E(’)= Riassumendo: ipotesi per OLS Modello lineare X e Y sono frutto di osservazioni indipendenti X è di rango pieno I residui hanno media = 0 I residui sono omoschedastici e incorrelati X è non-stocastica Neghiamo la 5: E(’)=
E(’)= Naturalmente è una matrice simmetrica positiva definita Allora si può scomporre secondo i suoi autovalori/autovettori:
PARENTESI: Autovalori () e autovettori (C) Sono la soluzione del sistema: Il numero di soluzioni (autovalori) è pari alla dimensione della matrice
PARENTESI: Autovalori e autovettori Abbiamo torniamo all’equazione iniziale e troviamo C Per trovare i valori di C (autovalori) dobbiamo sfruttare il vincolo:
Si possono utilizzare OLS sui dati trasformati !!!!
Stimatore GLS
Un esempio numerico OLS: y x x' 20 1 10 30 5 40 OLS X'X (X'X)-1 X'Y B 3 15 0,83 -0,10 90 35 125 0,02 400 -1
Un esempio numerico GLS_1:
NB. Non esiste un corrispondente dellindice di Determinazione Lineare la funzione minimizzata e le sue statistiche riguarda gli * non gli Che il modello “pesato” abbia un buon adattamento, poco dice su quello originale
Caso di non noto, stima FGLS Cioè va stimata, con non pochi problemi: , in generale, ha n(n+1)/2 parametri, ovviamente non è possibile stimarla Direttamente a partire da n osservazioni Dobbiamo imporre qualche restrizione, cioè ipotizzare che dipenda da un numero (ristretto) di parametri, cioè che sia esprimibile nella forma = () Cioè dobbiamo ipotizzare un modello per la Var-Covar del fenomeno
NB!! Solo MLE garantisce la convergenza, Determinata la forma della non noto, la stima FGLS consiste in processo iterativo Con i seguenti passi: NB!! Solo MLE garantisce la convergenza, alcune strutture di non sono “trattabili” partendo da OLS
Alcuni esempi di modelli di VAR-COVAR Diversa per ogni Effetto fisso costante ogni Effetto fisso Max eterogeneità Max eterogeneità A bande Autoregressivo Ordine 1
Moving average Ordine q-1 Moving average Ordine 2 Correlazione spaziale F(distanza)
AR(1) eterogeneo Simmetrico eterogeneo fattoriale eterogeneo