Gravitazione Universale Anno 2008/2009 Classe IV E Gagliardi Gabriele, Marchi Lorenza, Rossi Maddalena, Valmarin Sergio, Voltini Giulia La Legge di Gravitazione Universale

La Leggenda Caduta della mela dall’albero: Se la mela fosse caduta da un’altezza pari alla distanza tra la Luna e la Terra? Teorie di Platone e Aristotele Teorie di Keplero Conclusione di Newton

Isaac Newton (1642-1727) Filosofo, matematico, fisico e alchimista inglese Dimostrò che le leggi della natura governano il movimento della terra e degli altri corpi celesti Rivoluzione scientifica e teoria eliocentrica Sistematizzazione matematica delle leggi di Keplero

La deduzione newtoniana della legge di gravitazione Universale

Newton scoprì che le masse dei corpi celesti si attraggono con una forza direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato delle distanze; tale attrazione prese il nome di gravità.

Come Newton giunge alla legge di Gravitazione Universale Sapendo che nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta è e che

Terza Legge di Keplero Dove k =

Sostituiamo nella formula

è una costante quindi posto ricaviamo che:

Tenendo conto della II Legge della dinamica F = ma andando a sostituire l’accelerazione centripeta, si potrà affermare che sul pianeta P esiste una forza orientata verso il Sole:

ma Newton mirava a una espressione universale della forza agente fra i corpi principio di azione e reazione

Le due forze appena espresse devono essere uguali

Sostituendo ad e ad le loro espressioni e semplificando il temine comune

Da cui dividendo entrambi i membri per l’equazione per :

Questo procedimento si può ripetere per tutti i pianeti del Sistema Solare

Allora il rapporto fra la costante di un generico centro attrattore e la sua massa risulta uguale per qualunque corpo considerato come centro dell’attrazione e rappresenti la costante G, che è la costante di Gravitazione Universale.

Tornando alle forze - possiamo ora sostituire in entrambe la costante G ricordando che

Così otteniamo:

Siccome le formule sono identiche la legge si può definire valente per qualsiasi coppia di corpi nell’Universo Legge di Gravitazione Universale

CONSIDERAZIONI SULLA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE Unificazione di Terra e Cielo La deduzione di Newton è valida per qualsiasi massa, celeste o terrestre, quindi è in contrapposizione con la concezione filosofica greca.

IL PROBLEMA DELLA NATURA DELLA FORZA GRAVITAZIONALE Newton si rifiuta di spiegare l’attrazione fra due corpi con l’esistenza dell’”attrattività” Grazie alle ultime scoperte possiamo affermare che ogni forza, anche quella Gravitazionale, si sviluppa in un campo in virtù di un mediatore, in questo caso il gravitone

La gravitazione: una forza fondamentale Forza gravitazionale Forza nucleare debole Forza elettromagnetica Forza nucleare forte

MASSA INERZIALE e MASSA GRAVITAZIONALE Fino al 1600 la massa corrisponde all’inerzia → massa inerziale Dopo Newton e la legge di gravitazione la massa corrisponde alla capacità di un corpo di attrarre e essere attratto da altri corpi → massa gravitazionale

la massa gravitazionale Definiamo: la massa inerziale la massa gravitazionale

Considerando la seconda legge della dinamica e l’espressione del peso di un oggetto:

e hanno lo stesso valore? Se i valori fossero diversi la legge del pendolo cambierebbe.

Infatti si avrebbe:

E per la similitudine dei triangoli:

E sostituendo:

Confrontando con la legge:

Si riconosce che si tratta di un moto oscillatorio:

Da cui:

Ricordando che:

Si ha:

Da cui:

Pendoli della stessa lunghezza, costituiti da corpi aventi lo stesso peso, cioè , ma diversa, oscillerebbero con periodi diversi. Anche Newton stesso verificò = , postulato base della teoria della relatività generale di Einstein

Conclusioni Massa inerziale massa gravitazionale sono due termini diversi per indicare due proprietà identificate in fenomeni diversi, ma riconducibili ad un unico concetto di massa.

IL VALORE DELLA COSTANTE G Esperimento di Cavendish 1771: Henry Cavendish, esperimento valore G. Usò: bilancia di torsione per misurare forza di attrazione gravitazionale tra masse note m e M.

Le sfere grandi di massa M attirano la sferette più vicina con una forza gravitazionale F coppia di forze che provoca una rotazione dell’asta (α)

La rotazione raggiunge l’equilibrio quando la reazione con cui il filo si oppone alla torsione uguaglia l’azione gravitazionale fra le masse

La resistenza del filo alla torsione è proporzionale all’angolo di direzione α. Dalla misura dell’angolo di torsione si può risalire al momento torcente del filo e alla forza F.

Considerazioni: Detta r la distanza fra il centro della sfera piccola (m) e quello della sfera grande (M) alla quale si è avvicinata. Dalla legge di gravitazione universale si ha: da cui

Newton aveva dimostrato che la legge di gravitazione universale vale anche se uno dei corpi può essere considerato puntiforme rispetto all’altro che è sferica

Con la bilancia torsione di Cavendish si riesce ad ottenere il valore G, detto Costante di Cavendish:

APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI GRAVITAZIONE

La costanza dell’accelerazione di gravità in prossimità della superficie terrestre L’applicazione della legge di gravitazione porta a: Il valore g in prossimità della superficie terrestre non dipende dalla massa del corpo tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre cadono con la stessa accelerazione

Accelerazione sulla Luna Tenendo conto del fatto che in questo caso il raggio orbitale della Luna è 60 volte quello terrestre Quindi il rapporto tra le due accelerazioni è:

La massa della Terra Conoscendo la costante di Cavendish G e il valore sperimentale g Il valore ottenuto è quasi doppio di quello stimato da Newton, non avendo tenuto della composizione interna della Terra.

La massa del Sole Noto il periodo T di rivoluzione della Terra intorno al Sole e il raggio della sua orbita l’accelerazione centripeta della Terra risulta data da:

Che può anche essere espressa così: La forza che fa ruotare la Terra intorno al Sole è allora: Che può anche essere espressa così:

Uguagliando allora i termini di destra delle equazioni delle forze centripete si ottiene:

La massa dei pianeti In questo modo si può calcolare la massa di un qualsiasi pianeta dotato di un satellite In assenza di esso, si utilizza il metodo delle perturbazioni

La costante di Keplero E’ relativa al centro attrattore e un suo qualunque satellite di massa

Semplificando e riordinando possiamo riscrivere:

Nel caso del sistema Terra – Sole si ottiene:

PERIODO DI ROTAZIONE DI UN SATELLITE ARTIFICIALE

Intorno alla Terra ruotano migliaia di Satelliti e ne possiamo calcolare il periodo di rotazione quando questi seguono un’orbita circolare Impostiamo la relazione:

Da ciò si ha:

Sostituendo i valori numerici: