Distribuzioni troncate: esempio Un vecchio amico: il dado P(x)=1/6 P(x/x>3)= p(x)/p(x>3)= (1/6)/(3/6)= 1/3 E(X) = (1+2+3+4+5+6)*1/6 = 21/6 = 3.5 E(x/x>3)= (4+5+6)*1/3= 15/3 = 5 V(x) = 2.92 V(x/x>3)= 0.67
Ovviamente probabilità e densità della “troncata” è diversa da quella “non troncata” Ma esiste una relazione tra le due? In questo caso la risposta è facile: Dalla definizione di probabilità condizionata segue che Questo rapporto è noto come “Inverse Mill’s Ratio” Equivale a “scalare” la troncata in modo che l’integrale assommi a 1
Distribuzione normale Esempio: Distribuzione normale Dove densità della N(0,1) ripartizione della N(0,1)
E i parametri? Definiamo: = E(x) ²=V(x) (a)=p(x)/p(x>a)=(x)/(1-()) (Inverse Mill’s ratio) (a)= (a)*((a)-a) Allora: E(x/x>a) = + (a) V(x) = ²[1- (a)]
Lambda 1-F(x) delta f(x)
Un esempio (artificiale): Il 2% più ricco (coloro che hanno un reddito superiore a 100.000 €) della popolazione italiana ha un reddito medio di 142.000 €. Supponendo che la distribuzione dei redditi sia log-normale, qual è una stima del reddito medio dell’intera popolazione? Si ha: ln(100)=4,605 ln(142)=4,956
I dati indicano che: E( y/y > 4,605) = 4,956 Prob(y > 4,605) = 0,02 Ricordando che:
Quindi le equazioni diventano: