Richiamo alle onde stazionarie in tre dimensioni A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Richiamo alle onde stazionarie in tre dimensioni se un onda piana si propaga all’interno di una cavita’ a forma di parallelepipedo di lati L1, L2 ed L3 rilettendosi perfettamente sulla sua superficie, le onde stazionarie che si potranno generare all’interno della cavita’ saranno caratterizzate da tre numeri interi n1, n2 ed n3 le condizioni di quantizzazione delle lunghezze d’onda divengono con ovvero, prendendo in considerazione le frequenze con in un contenitore cubico di lato L si avrebbe da cui supponendo che nella cavita’ siano presenti onde elettromagnetiche e che nella cavita’ vi sia il vuoto e la formula precedente diviene

La derivazione quantistica dello spettro del corpo nero A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli La derivazione quantistica dello spettro del corpo nero La funzione trovata da Planck descriveva correttamente la distribuzione dei dati sperimentali, ma non risultava spiegabile con i principi della meccanica, termodinamica ed elettromagnetismo classici. Una sua coerente deduzione si deve al lavoro congiunto di Einstein e di Satyendra Nath Bose Classicamente si ipotizza che le onde elettromagnetiche in una cavità chiusa siano onde stazionarie con nodi sulle pareti, di conseguenza possono assumere solo frequenze discrete, individuate dalla terna di valori (n1, n2, n3) e ad ognuna di esse è associata una certa quantita’ finita di energia. considerando per semplicita’ una cavità cubica di lato L si ha se L è sufficientemente grande, n1, n2 e n3 possono essere pensate come variabili continue nonostante in realta’ siano numeri naturali, immaginando n1, n2 e n3 come coordinate in uno spazio tridimensionale la relazione può essere interpretata come l’equazione di una sfera di raggio il numero N di tutte le frequenze minori o uguali a n è dato da un ottavo del volume di tale sfera ma dato che le onde e.m. sono trasversali con due stati ortogonali di polarizzazione questo numero va raddoppiato. in conclusione: dove si e’ sostituito ad L3 il volume della cavità, indicato come V

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Gas di fotoni secondo l'ipotesi di Einstein si possono interpretare le onde e.m. anche come composte di particelle, i fotoni i fotoni sono quindi i quanti di energia o semplicemente i “quanti” del campo elettromagnetico. i fotoni sono particelle identiche, nello specifico bosoni identici, ma sono un caso speciale in quanto privi di massa e quindi intrinsecamente relativistici. Per i fotoni si ha : Quantisticamente si ipotizza che le onde elettromagnetiche stazionarie in una cavità chiusa siano assimilabili ad un insieme di fotoni ogni fotone possiede una quantita’ finita, un quanto, di energia ε = hn ed è individuato dalla terna (n1, n2, n3) e la cavità sarebbe riempita da un “ gas di fotoni ” in altri termini (n1, n2, n3) sono i numeri quantici di ciascun fotone la densità di fotoni, cioè il numero di fotoni per unità di volume, risulta il numero n di possibili valori distinti della loro energia h ν per unità di volume per frequenze comprese tra ν e (ν+dν) può essere ottenuto dal differenziale di questa espressione: da notare che ognuna delle n energie può essere posseduta da m fotoni; m è detto numero di occupazione

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Il numero W delle possibili combinazioni di n elementi a gruppi di m risulta questo è vero per ognuno degli intervalli di ampiezza hν in cui può essere suddiviso lo spettro delle energie, cioè per ognuno dei livelli energetici indicando con Ni e mi i parametri relativi ad ognuno di questi livelli si ha che il numero totale di possibili distribuzioni di fotoni è dato da se il gas di fotoni è in equilibrio la distribuzione più stabile è quella che massimizza il valore di W e quindi anche del suo logaritmo calcolando il logaritmo di W e usando le approssimazioni di Stirling, il conto procede nello stesso identico modo di quanto fatto nel caso delle particelle bosoniche da notare tuttavia che i fotoni non possono essere assimilati alle particelle puntiformi della meccanica classica in quanto non è possibile stabilire esattamente la loro posizione, l'unica informazione utilizzabile è che sulla loro posizione è situata nel volume V della cavità. Ma c'è un'altra differenza fondamentale rispetto ai gas di particelle classiche: anche se praticamente è impossibile farlo, concettualmente le particelle classiche si possono contare i fotoni viceversa sono continuamente emessi ed assorbiti dalle pareti: non si possono contare nemmeno concettualmente.

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli la massimizzazione della probabilita’ statistica per un gas di fotoni deve quindi essere portata avanti rilasciando il vincolo della conservazione del numero totale di particelle mentre permane il vincolo sulla conservazione dell’energia indicando con εi l'energia associata ad ogni frequenza, deve essere con questo solo vincolo, si può calcolare il massimo del logaritmo di W con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: riesce le considerazioni termodinamiche sviluppate da Boltzmann dimostrano che quindi, ponendo ε = h ν, si ha che il valore del numero di occupazione m per una cavità in equilibrio termico è risultato cui si poteva pervenire direttamente ponendo g = 0 nella formula di Bose-Einstein ognuno degli m fotoni ha energia h ν, i livelli energetici per unità di volume sono dunque l'energia per unità di volume, cioè la densità di energia risulta la stessa densità di energia in funzione si λ risulta relazione identica a quella determinata da Planck