* Notazioni di algebra e di analisi matematica utilizzate Pre requisiti * Notazioni di algebra e di analisi matematica utilizzate

Raccolta di oggetti che soddisfano ad una certa definizione Pre-requisiti Insieme Raccolta di oggetti che soddisfano ad una certa definizione A, B….. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,

Pre-requisiti Funzioni Insieme A Insieme B Codominio Dominio

Pre-requisiti Funzioni Non è una funzione Insieme A Insieme B

Pre-requisiti Funzioni Non è una funzione Insieme A Insieme B

Pre-requisiti Funzioni Funzioni biunivoche Insieme A Insieme B

Pre-requisiti Funzioni Immagine di un elemento di A in B Insieme A Insieme B Contro immagine di un elemento di B in A

1 Pre-requisiti La funzione indicatrice A B Se a è pallina rossa 1 Se a è pallina rossa Se a è pallina blu

1 Pre-requisiti La funzione indicatrice A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Pre-requisiti La funzione indicatrice B 1 1 A 0.30 1 1 0.30 0.30

Pre-requisiti Sommatorie Successione di numeri reali

Pre-requisiti Prodottorie Successione di numeri reali

Pre-requisiti Proprietà delle Sommatorie

Pre-requisiti Proprietà delle Sommatorie

Pre-requisiti Indici multipli e sommatorie doppie Sono uguali

Pre-requisiti Indici multipli e sommatorie doppie L’ordine delle sommatorie si può invertire

Pre-requisiti

Pre-requisiti Risultati notevoli Progressione aritmetica

Pre-requisiti Coefficiente binomiale

Pre-requisiti Teorema Binomiale

Pre-requisiti = 2,718282

Pre-requisiti Regola di Hospital In generale è indeterminato Ma se esiste allora

Pre-requisiti Se esiste indeterminato ma

Pre-requisiti Serie di Taylor

Pre-requisiti

Pre-requisiti Integrale di una funzione Consideriamo la funzione Essa è rappresentata nel piano cartesiano da una curva.                                                Come calcolare l'area S della parte di piano compresa fra la curva e l'asse delle ascisse ?                                     Immaginiamo di scomporre il segmento ab, per esempio, in tre parti e di considerare i rettangoli che se ne ricavano                                              

Pre-requisiti Integrale di una funzione La somma delle aree dei tre rettangoli ottenuti in questo modo non eguaglia l'area cercata ma ne fornisce un valore approssimato. Se si scompone l'intervallo ab in un numero maggiore di parti, si otterrà una approssimazione migliore. Proviamo a scomporlo in nove parti : Come si vede dal grafico, questa volta l'approssimazione è molto migliore della precedente. Immaginiamo allora di scomporre l'intervallo ab in un numero infinito di parti e fare la somma delle aree degli infiniti rettangoli infinitamente sottili che si ottengono. Il risultato alla fine eguaglierà l'area cercata.

Pre-requisiti Integrale definito L'area compresa fra la curva e l'asse delle x si chiama integrale definito (o semplicemente integrale) della funzione che rappresenta la curva, calcolato fra i due punti a e b in cui l'area risulta delimitata e si scrive : E' interessante notare che il simbolo di integrale non è altro che la stilizzazione della lettera greca sigma che in matematica ha il significato usuale di sommatoria. Ciò ad indicare appunto che l'integrale è una sommatoria. Il calcolo di un integrale utilizzando il metodo sopra esposto è molto complesso e spesso ci si deve accontentare di risultati approssimati relativi alla somma di un numero di termini non infinito. Con l'uso del computer, però, si possono raggiungere precisioni altissime in tempi di elaborazione molto piccoli.

Pre-requisiti Integrale indefinito In certi casi, per calcolare un integrale definito, è possibile utilizzare un particolare oggetto matematico che mette in relazione la derivata con l'integrale. Questo oggetto si chiama integrale indefinito (oppure primitiva) ed è, per così  dire, l'operazione inversa della derivata, ovvero: Se è una funzione, indichiamo con quella funzione la cui derivata prima eguaglia , cioè tale che La funzione si indica con E viene appunto chiamata integrale indefinito

Pre-requisiti Integrale indefinito

Pre-requisiti Calcolo dell’integrale definito attraverso l’integrale indefinito Se si conosce l'integrale indefinito di  si può calcolare facilmente ed in maniera esatta l'integrale definito.                              Ovvero se Si noti che il simbolo dell'integrale indefinito è lo stesso dell'integrale definito ma senza gli estremi di integrazione. allora dove g(a) e g(b) indicano i valori che si ottengono sostituendo alla x dell'integrale indefinito g(x) rispettivamente a e b. 

Pre-requisiti Calcolo dell’integrale definito attraverso l’integrale indefinito Come esempio, calcoliamo l'integrale della parabola      fra 0 ed 1, ovvero calcoliamo l'area indicata nel grafico in maniera esatta :

Pre-requisiti Proprietà degli integrali Poiché l’integrale non è altro che una somma valgono proprietà simili a quelle delle sommatorie

Pre-requisiti Proprietà degli integrali Sommatorie e integrali sono interscambiabili