STATISTICA PER LA RICERCA SPERIMENTALE E TECNOLOGICA Corso di Laurea Triennale in Infermieristica Anno III TERZA LEZIONE

Di solito le variabili rilevate sui soggetti sono più di una Si supponga di rilevare due variabili X e Y (es. peso e altezza di un neonato, livello di colesterolo e di acido urico, circonferenza cranica e settimane di gestazione, stadio tumorale e livello di dolore, ecc) In molti casi è importante determinare se vi sono relazioni di dipendenza tra le due variabili e il tipo e l’intensità di tali relazioni

RELAZIONI TRA VARIABILI QUANTITATIVE

Siano X e Y due variabili quantitative rilevate su n soggetti (x1,y1) sono i valori rilevati sul soggetto 1 (x2,y2) sono i valori rilevati sul soggetto 2 ……. (xn,yn) sono i valori rilevati sul soggetto n ogni coppia di valori rappresenta un punto nel piano cartesiano (X,Y) il protocollo sperimentale (x1,y1), (x2,y2),…, (xn,yn) è una “nuvola” di punti nel piano

La morfologia della nuvola (scatter, diagramma di dispersione) fornisce informazioni sul tipo di legame esistente tra le variabili associazione lineare positiva associazione lineare negativa

associazione non lineare assenza di associazione associazione non lineare (curvilinea)

Come misurare il tipo di associazione lineare tra due variabili ?? COVARIANZA Media dei prodotti degli scarti dalla media

I quadrante scarti concordanti (+,+) IV quadrante scarti discordanti (-,+) media delle Y II quadrante scarti discordanti (+,-) III quadrante scarti concordanti (-,-) ↑ media delle X I-III quadrante scarti concordanti → prodotti positivi II-IV quadrante scarti discordanti→ prodotti negativi

dipendenza lineare positiva prevalgono i punti I-II quadrante prevalgono i prodotti positivi covarianza positiva

dipendenza lineare negativa prevalgono i punti II-IV quadrante prevalgono i prodotti negativi covarianza negativa

nessuna dipendenza lineare nessuna direzione individuabile i prodotti negativi e positivi si compensano covarianza approssimativamente nulla

la covarianza dipende criticamente dalle unità di misura di X e Y la covarianza individua il tipo di legame lineare esistente tra le variabili ma non la forza di tale associazione

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE Rapporto tra la covarianza e il prodotto degli sqm non dipende dalle unità di misura varia tra -1 e 1 è nullo in caso di assenza di legame lineare è -1 o 1 in caso di legame lineare perfetto (negativo o positivo)

In uno studio sono state esaminate le radiografie fatte ai reni di bambini normali, per misurare le distanze della parete interna del rene dalla spina dorsale, una distanza facilmente visualizzabile nelle radiografie e utile nella diagnosi di malattia renale. Nella tabella sono riportate le misure ottenute per la parte superiore del rene destro insieme con l’età del bambino. Verifica la relazione lineare tra la distanza e l’età. Età del bambino in anni (X) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Distanza in mm (Y) 20 18 23 20 22 23 25 29 27 28

x y scarti x scarti y scarti2 x scarti2 y prodotti 2 20 -4.5 -3.5 20.25 12.25 15.75 3 18 -5.5 30.25 19.25 4 23 -2.5 -0.5 6.25 0.25 1.25 5 -1.5 2.25 5.25 6 22 0.75 7 0.5 -0.25 8 25 1.5 9 29 2.5 5.5 13.75 10 27 3.5 11 28 4.5 65 235 82.5 122.5 90.5

media X 65/10 = 6.5 anni media Y 235/10 = 23.5 mm varianza X 82.5/10 = 8.25 anni2 sqm X 2.87 anni varianza Y 122.5/10 = 12.25 mm2 sqm Y 3.5 mm covarianza XY 90.5/10 = 9.05 anni x mm coeff. corr. 9.05/(2.87 x 3.5) = 0.90 forte dipendenza lineare positiva

REGRESSIONE LINEARE Se tra X e Y esiste un forte legame lineare (rxy elevato) si può tentare di spiegare il valore di Y come funzione lineare di X secondo la relazione Y=a+bX Dato un valore osservato xi il valore previsto di Y come funzione lineare di X sarà allora ŷi=a+bxi il quale sarà diverso dal valore osservato yi

La differenza tra il valore osservato e quello previsto dalla relazione lineare ei= ŷi-yi è detto errore di previsione La regressione è tanto più precisa quanto minori sono gli errori che si commettono I parametri a e b della retta di regressione saranno determinati in modo da rendere minima la somma dei quadrati degli errori

← errore di previsione

METODO DEI MINIMI QUADRATI Quale retta utilizzare tra tutte le possibili rette che possono passare tra i punti ?? Blu ?? Verde ??? Rossa ????? Quella che rende minima la somma dei quadrati degli errori (quella che sbaglia di meno)

RETTA DI REGRESSIONE PARAMETRI DELLA RETTA intercetta coefficiente angolare

PRECISIONE DELLA REGRESSIONE Quando la previsione di Y come funzione lineare di X da luogo a risultati precisi ? R2 quadrato del coefficiente di correlazione varia tra 0 e 1 ed esprime la percentuale di variabilità delle Y spiegata dalla relazione lineare con X R2 = 0 la regressione non spiega niente R2 = 1 la regressione spiega tutto Es: se tra due variabili X e Y c’è un coefficiente di correlazione di 0.80 la regressione spiegherebbe il 64% della variabilità delle Y, il rimanente 36% dipende da altre cause

Es. Dato che il coefficiente di correlazione tra le distanze della parete interna del rene dalla spina dorsale e l’età dei bambini risulta molto alto (0.90), in una regressione lineare tra le due variabili, l’età spiega l’81% della variabilità di tali distanze. I parametri della retta di regressione risultano b = 9.05/8.25 = 1.097 a = 23.5 – 1.097 x 6.5 =16.37 Y = 16.37 + 1.097 X a età 0 la distanza è 16.37 mm e cresce di 1.097 mm all’anno Qual è la distanze prevista per un bambino di 45 mesi (3.75 anni) y = 16.37 + 1.097 x 3.75 = 20.48 mm

Quando X è il tempo (T) le coppie di punti (t1,y1), (t2,y2),…, (tn,yn) mostrano l’evoluzione della variabile Y nel tempo Una correlazione positiva di Y con T dimostra che Y tende a crescere linearmente con il tempo Una correlazione negativa di Y con T dimostra che Y tende a decrescere linearmente con il tempo Un’assenza di correlazione di Y con T dimostra un’assenza di trend lineare di Y Se la relazione lineare tra Y e T è forte si possono prevedere i valori futuri di Y tramite la retta di regressione

Es. Serie temporale delle percentuali di fumatori maschi in Italia (Fonte: ISTAT, 2003, L’Italia in cifre) anno % 1993 45.6 1995 33.9 1997 33.1 1999 32.4 2001 31.2

t y scarti t scarti y scarti2 t scarti2 y prodotti 3 45.6 -4 10.36 16 107.33 -41.44 5 33.9 -2 -1.34 4 1.80 2.68 7 33.1 -2.14 4.58 9 32.4 -2.84 8.07 -11.36 11 31.2 2 -4.04 16.32 -8.08 35 176.2 40 138.10 -58.20

media T 35/5 = 7 anni media Y 176.2/5 = 35.24 pp varianza T 40/5 = 8 anni2 sqm T 2.83 anni varianza Y 138.10/5 = 27.62 pp2 sqm Y 5.26 pp covarianza TY -58.20/5 = -11.64 anni x pp coeff. corr. -11.64/(2.83 x 5.26) = 0.78 forte dipendenza lineare negativa

Attenzione a estrapolare troppo !!! Dato che il coefficiente di correlazione tra gli anni e la % fumatori maschi risulta alto (0.79), in una regressione lineare tra le due variabili, il trend temporale spiega il 62% della variabilità di tali percentuali. I parametri della retta di regressione risultano b = -11.64/8 = -1.455 a = 35.24 – (-1.455) x 7 = 45.425 Y = 45.425 - 1.455 T All’anno 0 (1990) la % fumatori maschi è stimata del 45.4% e decresce di 1.455 punti percentuali all’anno Qual’è la % prevista per il 2012 (t=22) y = 45.425 - 1.455 x 22 = 13.415 % (!!!) Attenzione a estrapolare troppo !!!

Regressione non lineare Non tutte le dipendenze sono di tipo lineare, ma molte si possono riportare a dipendenze lineari Y non cresce linearmente con X ma con il ln X Si può analizzare la dipendenza lineare di Y con ln X