Liceo scientifico “G.Aselli” classe III E anno scolastico 2005-2006 Gruppo 4: BOLLI Elena, DAL RIO Chiara, FAROLDI Federico, LOFFI Ilaria, MORANDI Benedetta, PASINO Eleonora

Le coniche secondo APOLLONIO di PERGA “Chi capisce Archimede e Apollonio, ammirerà meno le conquiste dei più eminenti matematici dei tempi successivi” (Leibniz)

LA VITA I PROBLEMI MINORI LE CONICHE BIBLIOGRAFIA SITOGRAFIA

- La sezione di un rapporto - Sulla sezione determinata LA VITA Apollonio non era nativo di Alessandria, dove compì i suoi studi; ma era nato a Perga in Panfilia. Non conosciamo con esattezza le date della sua vita, ma la tradizione riferisce che operò durante la seconda metà del III secolo a.C. Sono pervenute fino a noi opere di Apollonio che si occupano di diversi campi della matematica: Dizione Rapida (calcolo approssimato di p al valore di 3,1416) - Luoghi Piani - La sezione di un rapporto - La sezione di un’area - Sulla sezione determinata - Tangenze - Le coniche INDICE

I PROBLEMI MINORI Si deve ad Apollonio l’introduzione di due sistemi alternativi a quelli delle sfere concentriche: l’uno formato da moti epiciclici, l’altro da moti eccentrici. Nel primo schema si assumeva che un pianeta P si muovesse uniformemente lungo un piccolo cerchio (epiciclo), il cui centro a sua volta si muoveva uniformemente lungo la circonferenza di un cerchio più grande (deferente) che aveva il suo centro nella Terra O. Nello schema eccentrico il pianeta P si muove uniformemente lungo la circonferenza di un grande cerchio il cui centro C’ si muove a sua volta uniformemente in un piccolo cerchi con centro in E. Se PC=C’E, i due schemi geometrici saranno equivalenti come ben sapeva Apollonio. INDICE

nell’opera Luoghi Piani Apollonio definisce il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno) è un cerchio, oggi noto come “il cerchio di Apollonio”. INDICE LA VITA

INDICE LA VITA

nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di un’area e Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. ax – x2 = bc (problema di applicare ad un segmento rettilineo un rettangolo uguale a un rettangolo meno un quadrato) INDICE LA VITA DERIVAZIONE DEL NOME…

nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di un’area e Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. ax + x2 = bc (problema di costruire su un segmento un rettangolo uguale ad un rettangolo più un quadrato) INDICE LA VITA DERIVAZIONE DEL NOME…

Il trattato delle Tangenze presenta il problema oggi noto come il “problema di Apollonio”: Date tre cose, ciascuna delle quali può essere un punto,una retta o un cerchio, tracciare un cerchio che sia tangente a ciascuna delle tre cose (dove tangenza a un punto va intesa nel senso che il cerchio passa per il punto). Questo problema comporta dieci casi, dai due più facili(in cui le tre cose sono tre punti o tre rette) a quello più difficile di tutti (tracciare un cerchio tangente a tre cerchi). INDICE LA VITA

Apollonio, per la prima volta, dimostrò che: LE CONICHE Premettiamo alla presentazione dei problemi riguardanti le coniche il fatto che Apollonio doveva necessariamente operare con il più rigoroso, ma molto più ingombrante, strumento dell’algebra geometrica, a causa della totale mancanza di geometria analitica. Apollonio, per la prima volta, dimostrò che: non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento del cono da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l’inclinazione del piano di intersezione. - il cono non doveva necessariamente essere retto, ma anche obliquo o scaleno. INDICE

Derivazione del nome delle coniche Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici appellativi, fu Apollonio che introdusse i nomi di ellisse, di parabola e di iperbole in relazione a queste curve (usati invece in precedenza dai pitagorici per la risoluzione di equazioni di 2°grado). Per classificare le diverse curve prendeva in considerazione il parametro: un segmento perpendicolare all’asse maggiore della conica, passante per un fuoco, avente gli estremi sulla conica. È ad Eutocio, commentatore dell’antichità, che risale la responsabilità dell’opinione, largamente diffusa, ma errata, secondo cui i termini ellisse, parabola e iperbole furono adottati da Apollonio per indicare le differenti disposizioni del piano di intersezione rispetto alla seconda falda del cono. INDICE

ELLISSE (che significa “mancanza”) era stato usato quando un rettangolo di area data veniva adagiato su un segmento dato – il parametro - in modo che ne differiva per difetto. Quindi per l’ellisse il quadrato costruito sull’ordinata è minore del rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro l (y2<lx). INDICE

IPERBOLE (che significa “lanciare al di là”) era stato adottato per il caso in cui l’ area da applicare eccedeva il segmento. Per l'iperbole il quadrato costruito sull’ordinata è maggiore del rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro l (y2>lx). INDICE

PARABOLA (che significa “porre accanto” o “confrontare”) era stato usato per indicare l’assenza sia di eccesso sia di difetto. La parabola ha la proprietà per cui,qualunque punto della curva si scelga,il quadrato costruito sull’ordinata è esattamente uguale al rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro l (y2=lx). INDICE

Nell’opera Le coniche Apollonio affronta varie questioni: individua la relazione fondamentale tra quelle che oggi chiameremmo le coordinate piane di un punto sulla curva espresse dalle tre equazioni y2=lx, e la proprietà dell’iperbole riferite ai suoi asintoti come assi, proprietà attualmente espressa, per l’iperbole equilatera, dall’equazione xy=k2 introduce l’idea dell’iperbole come curva a due rami inizia lo studio delle diverse intersezioni tra le varie coniche risolve problemi, divenuti famosi nell’antichità, come il “luogo geometrico rispetto a tre o quattro rette” che risolve riconducendo la soluzione alle sezioni coniche (in quanto il problema viene risolto mediate un’equazione si 2°grado nelle incognite x e y) INDICE

tratta dei segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto ad una conica riducendo questo problema a teoremi sulle tangenti e sulle normali definendone esattamente la natura Studiando i punti di intersezione tra le normali, giunge a definire il luogo dei punti che oggi identifichiamo con l’evoluta della conica (per evoluta di una conica si intende la curva su cui giacciono i centri di curvatura, cioè i centri dei cerchi che meglio approssimano la curva in ogni suo punto: i cerchi osculatori) INDICE

cerchi osculatori dell’ellisse esempi di evolute di ellissi esempio di evoluta di una parabola

Notazioni su Le coniche - è presumibile che Apollonio conoscesse la proprietà delle curve di avere un fuoco e anche una direttrice, ma di questi non viene fatta alcuna menzione nelle Coniche, se non indirettamente - la trattazione antica delle coniche non presentava nessun concetto numerico che corrispondesse a quella che oggi chiamiamo eccentricità - i metodi usati da Apollonio nelle Coniche sono, per molti aspetti, molti simili a quelli moderni. L’impiego di rette di riferimento in generale, e quello di un diametro e di una tangente all’estremo di una conica in particolare, non è essenzialmente diverso dall’uso di un sistema di coordinate, siano esse rettangolari o, più generalmente, oblique - parlando della geometria greca possiamo dire che le equazioni sono determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni INDICE

BIBLIOGRAFIA APOLLONIO DI PERGA, Les coniques, trad. di P. Ver Eecke, Desclèe de Brouwer, Bruges, 1924. BOYER, CARL B., Storia della Matematica, trad. di A. Carugo, Mondadori, Milano, 1990. KLINE, MORRIS, Storia del Pensiero Matematico, trad. A. Conte, Einaudi, Torino, 1996.

SITOGRAFIA http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/005sch.htm http://web.unife.it/altro/tesi/A.Montanari/Apolloni.htm http://www.homolaicus.com/teorici/ipazia/ipazia.htm http://digilander.libero.it/diogenes99/Greci/Grecia.htm http://www.fmboschetto.it/images/galleria_matematica.htm