periodi precedenti Le strategie ed i comportamenti sono più complessi ma anche più realistici che nei giochi uniperiodali Gioco Ripetuto Nel caso giochi ripetuti ed equilibri Pareto ordinabili allora vi sarà un endogeno coordinamento verso la soluzione Pareto Superiore Folk Theorem In caso la questo ripetizione del gioco può far scomparire la molteplicità

Molteplicità equilibri di Nash: giochi sequenziali Consideriamo il gioco dell’incrocio, immaginando che l’auto A si presenti per prima all’incrocio Il gioco non è più simultaneo ma sequenziale, l’auto A effettuerà la prima mossa e successivamente muoverà l’auto B La rappresentazione del gioco a forma estesa è preferibile

Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso Induzione a ritroso Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino a risalire all’inizio del gioco B sceglierà P che gli da 2 al posto di 0 A lo sa e sa che se sceglierà F prenderà 0 B sceglierà F che gli da 0 al posto di -2 A lo sa e sa che se sceglierà P prenderà 2 A sceglierà P che gli garantisce 2 mentre se scegliesse F avrebbe 0

Gioco del bambino capriccioso Minacce non credibili Gioco del bambino capriccioso Pierino 1 2 M & P Zia Cinema Punire Non punire -1

Induzione all’indietro e perfezione nei sottogiochi Sottogioco 2, 5 3,3 2, 1 3,3

Molteplicità equilibri di Nash: meccanismi istituzionali Quando non esistono altri sistemi per eliminare la molteplicità degli equilibri possono intervenire dei meccanismi istituzionali che regolamentano il comportamento individuale e risolvono l’ambiguità Esempio classico  il semaforo nel gioco dell’incrocio Risolvere questo tipo di ambiguità è una delle spiegazioni della nascita delle istituzioni

Dilemma del prigioniero Due criminali che hanno commesso in complicità un grave delitto e sono detenuti in celle separate (non possono comunicare). Ci sono le prove solo per accusarli di un delitto minore la cui pena è 1 anno di reclusione Ogni prigioniero può confessare il delitto grave o tacere. Se confessa uscirà subito di prigione, mentre il complice avrà una pena di 20 anni di reclusione. Se entrambi confessano saranno condannati ad una pena intermedia di 5 anni. Se nessuno dei 2 confessa la pena sarà di 1 anno.

Dilemma del prigioniero L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile Risultato paradossale Un comportamento teso a massimizzare il benessere individuale produce un risultato non ottimo da un punto di vista individuale B Confessa Tace 5 , 5 0 , 20 20 , 0 1 , 1 Nash O.P

Dilemma del prigioniero framework generale Prendiamo due altri esempi di gioco Gioco del traffico Due soggetti (sig. Rossi e sig. Bianchi) devono decidere se prendere l’auto o il tram Gioco della Pubblicità Due imprese devono decidere quanto investimento pubblicitario effettuare il prossimo anno R T A B 3, 3 0 , 4 4, 0 1 , 1 Pampers NF FP Lines 500,500 150,750 750,150 250,250

Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash possibili soluzioni Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero Blocco del traffico gioco del traffico Meccanismi istituzionali Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi Meccanismi endogeni accordo fra i giocatori Non sono credibili perché in assenza di meccanismi istituzionali esterni qualsiasi accordo fra le parti non sarebbe rispettato

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Ma nella realtà il gioco è spesso ripetuto Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti Prendiamo il gioco della pubblicità Immaginiamo un accordo (esplicito o tacito) per non fare pubblicità Se una delle due aziende violasse l’accordo di non fare pubblicità l’altra farebbe pubblicità per sempre Meccanismo punitivo All’inizio di ogni periodo le due imprese devono decidere se violare o meno l’accordo

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Se si viola l’accordo Se non si viola l’accordo Ponendo e notando che sono serie convergenti Si ottiene

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un peso adeguato ai guadagni futuri) Nota Il gioco deve durare all’infinito o avere una durata finita ma incerta Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto Reputazione -- Credibilità

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Altro esempio Prendiamo il gioco seguente A B L C R T 5,5 3,6 0,0 M 6,3 4,4 1,1 Se il gioco è statico, allora gli equilibri saranno (M, C) e (B,R) entrambi sotto ottimali rispetto a (T,L)

Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Ma se il gioco viene ripetuto 2 volte allora le cose cambiano Mentre in ciascun periodo un giocatore ha sempre 3 opzioni possibili, se consideriamo entrambi i periodi il numero di strategie cresce a 3x3x9=81 (tre azioni possibili nel primo periodo, tre nel secondo e nove possibili risultati nel primo periodo) Come si trova equilibrio ? a) un primo equilibrio è semplicemente quello che replica in ciascun gioco l’equilibrio del gioco statico, ad esempio, (M,C) Esistono nuovi equilibri ? giocatore A: giocare T nel periodo 1 e M nel periodo 2 se si è verificato (T,L) altrimenti giocare B giocatore B: giocare L nel periodo 1 e nel periodo 2 giocare C se nel se si è verificato (T,L) altrimenti giocare R

Lo stesso vale per B: se gioca L (5+4), C(6+1) R(0+1) Equilibrio nel gioco ripetuto Periodo 2: visto che sono entrambi equilibri nel gioco costitutivo nessuno dei due giocatori ha l’incentivo a cambiare strategia nel secondo periodo A B L C R T 5,5 3,6 0,0 M 6,3 4,4 1,1 Periodo 1: giocatore A: se sceglie T in 1, allora ottiene 5 + 4, se sceglie M ottiene 6 + 1, se gioca B ottiene 0+1 e quindi non ha incentivo a variare la sua strategia se B non la cambia Lo stesso vale per B: se gioca L (5+4), C(6+1) R(0+1)